?2024屆新高三開學(xué)摸底試卷三（新高考專用）
數(shù)學(xué)
(時間：120分鐘　滿分：150分)
注意事項：
1.答卷前，考試務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2023·保定模擬)設(shè)集合A＝{x|x2－2x－80，顯然不符合題意)，
或2×＝－1，則a＝2b，又c2＝a2＋b2＝a2，所以e2＝＝，e＝.
7.(2023·大同模擬)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為棱AB的中點，動點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，總有AP⊥D1M，則動點P的軌跡的長度為(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　如圖，分別取BC，BB1的中點E，F(xiàn)，連接AE，AF，EF，A1M，DM，A1F，

因為M為AB的中點，E為BC的中點，四邊形ABCD為正方形，所以DM⊥AE，
又D1D⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以D1D⊥AE，而DM∩D1D＝D，DM，D1D?平面D1DM，所以AE⊥平面D1DM，又因為D1M?平面D1DM，
所以D1M⊥AE，
同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，所以D1M⊥平面AEF，
因為AP?平面AEF，所以AP⊥D1M，
因為動點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，所以動點P的軌跡是線段EF，
而EF＝，所以動點P的軌跡的長度為.
8．在一個正三角形的三邊上，分別取一個距頂點最近的十等分點，連接形成的三角形也為正三角形(如圖1所示，圖中共有2個正三角形)．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復(fù)多次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形(圖中共有11個正三角形)，這個過程稱之為迭代．在邊長為243的正三角形三邊上，分別取一個三等分點，連接形成一個較小的正三角形，然后迭代得到如圖3所示的圖形(圖中共有10個正三角形)，其中最小的正三角形面積為(　　)

圖1　　　　　圖2　　　　　圖3
A. B．1
C. D.
答案　A
解析　設(shè)第n個正三角形的邊長為an，則第n＋1個正三角形的邊長為an＋1，
由條件可知，a1＝243，
又由圖形可知，a＝2＋2－2×an×an×cos 60°，所以a＝a，an>0，
所以＝，所以{an}是首項為243，公比為的等比數(shù)列，
所以an＝243×n－1，所以an＝n－11，所以a10＝，
所以最小的正三角形的面積為×××＝.
二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)
9．某學(xué)校組織了一次勞動技能大賽，共有100名學(xué)生參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40,90]內(nèi)，得分60分以下為不及格，其得分的頻率分布直方圖如圖所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]這五組)，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．頻率分布直方圖中a＝0.005
B．此次比賽得分及格的共有55人
C．以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[50,80)的概率為0.75
D．這100名參賽者得分的第80百分位數(shù)為75分
答案　AD
解析　由圖可知，10a＋0.035×10＋0.030×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
解得a＝0.005，故A正確；
比賽得分及格的人數(shù)為(0.030＋0.020＋0.010)×10×100＝60，故B錯誤；
成績在[50,80)內(nèi)的頻率為(0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.85，即概率為0.85，故C錯誤；
設(shè)第80百分位數(shù)為(70＋x)分，則有×10＝0.8，解得x＝5，所以第80百分位數(shù)為75分，故D正確．
10．下列說法正確的是(　　)
A．通過經(jīng)驗回歸直線＝x＋及回歸系數(shù)，可以精確反映變量的取值和變化趨勢
B．已知隨機變量X～N(0，σ2)，若P(|X|2)＝
C．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差為8
D．若n的展開式中各項的二項式系數(shù)和為32，則展開式中x2項的系數(shù)為－80
答案　BC
解析　對于A，通過經(jīng)驗回歸直線＝x＋及回歸系數(shù)，可估計和預(yù)測變量的取值和變化趨勢，故A錯誤；
對于B，因為隨機變量X～N(0，σ2)，P(|X|0，a≠1)(答案不唯一)
解析　若滿足①對任意的x1x2≥0，有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，
則對應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y＝ax的形式；
若滿足②f(x)為偶函數(shù)，只需要將x加絕對值即可，
所以同時滿足①②兩個條件的函數(shù)可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．
15．已知母線長為6的圓錐的頂點為S，點A，B為圓錐的底面圓周上兩動點，當SA與SB所夾的角最大時，銳角△SAB的面積為8，則此時圓錐的體積為________．
答案　
解析　設(shè)底面圓的半徑為r，
當SA與SB所夾的角最大時，AB為底面圓的直徑，
此時S△SAB＝×6×6×sin∠ASB＝8，解得sin∠ASB＝，
∵△SAB為銳角三角形，∴cos∠ASB＝＝，
則(2r)2＝|AB|2＝62＋62－2×6×6×＝16，解得r＝2，
則圓錐的體積為×π×22×＝.
16．(2023·益陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝，當x1，x2∈(0，＋∞)時，≤恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是____________．
答案　
解析　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝，
令h(x)＝1－x－2ln x(x>0)，h′(x)＝－1－0，f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(1，＋∞)上，f′(x)0時，g(x)＝>0，
又k>0，所以≤?≤，
即≥max，
由于g(x2)>0，故f(x1)>0，
所以max＝＝.
所以≥，又k>0，則ke≥k＋1，故k≥，
所以k的取值范圍是.
四、解答題(本題共6小題，共70分)
17．(10分)(2023·重慶模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin 2B＝sin B.
(1)求B；
(2)若a＝8，cos A＝，求BC邊上的中線AD的長．
解　(1)由題意可得2sin Bcos B＝sin B，
因為00.
又因為函數(shù)f(x)有三個不同的零點，所以g(x)(x>0)有兩個均不等于1的不同零點．
令g′(x)＝3x2－a＝0，解得x＝(舍去負值)．
所以當x∈時，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增．
因為g(0)＝1>0，g()＝1>0，
所以當g時，g(x)(x>0)有兩個不同的零點．
又因為當g(1)＝0時，a＝2>，
所以若函數(shù)f(x)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是∪(2，＋∞)．
(2)因為x1

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