1.在探索過程中認(rèn)識圓，理解圓的本質(zhì)屬性；
2.了解圓及其有關(guān)概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；
【基礎(chǔ)知識】
一．圓的認(rèn)識
（1）圓的定義
定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．
（2）與圓有關(guān)的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．
（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．
二．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br> 推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．
三．垂徑定理的應(yīng)用
垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．
五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點(diǎn)P在圓外?d＞r
②點(diǎn)P在圓上?d＝r
①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r
（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
（3）符號“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
【考點(diǎn)剖析】
一．圓的認(rèn)識（共5小題）
1．（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（ ）
A．38°B．52°C．76°D．104°
2．（2020秋?東麗區(qū)期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是（ ）
A．6cmB．12cmC．16cmD．20cm
3．（2020秋?白云區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠BCD＝40°，則∠A＝ ．
4．（2019秋?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．
5．（2021春?巨野縣期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是 cm．
二．垂徑定理（共3小題）
6．（2022?南沙區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一動點(diǎn)，那么OP長的取值范圍是 ．
7．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長．
8．（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．
三．垂徑定理的應(yīng)用（共3小題）
9．（2020秋?伊通縣期末）在直徑為200cm的圓柱形油箱內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖（油面在圓心下）：若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為 ．
10．（2021秋?姜堰區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當(dāng)量得深度CE為1寸時(shí)，鋸開的寬度AB為1尺，問木材的直徑CD是 寸．（1尺＝10寸）
11．（2021?裕華區(qū)校級模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．
（1）求該圓弧所在圓的半徑；
（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．
四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）
12．（2021秋?臨邑縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上的點(diǎn)，若∠CAB＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（ ）
A．65°B．55°C．60°D．75°
13．（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）下列說法中，不正確的是（ ）
A．在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對的弦相等
B．在同一個(gè)圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數(shù)為60°
C．在同一個(gè)圓中，若兩弧不等，則大弧所對的圓心角較大
D．若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧是等弧
14．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點(diǎn)F，D，G，且D是的中點(diǎn)．
（1）求證AB＝AC；
（2）連接DF，當(dāng)DF∥AC時(shí)，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．
五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共3小題）
15．（2021秋?沭陽縣期末）若⊙O的直徑為10，點(diǎn)A到圓心O的距離為6，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在圓外B．點(diǎn)A在圓上C．點(diǎn)A在圓內(nèi)D．不能確定
16．（2022?常州模擬）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點(diǎn)D處建一個(gè)5G基站，其覆蓋半徑為300m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（ ）
A．A，B，C都不在B．只有B
C．只有A，CD．A，B，C
17．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，使點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，試求r的取值范圍．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2021·江蘇泰州市·）的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，點(diǎn)與的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)在內(nèi)B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在外D．無法確定
2．（江蘇泰州市·八年級期中）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2020·射陽縣第二初級中學(xué)）平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點(diǎn)P在（ ）
A．⊙O內(nèi)B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能
4．（2020·江蘇宿遷市·八年級期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的（ ）
A．三角形內(nèi)B．三角形外C．斜邊的中點(diǎn)D．不能確定
5．（2020·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是分別為（0,3）、（4,3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)
C．7個(gè)D．8個(gè)
6．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校八年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（ ）
A．10B．8C．7D．9
二、填空題
8．（2020·射陽縣第二初級中學(xué)）下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓；③兩個(gè)半圓是等??；④經(jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑．正確的是______填序號．
9．（2020·江蘇蘇州市·蘇州草橋中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點(diǎn)，則三角形的面積為________．
10．（2021·江蘇泰州市·）如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．
11．（2021·江蘇鹽城市·景山中學(xué)八年級期末）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)是__________．
12．（2020·揚(yáng)州市江都區(qū)國際學(xué)校八年級期中）如圖是一個(gè)俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個(gè)金色的圓圈，中間是一個(gè)矩形，矩形中間又有一個(gè)藍(lán)色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內(nèi)的菱形的邊長為_____cm．

13．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB為的直徑，弦于點(diǎn)H，若，，則OH的長度為__．
14．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．
15．（2017·江蘇鹽城市·東臺市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是________
16．（2019·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)八年級期末）已知以點(diǎn)C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)P（1，0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.
17．（2019·江蘇揚(yáng)州市·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.
18．（2021·江蘇八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
19．（2021·江蘇鹽城市·）如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點(diǎn)P為DC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．
三、解答題
20．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，判斷E、F、G、H四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點(diǎn)共圓；如果不在，說明理由．
21．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，求弦BD的長
22．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，求線段AE的長．
23．（2019·江蘇揚(yáng)州市·八年級期中）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為一動點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C 為兩個(gè)定點(diǎn)，且BC=a，AB=b.（a>b）
填空：當(dāng)點(diǎn)A位于______時(shí)，線段AC的長取得最小值，且最小值為______(用含a，b的式子表示)
（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最小值.
③如圖3所示，分別以AB，AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG，連接CD，BG.圖中線段CD，BG的關(guān)系是____________，線段BG 的最大值是__________.
24．（2021·江蘇鹽城市·景山中學(xué)八年級期末）我們知道，直角坐標(biāo)系是研究“數(shù)形結(jié)合”的重要工具．請?zhí)剿餮芯肯铝袉栴}：
（1）如圖1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，1），將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得對應(yīng)點(diǎn)，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求k的值．
（2）將（1）中的的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，如圖2，旋轉(zhuǎn)后的圖像與x軸相交于點(diǎn)B，若直線x=與旋轉(zhuǎn)后的圖像交于點(diǎn)C與點(diǎn)D，求△BCD的面積．
（3）在（2）的情況下，半徑為6的M的圓心M在x軸上，如圖3，若要使△BCD完全在M的內(nèi)部，求M的圓心M橫坐標(biāo)xm的范圍（直接寫出結(jié)果，不必寫詳細(xì)的解答過程）．

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