?第4講　隨機(jī)事件的概率與古典概型


一、知識梳理
1．概率與頻率
(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．
2．事件的關(guān)系與運算

定義
符號表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件
A∩B＝?
且A∪B＝Ω
3.古典概型
(1)基本事件的特點
①任何兩個基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(2)特點
①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．
②每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．
(3)概率公式
P(A)＝．
4．對古典概型的理解
(1)一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型．正確判斷試驗的類型是解決概率問題的關(guān)鍵．
(2)古典概型是一種特殊的概率模型，但并不是所有的試驗都是古典概型．
常用結(jié)論
概率的幾個基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)對立事件的概率
若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
二、教材衍化
1．袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則
①恰有1個白球和全是白球；
②至少有1個白球和全是黑球；
③至少有1個白球和至少有2個白球；
④至少有1個白球和至少有1個黑球．
在上述事件中，是互斥事件但不是對立事件的為________．
答案：①
2．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：
分組
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
頻數(shù)
2
3
4
5
4
2
則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為________．
答案：0.45
3．袋中裝有6個白球， 5個黃球，4個紅球．從中任取一球，則取到白球的概率為________．
解析：從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝＝.
答案：
4．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為________．
解析：從5件產(chǎn)品中任取2件共有C＝10(種)取法，恰有一件次品的取法有CC＝6(種)，所以恰有一件次品的概率為＝0.6.
答案：0.6

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)
(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗是一回事．(　　)
(3)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(　　)
(4)兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生．(　　)
(5)若A，B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1.(　　)
(6)在一次試驗中，其基本事件的發(fā)生一定是等可能的．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
二、易錯糾偏
(1)確定互斥事件、對立事件出錯；
(2)基本事件計數(shù)錯誤．
1．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_______．
解析：由題意得，甲不輸?shù)母怕蕿椋?
答案：
2．?dāng)S一個骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A＋發(fā)生的概率為________．
解析：擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果，依題意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P()＝1－P(B)＝1－＝，顯然A與互斥，從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
答案：
3．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，則該函數(shù)有兩個零點的概率為________．
解析：要使函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個零點，即方程x2－2ax＋b2＝0有兩個實根，則Δ＝4a2－4b2＞0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a＞b，而a，b的取法共有3×3＝9(種)，其中滿足a＞b的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6種，所以所求的概率為＝.
答案：

考點一　隨機(jī)事件的頻率與概率(基礎(chǔ)型)
在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析
某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如表所示：

X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．
(1)完成下表，并求所種作物的平均年均收獲量；
Y
51
48
45
42
頻數(shù)

4


(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48 kg的概率．
【解】　(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
頻數(shù)
2
4
6
3
所種作物的平均年收獲量為＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.

　
　某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成頻率分布表；
近20年六月份降雨量頻率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
頻率






(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率．
解：(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個．故近20年六月份降雨量頻率分布表為
降雨量
70
110
140
160
200
220
頻率






(2)由已知可得Y＝＋425，
故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”)
＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時的概率為.
考點二　互斥事件、對立事件的概率(基礎(chǔ)型)
通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模
某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．記1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：
(1)1張獎券的中獎概率；
(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
【解】　(1)設(shè)“1張獎券中獎”為事件M，則M＝A∪B∪C，依題意，P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，因為A，B，C兩兩互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝，
故1張獎券的中獎概率為.
(2)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)
＝1－＝.
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.

求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法
(1)直接法

(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡單)
　

1．某人去開會，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4.則他乘火車或乘飛機(jī)去的概率為________．
解析：設(shè)此人乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去開會分別用事件A，B，C，D表示，則事件A，B，C，D是互斥事件，P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火車或乘飛機(jī)去的概率為0.7.
答案：0.7
2．(一題多解)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：
排隊人數(shù)
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排隊等候的概率；
(2)至少3人排隊等候的概率．
解：記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．
(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
考點三　古典概型的概率(應(yīng)用型)
通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算
角度一　簡單的古典概型的概率
(1)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
(2)將3名教師和3名學(xué)生共6人平均分成3個小組，分別安排到三個社區(qū)參加社會實踐活動，則每個小組恰好有1名教師和1名學(xué)生的概率為(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　(1)不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)有C種不同的取法，這10個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于30的有3對，所以所求概率P＝＝，故選C．
(2)將3名教師和3名學(xué)生共6人平均分成3個小組，分別安排到三個社區(qū)參加社會實踐活動，基本事件總數(shù)n＝CCC＝90，每個小組恰好有1名教師和1名學(xué)生包含的基本事件個數(shù)m＝CCCCCC＝36，所以每個小組恰好有1名教師和1名學(xué)生的概率為P＝＝＝.故選B．
【答案】　(1)C　(2)B

(1)古典概型中基本事件的探求方法

(2)利用公式法求解古典概型問題的步驟
　
角度二　古典概型與其他知識的綜合問題
(1)從集合{2，3，4，5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)a，從集合{1，3，5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知a∈{－2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是(　　)
A． B．
C． D．
(3)將一個骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
【解析】　(1)由題意可知m＝(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12種情況．
因為m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
滿足條件的有(3，3)，(5，5)共2個，
故所求的概率為.故選A．
(2)函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2＜0，又a∈{－2，0，1，2，3}，故只有a＝0，a＝1滿足題意，又b∈{3，5}，所以函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是＝.故選C．
(3)對于a與b各有6種情形，故總數(shù)為36種．
兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率為P1＝＝，兩條直線l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行與重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝＝，
因為點(P1，P2)在圓(x－m)2＋y2＝的內(nèi)部，
所以＋＜，
解得－＜m＜，故選D．
【答案】　(1)A　(2)C　(3)D

解決古典概型中交匯問題的方法
解決與古典概型交匯的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算．　

1．(2019·高考全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是(　　)

A． B．
C． D．
解析：選A．由6個爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數(shù)為C＝＝20.根據(jù)古典概型的概率計算公式得，所求概率P＝＝.故選A．
2．2021年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史，假若他們都對后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選D．由題意，從政治、地理、化學(xué)、生物中四選二，共有C＝6(種)方法，所以他們選課相同的概率為，故選D．
3．2019年1月1日，濟(jì)南軌道交通1號線試運行，濟(jì)南軌道交通集團(tuán)面向廣大市民開展“參觀體驗，征求意見”的活動．市民可以通過濟(jì)南地鐵APP搶票，小陳搶到了三張體驗票，準(zhǔn)備從四位朋友小王、小張、小劉、小李中隨機(jī)選擇兩位與自己一起去參加體驗活動，則小王和小李至多一人被選中的概率為________．
解析：法一：若小王和小李都沒被選中，則有C種方法，若小王和小李有一人被選中，則有CC種方法，故所求概率P＝＝.
法二：若小王和小李都被選中，則有1種方法，故所求概率P＝1－＝.
答案：

[基礎(chǔ)題組練]
1．(多選)下列4個命題錯誤的是(　　)
A．對立事件一定是互斥事件
B．若A，B為兩個事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事件
解析：選BCD．在A中，對立事件一定是互斥事件，故A正確；在B中，若A，B為兩個互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，若A，B不是互斥事件，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，故B錯誤；在C中，若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)≤1，故C錯誤；在D中，若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B有可能不是對立事件．
2．(2019·高考全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為(　　)
A．0.5　　　　　　　　　 B．0.6
C．0.7 D．0.8
解析：選C．根據(jù)題意閱讀過《紅樓夢》《西游記》的人數(shù)用韋恩圖表示如下：

所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為＝0.7.
3．現(xiàn)有5人參加抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票(其中3張為中獎票)的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完結(jié)束的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C．將5張獎票不放回地依次取出共有A＝120種不同的取法，若活動恰好在第四次抽獎結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎票，第四次抽到最后一張中獎票，共有3AAA＝36種取法，所以P＝＝.故選C．
4．(多選)某展會安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計了兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則(　　)
A．P1·P2＝ B．P1＝P2＝
C．P1＋P2＝ D．P1＞P2
解析：選ACD．三輛車的出車順序可能為123，132，213，231，312，321，共6種．方案一坐到“3號”車可能為132，213，231，共3種，所以P1＝＝；方案二坐到“3號”車可能為312，321，共2種，所以P2＝＝，所以P1＞P2，P1·P2＝，P1＋P2＝，故選ACD．
5．(2020·武漢市調(diào)研測試)大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C．依題意，小明與另外3名大學(xué)生分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)的分配方法是1個學(xué)校2人，另外2個學(xué)校各1人，共有CA＝36(種)分配方法，若小明必分配到甲村小學(xué)，有CA＋CA＝12(種)分配方法，根據(jù)古典概型的概率計算公式得所求的概率為＝，故選C．
6．(2019·高考全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________．
解析：經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為＝0.98.
答案：0.98
7．連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是________；“至少有2枚反面朝上”的概率是________．
解析：列舉基本事件如下：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8個，“恰好3枚正面都朝上”包含1個基本事件，概率P1＝.“至少有2枚反面朝上”包含4個基本事件，概率P2＝＝.
答案：　
8．已知|p|≤3，|q|≤3，當(dāng)p，q∈Z，則方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根的概率是________．

解析：由方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根，可得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)＞0，即p2＋q2＞1.
當(dāng)p，q∈Z時，設(shè)點M(p，q)，如圖，直線p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直線q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交點，即為點M，共有49個，其中在圓上和圓內(nèi)的點共有5個(圖中黑點)．當(dāng)點M(p，q)落在圓p2＋q2＝1外時，方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根，所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有兩個相異實數(shù)根的概率P＝＝.
答案：
9．某保險公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法，對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：
賠付金額(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
車輛數(shù)(輛)
500
130
100
150
120
(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；
(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率．
解：(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1 000＝100(輛)，而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.
10．在某大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；
(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；
(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率．
解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)”為事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是.
(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)”為事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P()＝1－P(E)＝.
(3)有兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率P2＝＝，所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率P1＝1－P2＝.
[綜合題組練]
1．已知甲、乙、丙各有一張自己的身份證，現(xiàn)把三張身份證收起來后，再隨機(jī)分給甲、乙、丙每人一張，則恰有一人取到自己身份證的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選A．甲、乙、丙各有一張自己的身份證，
現(xiàn)把三張身份證收起來后，再隨機(jī)分給甲、乙、丙每人一張，
基本事件總數(shù)n＝A＝6，
恰有一人取到自己身份證包含的基本事件個數(shù)m＝CCC＝3，
所以恰有一人取到自己身份證的概率為p＝＝＝.故選A．
2．如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個2×2×3的長方體框架，一個建筑工人欲從A處沿腳手架攀登至B處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為(　　)

A． B．
C． D．
解析：選B．根據(jù)題意，最近路線就是不能走回頭路，不能走重復(fù)的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路線共有A＝5 040(種)．因為不能連續(xù)向上，所以先把不向上的次數(shù)排列起來，也就是2次向右和2次向前全排列為A.接下來，就是把3次向上插到4次不向上之間的空隙中，5個位置排3個元素，也就是A，則最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的路線共有AA＝1 440(種)，所以其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率P＝＝.故選B．
3．連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，記第i次得到的向上一面的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為幸運數(shù)字，則幸運數(shù)字為3的概率是________．
解析：連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子3次，所含基本事件總數(shù)n＝6×6×6，要使a1＋a2＋a3＝6，則a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三種情況，其所含的基本事件個數(shù)m＝A＋C＋1＝10.
故幸運數(shù)字為3的概率為P＝＝.
答案：
4．如圖的三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為________．

解析：從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有C＝＝84種，取出的三個數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有C·C·C＝6種，所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為1－＝.
答案：
5．某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購物者進(jìn)行調(diào)查．這1 000名購物者2017年網(wǎng)上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，樣本分組為：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下：

電子商務(wù)公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關(guān)系如下：
購物金額分組
[0.3，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.8)
[0.8，0.9]
發(fā)放金額
50
100
150
200
(1)求這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；
(2)以這1 000名購物者購物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率．
解：(1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表：
x
0.3≤x＜0.5
0.5≤x＜0.6
0.6≤x＜0.8
0.8≤x≤0.9
y
50
100
150
200
頻率
0.4
0.3
0.28
0.02
這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為
(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.
(2)由獲得優(yōu)惠券金額y與購物金額x的對應(yīng)關(guān)系及(1)知，
P(y＝150)＝P(0.6≤x＜0.8)＝0.28，
P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，
從而，獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率為P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.
6．(2020·太原一模)某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)如下：質(zhì)量不超過1 kg的包裹收費10元；質(zhì)量超過1 kg的包裹，除1 kg收費10元之外，超過1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg計算)需再收5元．
該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：
包裹件數(shù)范圍
0～100
101～200
201～300
301～400
401～500
包裹件數(shù)(近似處理)
50
150
250
350
450
天數(shù)
6
6
30
12
6
(1)某人打算將A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件禮物隨機(jī)分成兩個包裹寄出，求該人支付的快遞費不超過30元的概率；
(2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用．前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺有工作人員3人，那么公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利？
解：(1)由題意，寄出方式有以下三種可能：
情況
第一個包裹
第二個包裹
甲支付的
總快遞費
禮物
質(zhì)量(kg)
快遞費(元)
禮物
質(zhì)量(kg)
快遞費(元)
1
A
0.3
10
B，C
3.3
25
35
2
B
1.8
15
A，C
1.8
15
30
3
C
1.5
15
A，B
2.1
20
35
所有3種可能中，有1種可能快遞費未超過30元，根據(jù)古典概型概率計算公式，所求概率為.
(2)由題目中的天數(shù)得出頻率，如下：
包裹件數(shù)范圍
0～100
101～200
201～300
301～400
401～500
包裹件數(shù)(近似處理)
50
150
250
350
450
天數(shù)
6
6
30
12
6
頻率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：
包裹件數(shù)(近似處理)
50
150
250
350
450
實際攬件數(shù)
50
150
250
350
450
頻率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均攬件數(shù)
50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋350×0.2＋450×0.1＝260
故公司每日利潤為260×5－3×100＝1 000(元)；
若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：
包裹件數(shù)(近似處理)
50
150
250
350
450
實際攬件數(shù)
50
150
250
300
300
頻率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
平均攬件數(shù)
50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋300×0.2＋300×0.1＝235
故公司每日利潤為235×5－2×100＝975(元)．
綜上，公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利．

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