?專題15 橢圓、雙曲線、拋物線

1.以客觀題形式考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定義、離心率、焦點(diǎn)弦長問題、雙曲線的漸近線等，可能會(huì)與數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式結(jié)合命題，若與立體幾何結(jié)合，會(huì)在定值、最值、定義角度命題．
2.每年必考一個(gè)大題，相對(duì)較難，且往往為壓軸題，具有較高的區(qū)分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命題的廣度與深度，成為近幾年高考命題的一大亮點(diǎn)，備受命題者的青睞，本部分還經(jīng)常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、三角等知識(shí)結(jié)合進(jìn)行綜合考查．

知識(shí)點(diǎn)一、橢圓、雙曲線、拋物線的定義及幾何性質(zhì)

橢圓
雙曲線
拋物線
定義
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2ab>0)
焦點(diǎn)在x軸上
－＝1(a>0，b>0)
焦點(diǎn)在x軸正半軸上y2＝2px(p>0)
圖象



幾何性質(zhì)
范圍
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a，y∈R
x≥0，y∈R
頂點(diǎn)
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
關(guān)于x軸對(duì)稱
焦點(diǎn)
(±c,0)

軸
長軸長2a，短軸長2b
實(shí)軸長2a，虛軸長2b

離心率
e＝＝(0b>0)，
由題意得解得c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)M(m，n)，則D(m，0)，N(m，－n)，
由題設(shè)知m≠±2，且n≠0.
直線AM的斜率kAM＝，
故直線DE的斜率kDE＝－，
所以直線DE的方程為y＝－(x－m)，
直線BN的方程為y＝(x－2)．
聯(lián)立解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝－.
由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
【變式探究】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則( )
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e20，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因?yàn)橹本€AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸，所以不妨取A(c，)，B，取雙曲線的一條漸近線為直線bx－ay＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1＝＝，d2＝＝，因?yàn)閐1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C.
【變式探究】(2017·全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　)
A．2 B.
C. D.
【解析】取漸近線y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圓心(2，0)到直線的距離為＝，
又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.
【答案】A
【變式探究】已知雙曲線(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為( )
A B
C D
【答案】D
【解析】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，，∴，
∴，故雙曲線的方程為，故選D.
【變式探究】若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　)
A．11 B．9 C．5 D．3
【解析】由雙曲線定義||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故選B.
【答案】B
高頻考點(diǎn)四　雙曲線的幾何性質(zhì)
例4．【2019年全國Ⅱ卷】設(shè)F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點(diǎn)．若，則C的離心率為
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，
又，為以為直徑的圓的半徑，
∴，，
又點(diǎn)在圓上，，即．
，故選A．

【變式探究】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A．
【變式探究】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(　　)
A. B．2 C. D.
【解析】如圖，設(shè)雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N(x1，0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，選D.

【答案】D
高頻考點(diǎn)五　拋物線的定義及方程
例5．【2019年全國Ⅱ卷】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．
【變式探究】(2017·全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　)
A. B．2
C．2 D．3
【解析】由題知MF：y＝(x－1)，與拋物線y2＝4x聯(lián)立得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，所以M(3，2)．
因?yàn)镸N⊥l，所以N(－1，2)．
又F(1，0)，所以直線NF的方程為
y＝－(x－1)．
故點(diǎn)M到直線NF的距離是＝2.
【答案】C
【變式探究】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為( )
(A) (B) (C) (D)1
【答案】C
【解析】設(shè)(不妨設(shè))，則
，故選C.
【變式探究】過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　)
A. B. C. D．2
【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AF|＝3及拋物線定義可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，則直線AB的斜率
k＝＝2.
∴直線AB的方程為y＝2(x－1)，
即為2x－y－2＝0，
則點(diǎn)O到該直線的距離為d＝.
由
消去y得，2x2－5x＋2＝0，
解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，
∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d
＝××＝.
【答案】C
高頻考點(diǎn)六　拋物線的幾何性質(zhì)
例6．已知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．
(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．
(1)證明：設(shè)l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立得y2－2my－4＝0，
Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
·＝x1x2＋y1y2
＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4
＝－4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0，
所以⊥，即O在圓M上．
(2)解：由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝.
由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)·(x2－4)＋(y1＋2)·(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.
當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，
圓M的半徑為，圓M的方程為＋＝.
【變式探究】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【答案】B
【解析】如圖,設(shè)拋物線方程為,交軸于點(diǎn),則,即點(diǎn)縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)橫坐標(biāo)為,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.

【變式探究】已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，) ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，又漸近線過點(diǎn)(2，)，所以＝，即2b＝a，①
拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②，
聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3，所求雙曲線的方程為－＝1，選D.
【答案】D

1.【2019年全國Ⅲ卷】設(shè)為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
又，解得，
，解得(舍去)，則M的坐標(biāo)為．
2.【2019年全國Ⅲ卷】雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為( )
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，
，故選A．
3．【2019年浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
【答案】C
【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C.
4．【2019年江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 ▲ .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
因?yàn)?，所?
因?yàn)椋噪p曲線的漸近線方程為.
5.(2019·全國高考)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=( )
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．8
【答案】D
【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．
1．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D　
【解析】由題意知直線MN的方程為y＝(x＋2)．聯(lián)立消去y并整理，得x2－5x＋4＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，所以＝(3,4)，＝(0,2)．所以·＝3×0＋2×4＝8.故選D.
2．(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　)
A. B.3 C．2 D．4
【答案】B　
【解析】由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2α，則有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故選B.

3．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A　
【解析】因?yàn)椋?，所以?，所以＝，所以漸近線方程為y＝±x.故選A.
4．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　)
A. B．2
C. D.
【答案】C　
【解析】設(shè)雙曲線C的一條漸近線的方程為bx－ay＝0，則直線PF2的方程為ax＋by－ac＝0.由可得P.由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得＝×，化簡得3a2＝c2，則e＝.故選C.
5．(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A　
【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝＝2知a2＋b2＝4a2，所以a＝.所以雙曲線的方程為－＝1.故選A.

6．(2018·浙江卷)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
【答案】B　
【解析】因?yàn)閍2＝3，b2＝1，所以c2＝4，所以c＝2，又焦點(diǎn)在x軸上，所以B項(xiàng)正確．故選B.
7．(2018·北京卷)若雙曲線－＝1(a＞0)的離心率為，則a＝__________.
【答案】4
【解析】設(shè)焦距為2c，則＝，即c2＝a2.由c2＝a2＋4得a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.
8．(2018·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】因?yàn)閍2＝b2＋c2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以e＝＝.
9．(2018·天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，|AB|＝.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．
【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得＝，又由a2＝b2＋c2可得2a＝3b.由|AB|＝＝，從而a＝3，b＝2，所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2，y2)，由題意，x2＞x1＞0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，－y1)．由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直線AB的方程為2x＋3y＝6，由方程組消去y可得x2＝.由方程組消去y可得x1＝ .由x2＝5x1可得＝5(3k＋2)，兩邊平方整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－.當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝－9＜0，不合題意，舍去；當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝12，x1＝，符合題意，所以k的值為－.
10．(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m＞0)．
(1)證明：k＜－；
(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．
【解析】(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則＋＝1，＋＝1.
兩式相減，并由＝k得＋·k＝0.
由題設(shè)知＝1，＝m，
于是k＝－.①
由題設(shè)得0＜m＜，故k＜－.
(2)由題意得F(1,0)．設(shè)P(x3，y3)，則
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及題設(shè)得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.
又點(diǎn)P在C上，所以m＝，
從而P，||＝，
于是||＝
＝ ＝2－.
同理，||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差數(shù)列．
設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|＝|||－|||
＝|x1－x2|
＝.②
將m＝代入①得k＝－1，
所以l的方程為y＝－x＋，代入C的方程，并整理得
7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，
代入②解得|d|＝.
所以該數(shù)列的公差為或－.
11.(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因?yàn)橹本€AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸，所以不妨取A(c，)，B，取雙曲線的一條漸近線為直線bx－ay＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1＝＝，d2＝＝，因?yàn)閐1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C.
1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴ ，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知
，當(dāng)且僅當(dāng)(或)時(shí)，取等號(hào).
2．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　 　)
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，該圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.
3.【2017浙江，2】橢圓的離心率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，選B．
4.【2017天津，理5】已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為
(A) (B)(C)(D)
【答案】B
【解析】由題意得 ，選B.
5.【2017北京，理9】若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m=_________.
【答案】2
【解析】 ，所以 ，解得 .
6.【2017課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°，則C的離心率為________.
【答案】
【解析】如圖所示，作，因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，且， ，
而，所以，
點(diǎn)到直線的距離，

在中， ，代入計(jì)算得，即，
由得，
所以.
7.【2017課標(biāo)3，理5】已知雙曲線C： (a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則C的方程為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】雙曲線C： (a＞0,b＞0)的漸近線方程為 ，
橢圓中： ，橢圓，即雙曲線的焦點(diǎn)為 ，
據(jù)此可得雙曲線中的方程組： ，解得： ，
則雙曲線 的方程為 .
故選B.
8.【2017山東，理14】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為 .
【答案】
【解析】 ，
因?yàn)?，所以漸近線方程為.
9.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3(–1，)，P4(1，)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).
【答案】(1).(2)見解析。
【解析】(1)由于， 兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過， 兩點(diǎn).
又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.
因此，解得.
故C的方程為.
(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，
如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為(t， )，(t， ).
則，得，不符合題設(shè).
從而可設(shè)l： ().將代入得

由題設(shè)可知.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=.
而

.
由題設(shè)，故.
即.
解得.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，欲使l： ，即，
所以l過定點(diǎn)(2， )
10.【2017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.

【答案】(I).
(Ⅱ)的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.
【解析】
(I)由題意知 ， ，
所以 ，
因此 橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè)，
聯(lián)立方程
得，
由題意知，
且，
所以 .
由題意可知圓的半徑為
由題設(shè)知，
所以
因此直線的方程為.
聯(lián)立方程
得，
因此 .
由題意可知 ，
而
，
令，
則，
因此 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，
所以 ，
因此，
所以 最大值為.
綜上所述： 的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.
11.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P(1，1).過點(diǎn)(0，)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(Ⅱ)求證：A為線段BM的中點(diǎn).
【答案】(Ⅰ)方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，準(zhǔn)線方程為.(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)由拋物線C： 過點(diǎn)P(1，1)，得.
所以拋物線C的方程為.
拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，準(zhǔn)線方程為.
(Ⅱ)由題意，設(shè)直線l的方程為()，l與拋物線C的交點(diǎn)為， .
由，得.
則， .
因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
因?yàn)?br />



，
所以.
故A為線段BM的中點(diǎn).
12.【2017天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；
(II)設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)(異于點(diǎn))，直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.
【答案】(Ⅰ)， .(Ⅱ)，或.
【解析】
(Ⅰ)解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.
(Ⅱ)解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可學(xué)*科.網(wǎng)得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.
所以，直線的方程為，或.
13.【2017江蘇，8】 在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn),,其焦點(diǎn)是,則四邊形的面積是 ▲ .
【答案】
【解析】右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，設(shè)，則， ， ，則．
14.【2017江蘇，17】 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, ,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作 直線的垂線,過點(diǎn)作直線的垂線.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線的交點(diǎn)在橢圓上,求點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)(2)
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.
因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以， ，
解得，于是，
因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
(2)由(1)知， ， .
設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，故.
當(dāng)時(shí)， 與相交于，與題設(shè)不符.
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為.
因?yàn)椋?，所以直線的斜率為，直線的斜率為，
從而直線的方程： ， ①
直線的方程： . ②
由①②，解得，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱性，得，即或.
又在橢圓E上，故.
由，解得； ，無解.
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

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