www.ks5u.com宣城二中2022屆高一年級(jí)2019-2020學(xué)年第二學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷一、單選題：（每小題5分，共60分．）1. 一個(gè)球的表面積是，那么這個(gè)球的體積為（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求球半徑，再求球體積.【詳解】因?yàn)?/span>，所以,選B.【點(diǎn)睛】本題考查球表面積與體積，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.2. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)即可得出．【詳解】解：＝36.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)，還考查了推理能力與計(jì)算能力．3. 已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為（    ）A. a2 B. a2 C. a2 D. a2【答案】D【解析】【分析】由斜二測畫法畫出正三角形的直觀圖，作直觀圖的底邊的高，進(jìn)而求高，再由三角形的面積公式求得結(jié)果。【詳解】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖. 由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的直觀圖，考查基本應(yīng)用求解能力，屬于基礎(chǔ)題。求幾何圖形的直觀圖的面積，方法一，根據(jù)斜二測畫法，作出直觀圖，再求直觀圖的面積；方法二，直觀圖的面積與原平面圖形的面積比為。4. 函數(shù)的最大值為（   ）A.  B.  C.  D. 2【答案】A【解析】由題意，得；故選A.5. △ABC中，已知tanA=，tanB=，則∠C等于（    ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°【答案】D【解析】【分析】利用三角形內(nèi)角和為，可得：，利用兩角和公式和已知條件，即可得解.【詳解】在△ABC中，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正切的兩角和公式，考查了三角形內(nèi)角和，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.6. 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面積是 ，則 b=（    ）A. 1+  B.  C.  D. 2+ 【答案】A【解析】【分析】由三角形面積得，由余弦定理結(jié)合已知條件可得．【詳解】由已知，，所以，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式，考查余弦定理，解題方法是直接法，直接利用余弦定理列出的方程即可求解．7. 設(shè)在中,角所對(duì)的邊分別為, 若, 則的形狀為 （ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.8. 紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾 多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一 個(gè)圓臺(tái) (即圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)錐體得到的).下圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（     ）A 100 B. C. 300 D. 400【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即可求出．【詳解】設(shè)大圓錐的高為，所以，解得．故．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺(tái)體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9. 對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】當(dāng)m=0時(shí),，不等式成立；設(shè)，當(dāng)m≠0時(shí)函數(shù)y為二次函數(shù)，y要恒小于0，拋物線開口向下且與x軸沒有交點(diǎn)，即要m<0且△<0得到：解得?4<m<0.綜上得到?4<m?0.故選B.10. 對(duì)于實(shí)數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，那么不等式恒 成立的的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】分析：先解一元二次不等式得，再根據(jù)定義求結(jié)果.詳解：因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>，所以,選C.點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式解法以及取整定義的理解，考查基本求解能力.11. 用一個(gè)平面去截正方體，截面的形狀不可能是（    ）A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五邊形 D. 正六邊形【答案】C【解析】【分析】不難作出截面是正三角形和正方形的例子，正六邊形的例子是由相應(yīng)棱的中點(diǎn)連接而成，利用反證法，和平面平行的性質(zhì)定理可以證明不可能是正五邊形．【詳解】如圖所示：截面的形狀可能是正三角形（圖1），正方形（圖2），正六邊形（圖3）      　　圖1                      　　圖2                        圖3假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個(gè)面內(nèi)，由于正方體有6個(gè)面，分成兩兩平行的三對(duì)，故必然有一對(duì)平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，掌握正方體以及平面圖形的幾何特征，難點(diǎn)是借助于反證法，利用面面平行的性質(zhì)定理判定C錯(cuò)誤，屬于基礎(chǔ)題．12. 在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=4，則V的最大值是A. 4π B.  C. 6π D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球半徑為，代入球的體積公式，可得答案．【詳解】解：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10．故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑r2，又由AA1=4，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球半徑為，此時(shí)V的最大值，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的幾何特征，棱柱的內(nèi)切球問題，根據(jù)已知求出球的半徑，是解答的關(guān)鍵．二、填空題：每小題5分，共20分（請(qǐng)將答案填在答題卷上）13.           ．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，可直接求出結(jié)果.【詳解】.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正切公式，熟記公式即可，屬于?？碱}型.14. 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_________.【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列中的，，成等差數(shù)列列方程，可求出等比數(shù)列的公比，從而可求出結(jié)果.【詳解】由成等差數(shù)列得，由是等比數(shù)列得，化簡得，因?yàn)?/span>各項(xiàng)為正數(shù)，解得．所以．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查等差中項(xiàng)，等比數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15. 若正數(shù)滿足，則的最小值是___________.【答案】5【解析】【詳解】試題分析：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)：基本不等式16. 在三棱錐中，，，，當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，其外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】易得當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積取最大，根據(jù)，，，得到，則三棱錐截取于長方體求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積取最大，則三棱錐截取于長方體，如圖所示：此時(shí)，外接球的直徑為，所以半徑為：，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及外接球問題，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：6小題，共70分（解答應(yīng)寫出必要的演算步驟和計(jì)算過程）17. 在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到,再根據(jù)公差公式求出公差,然后可寫出通項(xiàng)公式;(2)由(1)的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng),再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,（1）∵，,所以,則, （2），.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的公式以及運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.18. 已知函數(shù)（I）求的值（II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．（Ⅱ）直接利用函數(shù)的關(guān)系式，求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【詳解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，則f（）＝﹣2sin（）＝2，（Ⅱ）因?yàn)?/span>．所以的最小正周期是．由正弦函數(shù)性質(zhì)得，解得，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的?？贾R(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性；三角函數(shù)解答題中，涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等考點(diǎn)時(shí)，都屬于考查三角函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解．19. 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，三角形面旋轉(zhuǎn)一周形成一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．【答案】表面積為π，體積為π.【解析】【分析】由已知三角形ABC為直角三角形，斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體是AB邊的高CO為底面半徑的兩個(gè)圓錐組成的組合體，計(jì)算出底面半徑及兩個(gè)圓錐高的和，代入圓錐體積公式，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積；又由該幾何體的表面積是兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，分別計(jì)算出兩個(gè)圓錐的母線長，代入圓錐側(cè)面積公式，即可得到答案．【詳解】過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D．△ABC以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)底面重合的圓錐，如圖所示，這兩個(gè)圓錐高的和為AB＝5，底面半徑DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.V＝π·DC2·AD＋π·DC2·BD＝π·DC2(AD＋BD)＝π.即所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為π，體積為π.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積和表面積，其中根據(jù)已知判斷出旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的形狀及底面半徑，高，母線長等關(guān)鍵幾何量，是解答本題的關(guān)鍵．20. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，是邊上的點(diǎn).（I）求角；（Ⅱ）若，，，求的長，【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用正弦定理將邊化角為，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式即可得到B．（Ⅱ）利用余弦定理先求出進(jìn)而得到，由正弦定理即可得到的長．【詳解】（I）由，得，，，∵，∴，∴.（Ⅱ）在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，， ，由正弦定理，得，所以.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是要掌握正弦定理變形公式，，，，將邊化為角來處理問題，在解三角形時(shí)，往往三角形內(nèi)角和定理最容易忽略的，利用內(nèi)角和定理可簡化未知角的數(shù)量．21. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和．【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件且可解得公比,再代入通項(xiàng)公式即可得到;(2)利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為(,（1）∵∴所以 ∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查了等差中項(xiàng),考查了利用錯(cuò)位相減法求和,本題屬于基礎(chǔ)題.22. 某種汽車，購車費(fèi)用是10萬元，第一年維修費(fèi)用是0.2萬元，以后逐年遞增0.2萬元，且每年的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)等約為0.9萬元.（1）設(shè)這種汽車使用年（）的維修費(fèi)用的和為萬元，求的表達(dá)式；（2）這種汽車使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最??？【答案】(1)，；(2)10年【解析】【分析】（1）由題意，維修費(fèi)是以0.2為首項(xiàng)，0.2為公差的等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和求汽車使用年的維修費(fèi)用的和；（2）設(shè)汽車使用年年平均費(fèi)用為，則，然后利用基本不等式求最值．【詳解】（1）由題意，維修費(fèi)是以0.2為首項(xiàng)，0.2為公差的等差數(shù)列，則汽車使用年的維修費(fèi)用的和為，．即，；（2）設(shè)汽車使用年年平均費(fèi)用為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，最?。?/span>答：這種汽車使用10年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最?。?/span>【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．  

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