2022-2023學(xué)年甘肅省張掖市甘州中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  已知等腰三角形的一個(gè)底角為，則其頂角為(    )A.  B.  C.  D. 2.  在下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段中，能組成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如果，那么下列各式中正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如果關(guān)于的不等式的解集為，那么的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，如圖，在中，和分別平分和，過(guò)作，分別交、于點(diǎn)、，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為(    )
 
  
 A.  B.  C.  D. 8.  如圖，中，，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，的周長(zhǎng)等于，則長(zhǎng)等于(    )A.
B.
C.
D. 9.  函數(shù)、為常數(shù)，的圖象如圖，則關(guān)于的不等式的解集為(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，點(diǎn)，，在一條直線(xiàn)上，，均為等邊三角形，連接和，分別交，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接，，下面結(jié)論：≌；；；平分，其中結(jié)論正確的有(    )
A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共8小題，共32.0分）11.  不等式的非負(fù)整數(shù)解是______ ．12.  若，則______，______．13.  當(dāng)取______時(shí)，是一個(gè)完全平方式．14.  如圖，在中，，的垂直平分線(xiàn)交于若，則的度數(shù)是______．
 15.  已知，，則的值為______．16.  如圖，在中，，為上的一點(diǎn)，且，則 ______ 度．
 17.  如圖是一次函數(shù)，的圖象，觀察圖象，寫(xiě)出同時(shí)滿(mǎn)足，時(shí)的取值范圍：______．
 18.  三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)在上，，，，，，則的長(zhǎng)度是______．
 三、解答題（本大題共10小題，共88.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.  本小題分
如圖，兩條公路和相交于點(diǎn)，在的內(nèi)部有工廠(chǎng)和，現(xiàn)要在內(nèi)部修建一個(gè)貨站，使貨站到兩條公路、的距離相等，且到兩工廠(chǎng)、的距離相等，用尺規(guī)作出貨站的位置．要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，寫(xiě)出結(jié)論
20.  本小題分
一解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．


二把下列各式因式分解：
；
．21.  本小題分
已知，求的值．22.  本小題分
如圖，在中，，，邊的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
求證：．
23.  本小題分
已知，，是的三邊，且滿(mǎn)足，請(qǐng)判斷的形狀．24.  本小題分
如圖，在中，，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，作，，且，相交于點(diǎn)，求證：．
25.  本小題分
根據(jù)圖中信息解答問(wèn)題．
求，的值；
求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
當(dāng)為何值時(shí)，．
26.  本小題分
在畢節(jié)市中小學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)工程中，某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批電腦和一體機(jī)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)考察得知，購(gòu)進(jìn)臺(tái)筆記本電腦和臺(tái)一體機(jī)需要萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)臺(tái)筆記本電腦和臺(tái)一體機(jī)需要萬(wàn)元．
求筆記本電腦和一體機(jī)的單價(jià)？
根據(jù)學(xué)校實(shí)際，需購(gòu)進(jìn)筆記本電腦和一體機(jī)共臺(tái)，總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元，但不低于萬(wàn)元，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出有幾種購(gòu)買(mǎi)方案．哪種方案費(fèi)用最低．27.  本小題分
先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，
例題：若，求和的值．
解：，
，
，
，
，
問(wèn)題：
不論，為何有理數(shù)，的值均為______ ．
A.正數(shù)
B.零
C.負(fù)數(shù)
D.非負(fù)數(shù)
若，求的值．
已知，，是的三邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，且是中最長(zhǎng)的邊，求的取值范圍．28.  本小題分
如圖，在中，，，，，、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒．

當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？
當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是以或為底邊的等腰三角形？
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：等腰三角形的一個(gè)底角為，
頂角．
故選：．
根據(jù)三角形內(nèi)角和是和等腰三角形兩底角相等，可以求得其頂角的度數(shù)．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解題關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，故不能?chē)芍苯侨切危诉x項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故不能?chē)芍苯侨切?，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，能?chē)芍苯侨切?，此選項(xiàng)正確；
D、，故不能?chē)芍苯侨切危诉x項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
計(jì)算較小兩數(shù)的平方和，看是否等于最大數(shù)的平方，若等于，則是直角三角形，否則就不能?chē)芍苯侨切危?/span>
本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行計(jì)算．
 3.【答案】 【解析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．
解：等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
D.從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解．
 4.【答案】 【解析】解：、，
，
故A不符合題意；
B、，
，
故B不符合題意；
C、，
，
故C符合題意；
D、，
，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)不等式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：，
故選：．
首先提公因式，再利用平方差進(jìn)行分解即可．
此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來(lái)說(shuō)，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．
 6.【答案】 【解析】解：關(guān)于的不等式的解集為，
，即．
故選：．
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷出的符號(hào)，列出不等式求出的取值范圍即可．
解答此題一定要注意不等式兩邊同乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不改變．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)的理解和掌握，此題關(guān)鍵是求證，，難度不大，是一道基礎(chǔ)題．
根據(jù)和分別平分和，和，利用兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和等量代換，證明，，即可得出答案．
【解答】
解：在中，和分別平分和，
，，
，
，，
，，
，
．
故選A．  8.【答案】 【解析】解：垂直平分，
，
的周長(zhǎng)，
，的周長(zhǎng)等于，
．
故選C．
根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得，然后求出的周長(zhǎng)，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求出．
本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且函數(shù)值隨的增大而減小，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于，即關(guān)于的不等式的解集是．
故選：．
從圖象上得到函數(shù)的增減性及與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即能求得不等式的解集．
本題考查了一次函數(shù)與不等式組的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)交點(diǎn)、原點(diǎn)等，做到數(shù)形結(jié)合．
 10.【答案】 【解析】解：、為等邊三角形，
，，，
，，
在和中，
，
≌，故正確；
，
，
，
，故正確；
在和中，
，
≌，
，
為等邊三角形，
，故正確；
≌，
，，
點(diǎn)到、的距離相等，
點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，
即：平分，故正確．
故選：．
由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，得出，由即可證出≌；由≌，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，即可得；由證明≌，得出對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出為等邊三角形；由≌得到和面積等，且，從而證得點(diǎn)到、的距離相等，利用角平分線(xiàn)判定定理得到點(diǎn)在角平分線(xiàn)上．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的判定定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 11.【答案】、、 【解析】解：，
，
，
的非負(fù)整數(shù)解是、、．
故答案為：、、．
首先移項(xiàng)，然后化系數(shù)為即可求出不等式的解集，最后取非負(fù)整數(shù)即可求解．
此題主要考查了一元一次不等式的解法，解題時(shí)利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再?gòu)牟坏仁降慕饧姓页鲞m合條件的解即可．
 12.【答案】  ； 【解析】此題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用，掌握多項(xiàng)式乘法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．
首先利用多項(xiàng)式乘法去括號(hào)，進(jìn)而得出，的值．
解：，
，
則，．
故答案為：，．
 13.【答案】 【解析】解：是一個(gè)完全平方式，
，
故答案為：
利用完全平方公式判斷即可確定出的值．
此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
 14.【答案】解：，，
，
的垂直平分線(xiàn)，
，
，
，
故選A． 【解析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)求出，推出，即可求出答案．
本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
 15.【答案】 【解析】首先提公因式進(jìn)行分解，再代入，即可．
解：，
故答案為：．
此題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是正確分解因式．
 16.【答案】 【解析】解：在中，
，，
，
又，
，
而，
，
．
故答案為．
由，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，而，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形外角性質(zhì)得到，即可得到的度數(shù)．
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)：等腰直角三角形的底角都等于也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)．
 17.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖象和圖中數(shù)據(jù)可知，同時(shí)滿(mǎn)足，時(shí)，
的取值范圍．
故答案為：．
當(dāng)，時(shí)，時(shí)，同時(shí)滿(mǎn)足，時(shí)，．
本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的分析能力和讀圖能力．
 18.【答案】 【解析】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，，，
，
．
，
，
，，
在中，，，
，
，
．
故答案是：．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可求出的長(zhǎng)度，然后在中可求出，進(jìn)而可得出答案．
本題考查了勾股定理和含度角的直角三角形，難度較大，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．
 19.【答案】解：如圖所示：點(diǎn)即為所求． 【解析】利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)分別得出即可．
此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，熟練應(yīng)用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】解：一移項(xiàng)得：，
合并同類(lèi)項(xiàng)得：，
系數(shù)化為得：；

，
由得：，
由得：，
則不等式組的解集為；

二原式
；
原式
． 【解析】一不等式移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把系數(shù)化為，即可求出解集；
分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可；
二原式變形后，提取公因式即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，在數(shù)軸上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則及各自的解法是解本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：． 【解析】根據(jù)：，即可代入求值．把所求的式子進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵．
 22.【答案】解：連接，
在中，，，
，
是的垂直平分線(xiàn)，
，
，
，
在中，
，
． 【解析】首先連接，由在中，，，可求得的度數(shù)，又由的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得，繼而可求得的度數(shù)，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)，證得．
此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題．
 23.【答案】解：，
，
，
，
，，是的三邊，
，
，
，
是等腰三角形． 【解析】根據(jù)題目中的式子，進(jìn)行變形，即可得到和的關(guān)系，從而可以判斷三角形的形狀．
本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解求解．
 24.【答案】證明：
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
≌，
． 【解析】欲證明，只要證明≌即可．
本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
 25.【答案】解：把代入得；
把代入得，解得；
解方程組得，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
由圖可知：當(dāng)時(shí)，． 【解析】把代入可求出的值，把代入可計(jì)算出的值；
利用兩直線(xiàn)相交的問(wèn)題，通過(guò)解有兩解析式所組成的方程組即可得到點(diǎn)坐標(biāo)；
觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，．
本題考查了兩直線(xiàn)相交問(wèn)題：兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線(xiàn)相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線(xiàn)是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即值相同．
 26.【答案】解：設(shè)每臺(tái)筆記本電腦萬(wàn)元，一體機(jī)萬(wàn)元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：每臺(tái)筆記本電腦萬(wàn)元，一體機(jī)萬(wàn)元；
設(shè)購(gòu)進(jìn)臺(tái)筆記本電腦，則購(gòu)進(jìn)臺(tái)一體機(jī)，總費(fèi)用為元，
依題意，得：，
，
解得：
為整數(shù)，
，，，
有三種購(gòu)買(mǎi)方案：
第一種：購(gòu)買(mǎi)筆記本電腦臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)一體機(jī)臺(tái)；
第二種：購(gòu)買(mǎi)筆記本電腦臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)一體機(jī)臺(tái)；
第三種：購(gòu)買(mǎi)筆記本電腦臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)一體機(jī)臺(tái)；
，
當(dāng)時(shí)，費(fèi)用最低，
即購(gòu)買(mǎi)筆記本電腦臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)一體機(jī)臺(tái)時(shí)費(fèi)用最低． 【解析】設(shè)每臺(tái)筆記本電腦萬(wàn)元，一體機(jī)萬(wàn)元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)臺(tái)筆記本電腦和臺(tái)一體機(jī)需要萬(wàn)元，購(gòu)進(jìn)臺(tái)筆記本電腦和臺(tái)一體機(jī)需要萬(wàn)元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)購(gòu)進(jìn)臺(tái)筆記本電腦，則購(gòu)進(jìn)臺(tái)一體機(jī)，根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量結(jié)合總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元且不低于萬(wàn)元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)可得出各進(jìn)貨方案；再根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一次函數(shù)和一元一次不等式組．
 27.【答案】 【解析】解：

，
，，

，
不論，為何有理數(shù)，的值均為正數(shù)，
故選：；
，
，
，
，，
，
；
，
，
，
，，
，，
，，是的三邊長(zhǎng)，且是中最長(zhǎng)的邊，
，
即，
即的取值范圍是．
根據(jù)題意得到，即可作出判斷；
根據(jù)題意由得到，求得，即可得到答案；
由得到，求得，，因?yàn)?/span>，，是的三邊長(zhǎng)，且是中最長(zhǎng)的邊，即可求得的取值范圍．
此題考查了完全平方公式因式分解、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)，利用完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．
 28.【答案】解：由題意可知，，
，
，
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則有，
即，解得，
出發(fā)秒后能形成等腰三角形；

當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖所示，

則，
，
．
，
，
，
秒，
秒，
秒．
當(dāng)，是以為底邊的等腰三角形時(shí)：，如圖所示，

則秒，
秒．
綜上所述：當(dāng)為秒或秒時(shí)，是以或為底邊的等腰三角形． 【解析】用可分別表示出和，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于的方程，可求得；
用分別表示出和，利用等腰三角形的性質(zhì)可分和三種情況，分別得到關(guān)于的方程，可求得的值．
本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí)．用時(shí)間表示出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．
 

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