第09講 弧長(zhǎng)及扇形的面積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解弧長(zhǎng)和扇形面積公式的探求過(guò)程.2.會(huì)利用弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.重點(diǎn)：會(huì)利用弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算. 難點(diǎn)：理解弧長(zhǎng)和扇形面積公式的探求過(guò)程并會(huì)應(yīng)用解決問(wèn)題. 【基礎(chǔ)知識(shí)】一．弧長(zhǎng)的計(jì)算（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR（2）弧長(zhǎng)公式：l（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形πR2或S扇形lR（其中l為扇形的弧長(zhǎng)）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積． 【考點(diǎn)剖析】一．弧長(zhǎng)的計(jì)算（共7小題）1．（2021秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，點(diǎn)A、B、C是半徑為8的⊙O上的三點(diǎn)．如果∠ACB＝45°，那么的長(zhǎng)為（　?。?/span>A．90° B．2π C．3π D．4π2．（2021秋?奉賢區(qū)期末）如圖，一把扇形的紙扇完全打開(kāi)后，兩竹條外側(cè)OA和OB的夾角為120°，OA長(zhǎng)為12cm，貼紙的部分CA長(zhǎng)為6cm，則貼紙部分的周長(zhǎng)為（　　）cm．A．6π+12 B．36π+12 C．18π+12 D．12π+123．（2022?瑞安市校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知圓的半徑為3，扇形的圓心角為120°，則扇形的弧長(zhǎng)為 　   　．4．（2022春?奈曼旗期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，則的長(zhǎng)為 　   　．5．（2022春?二道區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，OB＝2．則弧BD的長(zhǎng)為（　?。?/span>A．2π B．3π C． D．6．（2022?鐵西區(qū)開(kāi)學(xué)）如果一個(gè)扇形的半徑是2，弧長(zhǎng)是，則此扇形的圖心角的度數(shù)為 　   　．7．（2021秋?東城區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O的半徑為10cm，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為點(diǎn)D．（1）弦AB的長(zhǎng)為 　   　．（2）求劣弧的長(zhǎng)．     二．扇形面積的計(jì)算（共7小題）8．（2021秋?汝州市期末）半徑為6的圓中，一個(gè)扇形的圓心角為60°，則該扇形的面積為（　?。?/span>A．6π B．3π C．2π D．π9．（2021秋?畢節(jié)市期末）一個(gè)圓中有三個(gè)扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占總面積的百分比如圖所示，那么扇形丙的圓心角是（　　）A．30° B．108° C．110° D．120°10．（2021秋?西鄉(xiāng)縣期末）一個(gè)扇形的圓心角是135°，半徑為4，則這個(gè)扇形的面積為（　　）A．π B．π C．4π D．6π11．（2021秋?包頭期末）鐘面上的分針長(zhǎng)為2cm，從8點(diǎn)到8點(diǎn)15，經(jīng)過(guò)了15分鐘，分針在鐘面上掃過(guò)的面積是 　   　cm2．（結(jié)果保留π）12．（2022春?巢湖市校級(jí)期中）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高線，以AD、BD、AB分別作半圓，如果只已知一條線段的長(zhǎng)度即可求出圖中的陰影部分面積，則這條線段可以是（　?。?/span>A．CD B．AD C．AB D．BC13．（2022春?渝北區(qū)月考）等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝2，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作扇形AOB，則圖中陰影部分的面積為（　　）（結(jié)果保留π）A．4π﹣2 B．π C．π﹣2 D．214．（2021秋?開(kāi)化縣期末）如圖，已知AB是⊙O直徑，且AB＝8．C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC，∠CBD＝30°．（1）求∠COA的度數(shù)．（2）求出CE的長(zhǎng)度．（3）求出圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．     【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共6小題）1．（2022?費(fèi)縣一模）抖空竹在我國(guó)有著悠久的歷史，是國(guó)家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，延長(zhǎng)AC，BD交于點(diǎn)P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為5cm，則圖中弧CD的長(zhǎng)為_______cm．（結(jié)果保留π）（　?。?/span>A． B． C． D．2．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作，向菱形內(nèi)部作，使，則圖中陰影部分的面積為（　?。?/span>A． B．3 C．2 D．3．（2022?上城區(qū)二模）已知半徑為6的扇形的面積為12π，則扇形的弧長(zhǎng)為（　?。?/span>A．4 B．2 C．4π D．2π4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B（2，0），四邊形ABCD和AEFG都是正方形，點(diǎn)A、D、E共線，點(diǎn)G、A、B在x軸上，點(diǎn)C，E，F在以O為圓心OC為半徑的圓上，則的長(zhǎng)為（　?。?/span>A． B． C． D．5π5．（2022?蓬安縣模擬）如圖，在半徑為4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交OB于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積的最小值為（　　）A．4π﹣4 B．4π C．2π﹣4 D．2π6．（2022?達(dá)拉特旗一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為2，∠CDF＝15°，則陰影部分的面積為（　?。?/span>A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3二．填空題（共8小題）7．（2022?呼蘭區(qū)一模）一個(gè)扇形的面積為3π，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm，則這個(gè)扇形的半徑為 　   　cm．8．（2022?南平模擬）在半徑為3的圓中，圓心角為20°的扇形面積是 　   　．9．（2022?虎丘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分別以點(diǎn) B、點(diǎn)C為圓心，線段BC長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn) D、E、F，則圖中陰影部分的面積為 　   　．   10．（2022?莆田模擬）如圖，方格紙中2個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，圖中陰影部分均為扇形，則這兩個(gè)小扇形的面積之和為 　   　（結(jié)果保留π）．11．（2022春?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知扇形的弧長(zhǎng)為4π，直徑為16，則此扇形的圓心角為 　   　．12．（2022?福州模擬）在半徑為6的圓中，150°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 　   　．13．（2022春?沭陽(yáng)縣期中）如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以3cm為半徑畫(huà)圓，則圖中陰影部分的面積之和為 　   　．14．（2022?九龍坡區(qū)模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，連接AB，以點(diǎn)B為圓心，以OB的長(zhǎng)為半徑作弧，交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為 　   　．三．解答題（共6小題）15．（2022春?長(zhǎng)興縣月考）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為6cm．求扇形AOB的弧長(zhǎng)和面積．   16．（2022?費(fèi)縣一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AE的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD＝36°，連接BC．（1）求∠B的度數(shù)；（2）若AB＝3，求的長(zhǎng)．  17．（2022?石家莊模擬）如圖，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以邊AC為直徑的⊙O交斜邊AB于D，AD＝2，點(diǎn)E為AC左側(cè)半圓上一點(diǎn)，連接AE，DE，CD．（1）求∠AED的度數(shù)．（2）求DB的長(zhǎng)．（3）求圖中陰影部分的面積．         18．（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D．（1）若∠B＝28°，求的度數(shù)；（2）若D是AB的中點(diǎn)，AB＝4，求陰影部分的面積；（3）若，求AD?AB的值．  19．（2021秋?船營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為E，D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，連接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）若弦BC＝8cm，求圖中扇形BOC的面積（結(jié)果保留π）．      20．（2021秋?亭湖區(qū)期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積的公式為：弧田面積（弦×矢+矢2）．如圖，弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．按照上述公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角∠AOB為120°，弦長(zhǎng)AB＝2m的弧田．（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米？（取π近似值為3，近似值為1.7）

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