?第06講 圓周角
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解并掌握圓周角相關(guān)概念
2.探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；
【基礎(chǔ)知識(shí)】
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

　
2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
1、 頂點(diǎn)在圓上,它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦.
2、 圓周角定理：
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
3、 圓心角定理：
圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。
推論1： 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。
推論2： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑,高考物理。
3、 圓周角的特點(diǎn): (1)角的頂點(diǎn)在圓上; (2)角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.
4、圓周角和圓心角相對于圓心與直徑的位置關(guān)系有三種: 解題規(guī)律:
5、解決圓周角和圓心角的計(jì)算和證明問題,要準(zhǔn)確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運(yùn)用圓周角定理
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【微點(diǎn)撥】
(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
（3） 圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）

【考點(diǎn)剖析】
一．圓周角定理（共4小題）
1．（2021秋?惠州期末）如圖，已知圓心角∠AOB的度數(shù)為100°，則圓周角∠ACB的度數(shù)是（　?。?br />
A．80° B．260° C．100° D．130°
【分析】設(shè)點(diǎn)E是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，連接EA，EB，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半可求得∠E的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)即可得到∠ACB的度數(shù)．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)E是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，連接EA，EB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠E∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠E＝130°．
故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，知道同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AB邊是圓O的直徑，BC與圓O交于點(diǎn)D，且D是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝120°，點(diǎn)E在圓O上，則∠BED的度數(shù)是（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】根據(jù)AB邊是圓O的直徑，推出∠ADB＝90°，再推出△ABC是等腰三角形，所以∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°，根據(jù)圓周角定理推出∠BED＝∠BAD＝60°．
【解答】解：∵AB邊是圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴AC＝AB，
∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°，
∴∠BED＝∠BAD＝60°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3．（2021秋?天津期末）如圖，已知點(diǎn)A，B．C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，則∠BOC的度數(shù)為（　?。?br />
A．80° B．76° C．62° D．52°
【分析】根據(jù)圓周角定理，即可求得∠BOC的度數(shù)．
【解答】解：∵點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，∠BAC＝38°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝76°．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
4．（2022春?廬陽區(qū)校級期中）直線MN交⊙O于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若，AE＝1．求：
（1）⊙O的半徑；
（2）圓心O點(diǎn)到AB距離．

【分析】（1）連接CD，根據(jù)圓周角定理得到∠AED＝90°，根據(jù)勾股定理得出AD＝2，根據(jù)題意得到△ACD∽△ADE，相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）連接OD，過點(diǎn)O作OT⊥MN于點(diǎn)T，根據(jù)兩平行線間的距離相等求解即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥MN，
∴∠AED＝90°，
∵DE，AE＝1，
∴AD2，
連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵AD平分∠CAM交⊙O于D，
∴∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
∴，
則AC＝4，
∴⊙O的半徑是2；
（2）連接OD，過點(diǎn)O作OT⊥MN于點(diǎn)T，

∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，OT⊥MN，
∴OT＝DE，
∴圓心O點(diǎn)到AB距離．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．
二．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共7小題）
5．（2021秋?炎陵縣期末）如圖，ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，若∠D＝85°，則∠B＝（　?。?br />
A．85° B．95° C．105° D．115°
【分析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，∠D＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．
6．（2021秋?舟山期末）已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，則∠A＝（　?。?br /> A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：設(shè)∠A＝x，則∠C＝2x，
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長線上一點(diǎn)，若∠BAD＝105°，則∠DCE的度數(shù)是 　105　°．

【分析】由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由鄰補(bǔ)角的定義可得：∠BCD+∠DCE＝180°，可得∠DCE＝∠BAD．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案為：105．
【點(diǎn)評】此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
8．（2021秋?吳興區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，．若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)等于　55°?。?br />
【分析】連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠DAB，根據(jù)圓周角定理求出∠ACB、∠CAB，計(jì)算即可．
【解答】解：連接AC，
∵四邊形ABCD是半圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵，
∴∠CAB∠DAB＝35°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故答案為：55°．

【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋?泗陽縣期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為AB延長線上一點(diǎn)，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度數(shù)．

【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠ADC，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解答】解：由圓周角定理得，∠ADC∠AOC150°＝75°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠EBC＝∠ADC＝75°．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵．
10．（2021秋?山西期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
（1）求∠BAC的度數(shù)．
（2）求∠BAD的度數(shù)．

【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到∠CBD＝∠ABD＝33°，則∠ABC＝66°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠BAC的度數(shù)；
（2）先根據(jù)圓周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝33°，然后計(jì)算∠BAC+∠DAC即可．
【解答】解：（1）∵，
∴∠CBD＝∠ABD＝33°，
∴∠ABC＝66°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣44°＝70°；
（2）∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．也考查了圓周角定理．
11．（2021秋?南沙區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度數(shù)．

【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠BAD，然后根據(jù)等弧對等角求得答案即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DCE＝110°，
∴∠BAD＝∠DCE＝110°，
∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝55°．
【點(diǎn)評】考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，難度不大．
三．相交弦定理（共4小題）
12．（2020秋?臺(tái)江區(qū)校級月考）證明：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．
【分析】連AC，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠C＝∠B，∠A＝∠D，再根據(jù)三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性質(zhì)得AE：DE＝CE：BE，變形有AE?BE＝CE?DE；由此得到相交弦定理．
【解答】解：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．
已知，如圖，⊙O的兩弦AB、CD相交于E，
求證：AE?BE＝CE?DE．
證明：連AC，BD，如圖，
∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，
∴△AEC∽△DEB，
∴AE：DE＝CE：BE，
∴AE?BE＝CE?DE；
所以兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．

【點(diǎn)評】本題考查了相交弦定理：圓的兩條弦相交，那么這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．
13．（2021秋?東陽市月考）已知四邊形ABCD兩條對角線相交于點(diǎn)E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE
的值為（　?。?br />
A．6 B．7 C．12 D．16
【分析】由題意可知AB＝AC＝AD，點(diǎn)D、C、B在以點(diǎn)A為圓心的圓周上運(yùn)動(dòng)，由相交弦定理可得，BE?DE＝CE?EF即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴點(diǎn)D、C、B在以點(diǎn)A為圓心的圓周上運(yùn)動(dòng)，
AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，
EF＝AE+AF＝3+4＝7，
由相交弦定理可得，
BE?DE＝CE?EF＝1×7＝7，
故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了相交弦定理，根據(jù)圓心和半徑構(gòu)建圓是解題的關(guān)鍵．
14．（2021秋?余姚市期中）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，則CD長為（　?。?br />
A．16 B．24 C．12 D．不能確定
【分析】由相交線定理可得出AP?BP＝CP?DP，再根據(jù)AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的長，從而得出CD即可．
【解答】解：∵AP?BP＝CP?DP，
∴PD，
∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，
∴PD＝12，
∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了相交線定理，圓內(nèi)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共6小題）
1．（2022?睢寧縣模擬）如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，則∠AOC的度數(shù)是（　　）

A．45° B．28° C．56° D．60°
【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得到∠AOC＝2∠ABC，代入∠ABC+∠AOC＝84°，求出∠ABC的度數(shù)，從而得到∠AOC的度數(shù)．
【解答】解：∵∠ABC是所對的圓周角，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝84°，
∴3∠ABC＝84°，
∴∠ABC＝28°，
∴∠AOC＝28°×2＝56°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．
2．（2022?無錫模擬）如圖，已知⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點(diǎn)E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（　?。?br />
A．16° B．20° C．24° D．32°
【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠ABD的度數(shù)，根據(jù)∠ABD是△BDE的外角即可出答案．
【解答】解：∵∠ABD是所對的圓周角，
∴∠ABD∠AOD128°＝64°，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．
3．（2021?武都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦AC，BD交于點(diǎn)E，連接AB、CD，在圖中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，則BD的長為（　?。?br />
A． B． C．5 D．
【分析】根據(jù)題意求出EC，根據(jù)相交弦定理計(jì)算即可．
【解答】解：EC＝AC﹣AE，
由相交弦定理得，AE?EC＝DE?BE，
則DE，
∴BD＝DE+BE，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是相交弦定理，掌握圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等是解題的關(guān)鍵．
4．（2022?蒼南縣二模）如圖，點(diǎn)A，B在以CD為直徑的半圓上，B是的中點(diǎn)，連結(jié)BD，AC交于點(diǎn)E，若∠C＝38°，則∠CED的度數(shù)是（　?。?br />
A．115° B．116° C．118° D．120°
【分析】設(shè)半圓的圓心為O，連結(jié)AO，BO，BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到∠CBD＝90°，根據(jù)在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等得到∠BOC＝∠AOB，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得到∠A＝∠ACO＝38°，求出∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而得到∠BOC＝∠AOB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB∠AOB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到∠CED＝∠ACB+∠CBD的度數(shù)．
【解答】解：如圖，設(shè)半圓的圓心為O，連結(jié)AO，BO，BC，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CBD＝90°，
∵B是的中點(diǎn)，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OA＝OC，∠ACO＝38°，
∴∠A＝∠ACO＝38°，
∴∠AOC＝180°﹣38°﹣38°＝104°，
∴∠BOC＝∠AOB＝52°，
∵∠ACB是所對的圓周角，
∴∠ACB∠AOB52°＝26°，
∵∠CED是△BCE的外角，
∴∠CED＝∠ACB+∠CBD＝26°+90°＝116°，
故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，遇到弧的中點(diǎn)，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為圓心角相等或圓周角相等，這是解題的關(guān)鍵．
5．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝50°，則∠BCD的度數(shù)為（　?。?br />
A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)性質(zhì)得出∠A+∠BCD＝180°是解此題的關(guān)鍵．
6．（2022?南京一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點(diǎn)，若∠B＝70°，則∠CAD的度數(shù)為（　?。?br />
A．70° B．55° C．35° D．20°
【分析】根據(jù)∠B度數(shù)求出的度數(shù)，再求出的度數(shù)，再求出∠CAD的度數(shù)即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴的度數(shù)是140°，
∵D是的中點(diǎn)，
∴和的度數(shù)都是70°，
∴∠CAD70°＝35°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
7．（2021?饒平縣校級模擬）如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，則DP為　?。?br />
【分析】根據(jù)相交弦定理列式計(jì)算即可．
【解答】解：由相交弦定理得，PA?PB＝PC?PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是相交弦定理的應(yīng)用，掌握圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等是解題的關(guān)鍵．
8．（2022?文成縣一模）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，則∠ABC＝　20　°．

【分析】根據(jù)圓周角定理及三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵OA∥BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，
∴∠BOC＝5∠ABC，
∴∠AOB＝7∠ABC，
在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，
∴9∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝20°，
故答案為：20．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2022?南山區(qū)二模）如圖已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是 　110°?。?br />
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)計(jì)算即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝110°，
故答案為：110°．
【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022?射陽縣一模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足為E．若∠ADC＝30°，BC＝4，則AE＝　2?。?br />
【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CE＝BE，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，解直角三角形求出OC和OE，再求出答案即可．
【解答】解：連接OC，

∵OA⊥BC，OA過圓心O，BC＝4，
∴∠OEC＝90°，CE＝BE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴sin∠AOC，
∴sin60°，
解得：OC＝4，
∵∠BCO＝90°﹣60°＝30°，
∴OEOC＝2，
∴AE＝4﹣2＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能求出CE＝BE是解此題的關(guān)鍵．
11．（2022?溫嶺市一模）如圖，AB是⊙O的弦，AB＝4，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，∠P＝45°，連接PA、PB，AC是△ABP的中線，
（1）若∠CAB＝∠P，則AC＝　4??；
（2）AC的最大值＝　2+2?。?br />
【分析】（1）作BH⊥AC，根據(jù)△BAC∽△BPA，求出BC＝4，再證明H和C重合即可得到答案；
（2）確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，軌跡點(diǎn)圓關(guān)系找到AC的最大值就是AC'長，再計(jì)算求解．
【解答】解：如圖1，作BH⊥AC，
∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
∴，
∴BA2＝BC?BP，
∵AC是△ABP的中線，
∴BP＝2BC，
∴，
∴BC＝4，
在Rt△ABH中，∠BAC＝45°，AB＝4，
∴BH＝4，
又∵BC＝4，
∴點(diǎn)H和點(diǎn)C重合，
∴AC＝AH＝4．
故答案為4．
（2）如圖2，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是OB為直徑的圓，
∴當(dāng)AC'經(jīng)過圓心O'時(shí)最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AO＝4，OO'＝2，
∴AO'＝2，
∵O'C'＝2，
∴AC'＝2+2，
∴AC的最大值為2+2．
故答案為2+2．


【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和圓中最值問題，解題的關(guān)鍵是，確定AC最大時(shí)點(diǎn)C的位置．
三．解答題（共6小題）
12．（2022?邯鄲一模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥OC交OB于E點(diǎn)，在OD上取點(diǎn)F，使OF＝DE，連接CF并延長交OB于G點(diǎn)．
（1）求證：△OCF≌△DOE；
（2）若C、D是AB的三等分點(diǎn)，：
①求∠OGC；
②請比較GE和BE的大小．

【分析】（1）根據(jù)平行可得∴∠COD＝∠ODE，再由于OC＝OD，OF＝DE，即可得證；
（2）①先根據(jù)C、D是弧AB的三等分點(diǎn)，得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30，∠COG＝60°，再根據(jù)全等得到∠OCF＝30°，從而得到∠OGC的值；
②利用勾股定理和全等三角形的性質(zhì)即可得到OG、OF、OE的值，進(jìn)而可求出GE，BE值，即可判斷出大小．
【解答】解：（1）∵DE∥OC，
∴∠COD＝∠ODE，
在△OCF和△DOE中，

∴△OCF≌△DOE（SAS）；
（2）①∵C、D是的三等分點(diǎn)，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF＝∠DOE＝30°，
∵∠COG＝∠COD+∠DOB＝60°，
∴∠OGC＝90°；
②在Rt△OGC中，∠OCG＝30°，，
∴，
又∵∠DOE＝30°，
∴OF＝2，
∵∠OCF＝∠COF＝30°，
∴CF＝OF＝2，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE＝CF＝2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角的定理，涉及到全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)幾何基礎(chǔ)進(jìn)行推理計(jì)算．
13．（2022?金東區(qū)一模）如圖，已知點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上，點(diǎn)D為弧BC中點(diǎn)，連結(jié)AC并延長交BD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，連結(jié)OG，DG＝1，DB＝2．
（1）求證：AE＝AB．
（2）求FB的長．
（3）求OG的長．

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝90°，由點(diǎn)D為弧BC中點(diǎn)，可得∠CAD＝∠BAD，則可證明△AED≌△ADB，即可得出答案；
（2）根據(jù)題意可證明△EDG∽△EFB，則，根據(jù)勾股定理可得EF，代入計(jì)算即可得出答案；
（3）在Rt△EFB中，根據(jù)已知條件可算出EF的長，在Rt△EGD中，可算出EG的長，由GF＝EF﹣EG即可算出GF的長，由△EFB∽△ADB，可得，代入計(jì)算可算出AD的長，在Rt△ADB中，可算出AB的長，即可算出OB的長，根據(jù)OF＝OB﹣FB即可算出OF的長，在Rt△OGF中根據(jù)勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠BAD，
在△AED和△ADB中，
，
∴△AED≌△ADB（ASA），
∴AE＝AB．
（2）∵∠GED＝∠FEB，∠EDG＝∠EFB＝90°，
∴△EDG∽△EFB，
∴，
∵ED＝DB＝2，EF，
∴，
解得：FB．
（3）在Rt△EFB中，
∵EB＝4，F(xiàn)B，
∴EF，
在Rt△EGD中，
EG，
∴GF＝EF﹣EG，
∵△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴AD＝4，
在Rt△ADB中，
AB2，
∴OB，
∴OF＝OB﹣FB，
在Rt△OGF中，
OG．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理及相似三角形，熟練掌握圓周角定理，勾股定理及相似三角形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
14．（2022?瑤海區(qū)一模）已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于E，點(diǎn)F為弧EC的中點(diǎn)，OF的延長線交CB于D．
（1）求證：CD＝BD；
（2）連接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的長．

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠AEC＝90°，F(xiàn)為弧EC的中點(diǎn)得到∠OGC＝90°，從而得到OD∥AB，從而根據(jù)平行線分線段成比例即可得證；
（2）在Rt△OCD中，勾股定理得出OD長，等面積法得到CG長，從而可在Rt△OCG中勾股定理求出OG，即可得GF的長．
【解答】（1）證明∵AC是直徑，
∴∠AEC＝90°，
∵F為弧EC的中點(diǎn)，
∴OF⊥CE，
∴∠OGC＝90°，
∴∠AEC＝∠OGC，
∴OD∥AB，
∴，
∴CD＝BD；
（2）解：∵AC＝6，
∴OC＝3，
在Rt△OCD中，OD5，
∵，
∴CG，
在Rt△OCG中，OG，
∴GF＝OF﹣OG．
【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理及圓周角定理，難度一般，解題關(guān)鍵是根據(jù)90°得到平行．
15．（2022?宿州一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)A作AF∥BC交圓于點(diǎn)F，連接DE、EF．求證：
（1）四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）EF平分∠BED．

【分析】（1）連接AE，BF，如圖，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．可得∠AEB＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，CE＝BE，根據(jù)矩形的判定方法∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，可得四邊形FAEB是矩形，即可得出FA＝CE，由已知條件AF∥BC即可得出答案；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得∠AFE+∠ADE＝180°，由鄰補(bǔ)角定義可得∠CDE+∠ADE＝180°，即可得出∠CDE＝∠AFE，由（1）中結(jié)論可得EF∥AC，可得∠FED＝∠CDE，即可得出∠FED＝∠AFE，再由AF∥BC，可得∠FEB＝∠AFE，即可得出∠BEF＝∠FED，即可得出答案．
【解答】證明：（1）連接AE，BF，如圖，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．
∵AE∥BC，
∴∠AEC＝∠EAF＝90°，
∴∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，
∴四邊形FAEB是矩形，
∴FA＝BE＝CE，
∵AF∥CE，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）∵四邊形AEBF是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠AFE+∠ADE＝180°，
∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴∠CDE＝∠AFE，
∵EF∥AC，
∴∠FED＝∠CDE，
∴∠FED＝∠AFE，
∵AF∥BC，
∴∠FEB＝∠AFE，
∴∠BEF＝∠FED，
∴EF平分∠BED．

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
16．（2022?蜀山區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB為直徑的半⊙O于D，E．連接AE，BD，交點(diǎn)為F．
（1）證明：AF＝BC；
（2）當(dāng)點(diǎn)F是BD中點(diǎn)時(shí)，求BE：EC值．

【分析】（1）由圓周角定理推論可得∠ADB＝∠AEB＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD＝BD，根據(jù)∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，且∠AFD＝∠BFE，即可得出∠DAF＝∠FBE，則可證明△ADF≌△BDC，即可得出答案；
（2）設(shè)DF＝a，則DF＝BF＝a，可得AD＝BD＝2a，根據(jù)勾股定理可得AFa，由（1）中結(jié)論可得AF＝BC，由∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，可證明△ADF∽△BEF，則，可得BEa，由CE＝BC﹣BE可得出CE的長度，計(jì)算即可得出答案．
【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠DAF＝∠FBE，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）設(shè)DF＝a，則DF＝BF＝a，
∴AD＝BD＝2a，
在Rt△ADF中，
AFa，
∴AF＝BC，
∵∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BEa，
∴CE＝BC﹣BEaaa，
∴．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理及相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
17．（2022春?射陽縣校級月考）如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作DB的垂線，交AB的延長線于點(diǎn)G，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)AC，其中∠A＝∠D．
（1）求證：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半徑．

【分析】（1）利用等角的余角證明∠D＝∠G，再根據(jù)等量代換可得∠A＝∠G，從而得到結(jié)論；
（2）連接OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，則OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．
【解答】（1）證明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：連接OC，如圖，
設(shè)⊙O的半徑為r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半徑為5．

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理和勾股定理．

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