1. 已知集合，則為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解不等式，得或，即或，
則，
函數(shù)有意義，則，解得，則，
所以.
故選：C
2. 若對(duì)，恒成立，其中，，則（ ）
A. 3B. 2C. 0D.
【答案】C
【解析】由，
得，所以，所以.
故選：C.
3. 任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程的解與對(duì)應(yīng)，則是函數(shù)的一個(gè)充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，，則，則的范圍要包含，
故選：A．
4. 在正四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】連接，，如圖，

設(shè)，由，得即為與所成的角，
在中，易知，，解得.
設(shè)，在中，①，
因?yàn)?，故?br>則在中，，
即②，
②兩式相加求得，
因?yàn)?，解?
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，
因?yàn)?，，所以三角形為等腰直角三角形?br>則在等腰直角三角形中，易求得到的距離即到底面的距離為，
故到平面的距離為，
，
故所求三棱錐的體積為.
故選：B
5. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 2022B. 2023C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)，
則，
由題意可得：
可得關(guān)于的方程的根為，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022為偶數(shù)，所以.
故選：B.
6. 已知集合，若從U的所有子集中，等可能地抽取滿足條件“，”和“若，則”的兩個(gè)非空集合A，B，則集合A中至少有三個(gè)元素的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得中沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，
由，則可得不為空集，
則可將中10個(gè)數(shù)字分為5組，分別為2或20，4或18，6或16，8或14，10或12，
且每組數(shù)中的一個(gè)數(shù)如果在集合A中，另一個(gè)必在集合中，
所以集合A中元素的個(gè)數(shù)小于等于集合中元素的個(gè)數(shù)，
所以集合A中元素的個(gè)數(shù)可能為1，2，3，4，5，
所以集合A的可能的個(gè)數(shù)為，
所以.
7. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)D. 若，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則直線，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則可得，
則，
設(shè)線段的中點(diǎn)，
則，
即，
且，線段的中垂線的斜率為，
則線段的中垂線所在直線方程為，
令，則，解得，
即，則，
由題意可得：，即，
整理得，則，
注意到雙曲線的離心率，
∴雙曲線的離心率取值范圍是.
故選：A.
8. 已知過(guò)點(diǎn)不可能作曲線的切線．對(duì)于滿足上述條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
代入點(diǎn)得，，
由于過(guò)點(diǎn)不可能作曲線的切線，
則直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，
，
所以函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；
在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，
函數(shù)取得極大值也即是最大值，
則．
對(duì)于滿足此條件的任意的b，
函數(shù)恒有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，
等價(jià)于恒有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，
等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的解．
令，則，，
即直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
記，則，
記，則，
所以在上單調(diào)遞增．
令，得．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．
所以．
所以．因?yàn)椋?br>所以，所以．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則a的值可以是（ ）
A. B. C. D. －1
【答案】AD
【解析】關(guān)于的不等式的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，
所以，因?yàn)闀r(shí)，不等式的解集中的整數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)．
不等式，對(duì)應(yīng)的方程為：，
方程的根為：和；
由題意知，，則，解得；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，解集中含有4個(gè)整數(shù)：0,1,2,3；滿足題意．
當(dāng)時(shí)，不等式的解集是，解集中含有4個(gè)整數(shù)：,0,1,2；滿足題意．
當(dāng)時(shí)，不等式的解集是,，此時(shí)，
解集中含有5個(gè)整數(shù)：0,1,2,3；不滿足題意．
當(dāng)時(shí)，不等式的解集是,，，
解集中含有整數(shù)個(gè)數(shù)多于4個(gè)，不滿足題意．
綜上知，的值可以是和．
故選：AD
10. 用長(zhǎng)為3的鐵絲圍成，記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（ ）
A. 存在滿足成公差不為0的等差數(shù)列
B. 存在滿足成等比數(shù)列
C. 的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為
D. 可以完全覆蓋的最小圓的半徑為
【答案】BCD
【解析】依題意知，由余弦定理，得．
對(duì)A，若成等差數(shù)列，則，所以，
所以為常數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若成等比數(shù)列，則，所以，即，
所以當(dāng)為等邊三角形時(shí)成等比數(shù)列，故B正確；
對(duì)C，由，得，解得或（舍），
所以的面積的內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的內(nèi)部可以放入的最大圓的半徑為，故C正確；
對(duì)D，由正弦定理可得：，其中為外接圓半徑，
因?yàn)?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，所以可以完全覆蓋的最小圓的半徑為，故D正確．
故選：BCD．
11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于
【答案】ACD
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，
由，得，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
則，，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，，
則，
設(shè)直線，把代入，可得，
令，則，
同理，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，
，
，
由選項(xiàng)A知，
，，
，故D正確．
故選：ACD．
12. 已知函數(shù)，其中，則（ ）
A. 當(dāng)，，時(shí)，曲線既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形
B. 當(dāng)，，時(shí)，曲線要么是軸對(duì)稱圖形要么是中心對(duì)稱圖形
C. 當(dāng)，，時(shí)，曲線是中心對(duì)稱圖形
D. 當(dāng)，時(shí)，曲線可能是軸對(duì)稱圖形
【答案】ABC
【解析】A選項(xiàng)，此時(shí).
則，.
因，則不同時(shí)為0，則，
則曲線不是軸對(duì)稱圖形；
又，
不同時(shí)為0，
則不為常數(shù)，即曲線不是中心對(duì)稱圖形，故A正確；
B選項(xiàng)，此時(shí).
則，.
令，則
，
比較系數(shù)結(jié)合可得，
則當(dāng)時(shí)，因，則，使，
即時(shí)，曲線有對(duì)稱軸；
當(dāng)時(shí)，，
令，則時(shí)，
因，則，使，
即時(shí)，曲線有對(duì)稱中心；
綜上，當(dāng)，，時(shí)，
曲線要么是軸對(duì)稱圖形要么是中心對(duì)稱圖形，故B正確；
C選項(xiàng)，此時(shí).
則，.
若曲線是中心對(duì)稱圖形，
則為常數(shù)，
即為常數(shù).
則
，
則當(dāng)時(shí)，
因，則，
使，即當(dāng)，，時(shí)，
曲線是中心對(duì)稱圖形，故C正確；
D選項(xiàng)，此時(shí)
則.
若曲線是軸對(duì)稱圖形，則，使
或，與題設(shè)矛盾，
故當(dāng)，時(shí)，曲線不可能是軸對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13. 在銳角三角形中角A、B、C的對(duì)邊分別為a， b， c，記，若，則___.
【答案】4
【解析】因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)椋?br>所以，
即.
所以
.
故答案為：4
14. 對(duì)于項(xiàng)數(shù)為10的數(shù)列，若滿足（其中為正整數(shù)，），且，設(shè)，則的最大值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以或，
設(shè)，
則數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差最大為，
要保證，
則數(shù)列的項(xiàng)有增有減，
假如中有個(gè)，增量最大為，則有項(xiàng)是減少的，
則必有，所以，則或，
取，取最大值，按最大連續(xù)增量計(jì)算，
有，即中有最大值為，
所以的最大值為.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，都為偶函數(shù)，則______．
【答案】520
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，即，
則，
即，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且；
又為偶函數(shù)，則，
則，即，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，
又將代入得，
則；
令，由可得，
則；
同理可得，則；
因?yàn)?，?br>所以，則；，
由此可得組成了以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
故，
故答案為：520
16. 已知等邊的邊長(zhǎng)為2，將其繞著邊旋轉(zhuǎn)角度，使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到位置.記四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為，當(dāng)四面體的表面積最大時(shí)，__________；__________.
【答案】① ②
【解析】易得的面積為定值，
又因?yàn)椋?br>顯然當(dāng)時(shí)，面積最大，即四面體的表面積最大，
此時(shí)；
當(dāng)四面體的表面積最大時(shí)，易知四面體的表面積最大值為，
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，易知，所以，
即為四面體的外接球球心，四面體的外接球半徑，
因?yàn)?，且，所以，即?br>因?yàn)椋矫?，?br>所以平面，
四面體的體積為，
又因?yàn)椋?br>所以，解得，所以.
故答案為：；
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為和，且對(duì)任意，恒成立.
（1）若，，求；
（2）若對(duì)任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.
解：（1）由題設(shè)，且，而，
顯然也滿足上式，故，
由，又，
所以是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列.
綜上，.
（2）由，，則，
所以，而，故，即是公比為3的等比數(shù)列.
所以，則，
，而，
所以，
所以對(duì)都成立，
所以，
故，則正整數(shù)的最小值為3.
18. 在銳角△中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
（1）求角的大?。?br>（2）若，求△內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
解：（1）因?yàn)椋?br>故
（2）由正弦定理：
故
因?yàn)樵阡J角△中，所以，得，所以．
19. 為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒(méi)有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？
（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).
解：（1）根據(jù)題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是；
（2）由題可知，
，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值點(diǎn).
20. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，，，，．

（1）當(dāng)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面EFN；
（2）當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)（包含端點(diǎn)），求平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍．
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)，且，
所以，
因?yàn)?，且四邊形ABCD為正方形，故，
所以，而平面，
故平面；
（2）設(shè)正方形ABCD的中心為O，分別取的中點(diǎn)為，
設(shè)點(diǎn)H為線段AD的中點(diǎn)，由（1）知四點(diǎn)共面，且平面，
連接平面，故，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由題意可知四邊形為等腰梯形，故,
平面，故平面，
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則，
又，故，
設(shè)到底面的距離為h，
四邊形ABFE，CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，且，
故，又，
故，則，
，，
設(shè)，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，
故，
令，
則，
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，
即平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值得取值范圍為.
21. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).
（1）證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
解：（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
令，，
所以，，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
即在上單調(diào)遞減，
又，，
，
則存在，使得，即存在，
使得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以為的唯一極大值點(diǎn)，
故在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；
（2）由（1）知，，，
①當(dāng)時(shí)，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以存在，使得，
所以當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，
所以當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，所以存在，使得；
③當(dāng)時(shí)，，所以，則在沒(méi)有零點(diǎn)；
綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
22. 已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點(diǎn)為、，過(guò)作不與軸重合的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（3）以為圓心4為半徑作圓，過(guò)作直線交圓于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值及取得最小值時(shí)直線的方程.
解：（1）根據(jù)橢圓定義知周長(zhǎng)為，
依題意有，
從而，
故橢圓的方程為；
（2）設(shè)：，，，
由，
因?yàn)?br>所以，，
所以，
設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，
即設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段的垂直平分線方程為：，
令，當(dāng)時(shí)，與軸重合，不合題意；
當(dāng)時(shí)，得，即點(diǎn)，
所以，
所以，即存在滿足題設(shè)；
（3）直線：，即，
圓心到直線的距離為，
則弦的長(zhǎng)：，
所以，
設(shè)，則，且，
所以，
易知在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)直線：.

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廣東省五校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)試卷(含答案)

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2022-2023學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等五校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 （解析版）

2022-2023學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等五校高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 （解析版）
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