?2024屆新高三開學(xué)摸底試卷二（新高考專用）
數(shù)學(xué)
(時(shí)間：120分鐘　滿分：150分)
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考試務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．(2023·邯鄲模擬)若集合A＝{x|x2－2x0}
B．{x|0c B．c>b>a
C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且ab＋2a＋b＝16，則(　　)
A．a(chǎn)b的最大值為8 B．2a＋b的最小值為8
C．a(chǎn)＋b的最小值為6－3 D.＋的最小值為
10．(2023·青島模擬)已知圓C：x2＋2＝1上兩點(diǎn)A，B滿足|AB|≥，點(diǎn)M(x0,0)滿足|MA|＝|MB|，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．當(dāng)|AB|＝時(shí)，x0＝
B．當(dāng)x0＝0時(shí)，過點(diǎn)M的圓C的最短弦長是2
C．線段AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值是
D．過點(diǎn)M作圓C的切線且切點(diǎn)為A，B，則x0的取值范圍是∪
11.如圖，棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球球心為O，E，F(xiàn)分別是棱AB，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱BC上移動(dòng)(含端點(diǎn))，則(　　)

A．對于任意點(diǎn)G，OA∥平面EFG
B．存在點(diǎn)G，使得OD⊥平面EFG
C．直線EF被球O截得的弦長為
D．過直線EF的平面截球O所得截面圓的面積的最小值為
12．(2023·南京模擬)某企業(yè)于近期推出了一款盲盒，且該款盲盒分為隱藏款和普通款兩種，其中隱藏款的成本為50元/件，普通款的成本為10元/件，且企業(yè)對這款盲盒的零售定價(jià)為a元/件．現(xiàn)有一批有限個(gè)盲盒即將上市，其中含有20%的隱藏款．某產(chǎn)品經(jīng)理現(xiàn)對這批盲盒進(jìn)行檢驗(yàn)，每次只檢驗(yàn)一個(gè)盲盒，且每次檢驗(yàn)相互獨(dú)立，檢驗(yàn)后將盲盒重新包裝并放回．若檢驗(yàn)到隱藏款，則檢驗(yàn)結(jié)束；若檢驗(yàn)到普通款，則繼續(xù)檢驗(yàn)，且最多檢驗(yàn)20次．記X為檢驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的檢驗(yàn)次數(shù)，則(　　)
A．P(X＝4)＝0.102 4
B．E(X)18
三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)
13．已知sin＝，則cos＝________.
14．已知P(x，y)是函數(shù)y＝ex＋x圖象上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線2x－y－3＝0的最小距離為________．
15．在(3＋y)(x－y)4的展開式中x2y3的系數(shù)為________．
16．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝10n－2n，前n項(xiàng)和是Sn，對于?n∈N*，都有Sn≤Sk，則k＝________.

四、解答題(本題共6小題，共70分)
17．(10分)已知數(shù)列{an}，Sn是an的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝2an－1(n∈N*)，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.
(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cn＝(－1)n，求{cn}的前n項(xiàng)和Dn.








18．(12分)在①b(1＋cos A)＝asin B；②bcos?＝asin B；③asin C＝ccos這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．
△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知________(只需填序號(hào))．
(1)求A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面積．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．








19．(12分)第五代移動(dòng)通信技術(shù)(簡稱5G)是具有高速率、低時(shí)延和大連接特點(diǎn)的新一代寬帶移動(dòng)通信技術(shù)，它具有更高的速率、更寬的帶寬、更高的可靠性、更低的時(shí)延等特征，能夠滿足未來虛擬現(xiàn)實(shí)、超高清視頻、智能制造、自動(dòng)駕駛等用戶和行業(yè)的應(yīng)用需求．某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了A，B，C，D，E，F(xiàn)共6家公司在5G通信技術(shù)上的投入x(千萬元)與收益y(千萬元)的數(shù)據(jù)，如下表：
投入x(千萬元)
5
7
8
10
11
13
收益y(千萬元)
11
15
16
22
25
31
(1)若x與y之間線性相關(guān)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．并估計(jì)若投入15千萬元，收益大約為多少千萬元？(精確到0.01)
(2)現(xiàn)6家公司各派出一名代表參加某項(xiàng)宣傳活動(dòng)，該活動(dòng)在甲，乙兩個(gè)城市同時(shí)進(jìn)行，6名代表通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪個(gè)城市參加活動(dòng)，規(guī)定：每人只拋擲一次，擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)為1,3,5,6的去甲城市，擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)為2,4的去乙城市．求：
①A公司派出的代表去甲城市參加活動(dòng)的概率；
②求6位代表中去甲城市的人數(shù)少于去乙城市的人數(shù)的概率．(用最簡分?jǐn)?shù)作答)
參考數(shù)據(jù)及公式：iyi＝1 186，＝＝，＝－.





20．(12分)(2023·永州模擬)在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，PB＝BD＝PD＝4，PA＝4.

(1)證明：PC⊥平面ABCD；
(2)如圖，取BC的中點(diǎn)E，在線段DE上取一點(diǎn)F使得＝，求平面PAF與平面PAC夾角的大?。?br />








21．(12分)已知A′，A分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，B，F(xiàn)分別是C的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)．點(diǎn)P在C上，滿足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－.
(1)求C的方程；
(2)過點(diǎn)F作直線l(與x軸不重合)交C于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．






22．(12分)(2023·承德模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－2.
(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

答案及解析
1．(2023·邯鄲模擬)若集合A＝{x|x2－2x0}
B．{x|0b D．b>a>c
答案　D
解析　構(gòu)造函數(shù)f(x)＝，x>e，則f′(x)＝f(13)，即>，則a＝log1213＝
＝＝>0，則a>c，因此b>a>c.
二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分)
9．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且ab＋2a＋b＝16，則(　　)
A．a(chǎn)b的最大值為8
B．2a＋b的最小值為8
C．a(chǎn)＋b的最小值為6－3
D.＋的最小值為
答案　ABC
解析　因?yàn)?6＝ab＋2a＋b≥ab＋2，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b時(shí)取等號(hào)，
解不等式得－4≤≤2，即018，則定價(jià)a>18才能保證獲利，故D正確．
三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)
13．已知sin＝，則cos＝________.
答案　
解析　cos＝1－2sin2＝1－2×＝.
14．已知P(x，y)是函數(shù)y＝ex＋x圖象上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線2x－y－3＝0的最小距離為________．
答案　
解析　當(dāng)點(diǎn)P到直線2x－y－3＝0的距離最小時(shí)，曲線y＝ex＋x在點(diǎn)P處的切線與直線2x－y－3＝0平行，對函數(shù)y＝ex＋x求導(dǎo)得y′＝ex＋1，令y′＝2，可得x＝0，則y＝e0＋0＝1，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，因此，點(diǎn)P到直線2x－y－3＝0的最小距離為＝.
15．在(3＋y)(x－y)4的展開式中x2y3的系數(shù)為________．
答案　6
解析　∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(Cx4－Cx3y＋Cx2y2－Cxy3＋Cy4)，
∴展開式中含x2y3的項(xiàng)為y·Cx2y2＝Cx2y3＝6x2y3，
故它的展開式中x2y3的系數(shù)為6.
16．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝10n－2n，前n項(xiàng)和是Sn，對于?n∈N*，都有Sn≤Sk，則k＝________.
答案　5
解析　如圖，為y＝10x和y＝2x的圖象，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，

因?yàn)閍1＝10－2＝8>0，所以0

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