02因數(shù)與倍數(shù)本專題主要針對因數(shù)與倍數(shù)相關(guān)的內(nèi)容進行逐層鞏固拔高拓展，包括：
1.因數(shù)與倍數(shù)的認識及求法2.2、3、5的倍數(shù)特征及奇偶數(shù)3.質(zhì)數(shù)和合數(shù)4.和的奇偶性  1．在下面關(guān)于算式、、均為整數(shù)，且的說法中，正確的是　　A．是的因數(shù) B．是的倍數(shù) C．是的倍數(shù) D．是的因數(shù)2．下面的數(shù)中，既是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)的是　　A．1235 B．2470 C．3375 D．84813．古希臘數(shù)學(xué)家認為：如果一個數(shù)恰好等于它的所有因數(shù)（本身除外）之和，那么這個數(shù)就是“完全數(shù)”。例如：6有四個因數(shù)1、2、3、6，除6本身以外，還有1、2、3三個因數(shù)，，恰好是所有因數(shù)之和，所以6就是“完全數(shù)”。下面的數(shù)中是“完全數(shù)”的是　　A．12 B．24 C．28 D．364．在以內(nèi)，連續(xù)三個數(shù)都是合數(shù)的一共有　　組．A．0 B．1 C．2 D．35．在3，8，12和25四個數(shù)中任意取兩個數(shù)組成一對互質(zhì)數(shù)，一共有　　對．A．3 B．4 C．5 D．66．把50寫成兩個質(zhì)數(shù)之和，不同的表示方法共有　　種．（只要兩個質(zhì)數(shù)分別相同，就認為是同一種表示方法．A．1 B．2 C．3 D．47．706最少要減去 　　，就是3的倍數(shù)。8．有四張數(shù)字卡片，分別是2、3、5、7，從中選三張組成三位數(shù)，要使這個三位數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。組成的三位數(shù)是 　　和 　　。9．為了在螞蟻森林種一棵白楊樹，小豪堅持每天步行上學(xué)，他平均每天步行產(chǎn)生的能量（單位：克）是一個同時為3，5的倍數(shù)的最大兩位數(shù)。那么小豪平均每天步行產(chǎn)生 　　克能量。10．2022年在北京第13屆冬殘奧會上，中國體育代表團奮勇爭先，奪得金牌數(shù)量位居世界第一，金牌數(shù)個位上是8的最小倍數(shù)，十位上是8的最小因數(shù)，本屆冬殘奧會，中國獲得 　　枚金牌。11．□是一個三位數(shù)，且是3的倍數(shù)，已知，那么□里可以填的數(shù)有 　　個。12．李老師帶領(lǐng)一部分同學(xué)去植樹，同學(xué)們正好可以平均分成3組，如果師生每人植樹一樣多，則共植155棵樹，平均每人植樹 　　棵。 13．寫出下面各數(shù)的因數(shù)．25     12      49      36．  14．用18個小正方形拼一個長方形，有幾種拼法？請你畫出3種拼法，再填一填。18的全部因數(shù)有：　　15．選擇合適的數(shù)填在圓圈內(nèi)．1、2、3、4、6、9、8、12、16、18、24、30、33、54、57、65、91、97、101、121、131．16．端午節(jié)學(xué)校組織學(xué)生們看望“第一老年公寓”的爺爺奶奶。同學(xué)們自己動手包了96個粽子，現(xiàn)在要把這些粽子裝在袋子里，如果每個袋子里的粽子不少于2個，不多于4個，且每個袋子里裝的粽子同樣多，那么共有幾種不同的裝法？   17．大約1500多年前，我國偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之計算出的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把的值精確到七位小數(shù)的人?，F(xiàn)代人利用計算機已經(jīng)將的值計算到了小數(shù)點后15億位以上。這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律。但是細心的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質(zhì)數(shù)，31也是質(zhì)數(shù)，但314不是質(zhì)數(shù)，那么在3141、31415、314159、3141592、31415926、31415927中，哪些是質(zhì)數(shù)？   18．爸爸買回20個梨，讓小明把梨放入籃中。不許一次拿完，也不許一個一個地拿，要每次拿的個數(shù)相同，拿到最后正好一個不剩。小明共有幾種拿法？每種拿法每次各拿多少個？（提示：將問題轉(zhuǎn)化為求20的所有因數(shù)，再排除不合要求的拿法）   19．小明到文具店買文具套裝，文具套裝的單價已經(jīng)看不清了，他買了3套文具套裝，付了150元，售貨員阿姨找回了17元，小明認為不對，你能解釋這是為什么嗎？   20．下面是紅星小學(xué)五年級各班的人數(shù)．哪幾個班可以平均分成人數(shù)相同的小組？哪幾個班不可以？為什么？班級（1）班（2）班（3）班（4）班人數(shù)人41424339   21．學(xué)生在操場上列隊做操，人數(shù)在90至110之間，如果排成3列不多也不少，如果排成5列則少2人，如果排成7列則少4人．一共有多少學(xué)生在操場上做操？   22．一個房間長，寬，現(xiàn)在計劃用方磚鋪地，問：需要邊長最大為多少厘米的方磚多少塊（整塊）正好將房間的地面鋪滿？
 1．【答案】【分析】在整除算式中，被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)。據(jù)此解題。【解答】解：、、均為整數(shù)，且，那么是和的倍數(shù)，和是的因數(shù)。所以，選項中說法正確的是“是的倍數(shù)”。故選：。【點評】本題考查了因數(shù)和倍數(shù)，掌握因數(shù)和倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵。2．【答案】【分析】根據(jù)5的倍數(shù)的特征，一個數(shù)的個位是0或5，這個數(shù)就是5的倍數(shù)；根據(jù)3的倍數(shù)的特征，一個數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)；要想同時是3、5的倍數(shù)，這個數(shù)的個位一定是0或5，各位上數(shù)的和一定是3的倍數(shù)。【解答】解：是5的倍數(shù)，個位上是5，所以能被5整除；，11不能被3整除，所以1235不是3的倍數(shù)；不符合題意。是5的倍數(shù)，個位上是0，所以能被5整除；，13不被被3整除，所以2470不是3的倍數(shù)；不符合題意。是5的倍數(shù)，個位上是5，所以能被5整除；，18能被3整除，所以3375是3的倍數(shù)；因此3375既是5的倍數(shù)也是3的倍數(shù)。不是5的倍數(shù)，個位是1，所以不能被5整除；，21能被3整除，所以8481是3的倍數(shù)；不符合題意。故選：。【點評】此題是考查3、5的倍數(shù)特征。一個數(shù)要想同時是3、5的倍數(shù)，它必須同時具備3、5的倍數(shù)特征。3．【答案】【分析】根據(jù)完全數(shù)的定義，可將下列選項中的數(shù)字進行計算，即可得出答案。【解答】解：的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12，，所以12不是“完全數(shù)”，故不符合題意；的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24，，所以24不是“完全數(shù)”，故不符合題意；的因數(shù)有：1、2、4、7、14、28，，所以28是“完全數(shù)”，故符合題意；的因數(shù)有：1、2、3、4、9、12、18、36，，所以36不是“完全數(shù)”，故不符合題意。故選：。【點評】此題主要考查的是如何計算一個數(shù)的因數(shù)。4．【分析】在大于1自然數(shù)中，除了1和它本身外沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)，除了1和它本身外還有別的因數(shù)的數(shù)為合數(shù)．據(jù)此用枚舉法找出20以內(nèi)的合數(shù)即可．【解答】解：20以內(nèi)的合數(shù)有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18共10個，所以在以內(nèi)，連續(xù)三個數(shù)都是合數(shù)的一共有8、9、10和14、15、16兩組．故選：．【點評】解答此題的關(guān)鍵是列舉出20以內(nèi)的合數(shù)然后從中選擇即可．5．【分析】互質(zhì)數(shù)是公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，據(jù)此把3，8，12和25四個數(shù)中任意取兩個數(shù)組成一對互質(zhì)數(shù)，然后數(shù)出即可．【解答】解：把3，8，12和25四個數(shù)中任意取兩個數(shù)組成的互質(zhì)數(shù)有：3和8，3和25，8和25，12和25，共計4對；故選：．【點評】本題主要考查互質(zhì)數(shù)的意義，注意互質(zhì)數(shù)是公因數(shù)只有1的兩個數(shù)．6．【分析】50以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47；其中；；；；由此即可進行填空．【解答】解：50以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47；其中；；；；答：不同的表示方法共有4種．故選：．【點評】本題主要考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義．此類問題要注意做到不重不漏．7．【答案】1。【分析】3的倍數(shù)的數(shù)的特征是：各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)；706中各位上數(shù)字之和是13，12是3的倍數(shù)，所以至少減去1可滿足條件，據(jù)此解答。【解答】解：12是3的倍數(shù)，滿足題意。即706最少要減去1，就是3的倍數(shù)。故答案為：1。【點評】熟練掌握3的倍數(shù)的特征是解答本題的關(guān)鍵。8．【答案】732，372。【分析】根據(jù)2、3的倍數(shù)的特征，個位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)；一個數(shù)各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)；同時是2、3的倍數(shù)的數(shù)，個位上必須是偶數(shù)且各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。據(jù)此解答。【解答】解：有四張數(shù)字卡片，分別是2、3、5、7，從中選三張組成三位數(shù)，要使這個三位數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。組成的三位數(shù)是732和372。故答案為：732，372。【點評】此題考查的目的是理解掌握2、3的倍數(shù)的特征及應(yīng)用，關(guān)鍵是明確：同時是2、3的倍數(shù)的數(shù)，個位上必須是偶數(shù)且各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。9．【答案】90。【分析】3的倍數(shù)特征：每一個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)。【解答】解：因為是最大的兩位數(shù)，所以十位盡可能的大，讓十位為9；而又因為這個數(shù)是5的倍數(shù)，所以個位只能為0或者5；當個位為0時，是3的倍數(shù)，所以90符合同時為3，5的倍數(shù)；當個位為5時不是3的倍數(shù)，所以95不符合同時為3，5的倍數(shù)；因此同時為3，5的倍數(shù)的最大兩位數(shù)是90。故答案為：90。【點評】此題需要學(xué)生掌握3、5的倍數(shù)特征并能靈活的運用。10．【答案】18。【分析】一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，金牌數(shù)個位上是8的最小倍數(shù)，所以是8；一個數(shù)的最小因數(shù)是1，十位上是8的最小因數(shù)，所以是1。【解答】解：根據(jù)分析得金牌數(shù)個位上是8，十位上是1，所以本屆冬殘奧會，中國獲得18枚金牌。故答案為：18。【點評】本題考查倍數(shù)和因數(shù)，要掌握一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，最小因數(shù)是1。11．【答案】3。【分析】3的倍數(shù)的特征是：一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)，據(jù)此即可解答。【解答】解：，滿足要求；，滿足要求；，滿足要求；，不滿足要求，所以方框中可以填的數(shù)有3個。故答案為：3。【點評】3的倍數(shù)特征是各個數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，熟練掌握3的倍數(shù)特征就能解決問題。12．【答案】5。【分析】“同學(xué)們正好可以平均分成3組”，說明學(xué)生人數(shù)是3的倍數(shù)，再加李老師，則師生人數(shù)被3除余1，因為155是每人植的棵數(shù)與總?cè)藬?shù)的乘積，所以要先把155分解質(zhì)因數(shù)為，然后把因數(shù)重新組合，使它們?yōu)閮蓴?shù)的乘積，從而求解。【解答】解：（人所以有學(xué)生30人，平均每人植樹5棵。答：平均每人植樹5棵。故答案為：5。【點評】解決此題明確學(xué)生總?cè)藬?shù)是3的倍數(shù)，155棵樹是師生共同種的棵數(shù)，所以把155分解質(zhì)因數(shù)，進而重新組合，從而解決問題。13．【分析】根據(jù)求一個數(shù)的因數(shù)的方法，進行依次列舉即可．【解答】解：25的因數(shù)：1、5、25； 12的因數(shù)：1、2、3、4、6、12；49的因數(shù)：1、7、49；36的因數(shù)：1、2、3、4、6、9、12、18、36．【點評】此題主要考查了找一個數(shù)的因數(shù)的方法，要熟練掌握．14．【答案】1，18，2，9，3，6。【分析】根據(jù)正方形的面積邊長邊長，可得小正方形面積為：，所以18個小正方形的面積是：，這也是拼成的長方形的面積；又因為長方形的面積長寬，所以長寬，也就是兩個因數(shù)的積等于18，那這兩個因數(shù)就分別為長方形的長和寬，據(jù)此即可求解。【解答】解：①長為18，寬為1，面積是：②長為9，寬為2，面積是：③長為6，寬為3，面積是：所以一共有3種不同的拼法，拼出來的長方形如圖所示：所以18的全部因數(shù)有：1，18，2，9，3，6。故答案為：1，18，2，9，3，6。【點評】解決本題的關(guān)鍵在于知道拼成的長方形的面積等于18個小正方形的面積。15．【分析】求一個數(shù)的倍數(shù)的方法用這個數(shù)分別乘以自然數(shù)：1，2，3，4，，所得積就是這個數(shù)的倍數(shù)；在自然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)；除了1和它本身外，還有別的因數(shù)的數(shù)為合數(shù)．解答即可．【解答】解：由分析解答如下：1、2、3、4、6、9、8、12、16、18、24、30、33、54、57、65、91、97、101、121、131；3的倍數(shù)有：3、6、9、12、18、24、30、33、54、57；5的倍數(shù)有：30、65；6的倍數(shù)有：6、12、18、24、30、54；11的倍數(shù)有：33、121；質(zhì)數(shù)有：2、3、97、101、131；合數(shù)有：4、6、9、8、12、16、18、24、30、33、54、57、65、91、121．故答案為：【點評】本題考查了求一個數(shù)倍數(shù)的方法、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義，數(shù)比較多，要一個一個的判斷．16．【答案】3種。【分析】根據(jù)題意可知，每個袋子裝粽子的個數(shù)必須是96的因數(shù)，且大于或等于2，小于或大于4，根據(jù)求一個數(shù)的因數(shù)的方法解答即可。【解答】解：96的因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、96；在96的因數(shù)中大于或等于2，小于或大于4的有2、3、4。答：共有3種不同的裝法。【點評】此題考查的目的是理解掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法及應(yīng)用。17．【答案】314159。【分析】根據(jù)2、3、5的倍數(shù)的特征可知，3141、31415、3141592、31415926分別是3、5、2、2的倍數(shù)；31415927是31的倍數(shù)，再根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義即可得出答案。【解答】解：3141、31415、3141592、31415926分別是3、5、2、2的倍數(shù)；31415927是31的倍數(shù)，所以314159是質(zhì)數(shù)。【點評】本題主要考查質(zhì)數(shù)的知識，明確質(zhì)數(shù)的定義是關(guān)鍵。18．【答案】4；2，4，5，10。【分析】從“每次拿的個數(shù)相同，拿到最后正好一個不?！笨梢灾烂看文玫膫€數(shù)應(yīng)是20的因數(shù)；因為不能一次拿完，也不能一個一個地拿，所以應(yīng)該去掉1和它本身（即這兩種拿法；因此，先找出30有多少個因數(shù)，用因數(shù)的個數(shù)減去2就是所求。【解答】解：20的因數(shù)有1、2、4、5、10、20共6個因數(shù)，也就是6種拿法，但是不能一次拿完，也不能一個一個地拿，所以總共有（種拿法；可以2個2個的拿，4個4個的拿，5個5個的拿，10個10個的拿。答：小明共有4種拿法，可以2個2個的拿，4個4個的拿，5個5個的拿，10個10個的拿。【點評】此題需要學(xué)生熟練掌握找一個數(shù)因數(shù)的方法，還考查了因數(shù)的應(yīng)用。19．【分析】根據(jù)被3整除特征：每一位上數(shù)字之和能被3整除，根據(jù)題意，小名買了3套文具套裝，付了150元，售貨員阿姨找回了17元，3套文具套裝售總價是，，7不是3的倍數(shù)，所以不對，解答即可．【解答】解：，1，，7不是3的倍數(shù)，小明買3套文具套裝，售貨員阿姨找回了17元，因此確定小明認為不對的觀點是正確的．答：小明認為不對的觀點是正確的，因為，133不是3的倍數(shù)．【點評】此題主要根據(jù)被3整除的數(shù)的特征解決問題．20．【分析】這些班的人數(shù)中，是合數(shù)的可以平均分成每組相同的人數(shù)，是質(zhì)數(shù)的就不能分成相同的組數(shù)．【解答】解：39、42是合數(shù)，可以平均分成人數(shù)相同的小組；41、43是質(zhì)數(shù)，不可以平均分成人數(shù)相同的小組．答：（1）班、（3）班班不可以平均分成人數(shù)相同的小組；（2）班、（4）班可以平均分成人數(shù)相同的小組．【點評】本題考查了根據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的性質(zhì)進行求解．21．【分析】如果排成3列不多也不少，說明人數(shù)是3的倍數(shù)；如果排成5列則少2人，就可以說明比5的倍數(shù)少2，或是比5的倍數(shù)多3；如果排成7列則少4人，說明比7的倍數(shù)少4，或是比7的倍數(shù)多3；那么這個數(shù)就同時具備這樣幾個條件：90至110之間，是3的倍數(shù)，比5、7的倍數(shù)多3，那么就可以先求3、5、7的最小公倍數(shù)，再看他是不是在之間，然后再加3即可．【解答】解：因為3、5、7是互質(zhì)數(shù)，所以3、5、7的最小公倍數(shù)是，則總?cè)藬?shù)為：（人答：共有學(xué)生108人在操場上做操．【點評】此題應(yīng)根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義進行解答，即求在之間3、5、7的公倍數(shù)加3．22．【分析】需要邊長最大為多少厘米的方磚，即是求出450和330的最大公約數(shù)，求多少塊用總面積除以方磚的面積即可．【解答】解：，，所以450和330的最大公約數(shù)為，（塊答：需要邊長最大為30厘米的方磚165塊（整塊）正好將房間的地面鋪滿．【點評】本題考查了公因數(shù)應(yīng)用題，關(guān)鍵是求出450和330的最大公約數(shù)．

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