www.ks5u.com泉州第十六中學(xué)2020年春季線上教學(xué)摸底測(cè)試高一數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共10小題，共50.0分）1.的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算，即可得答案；【詳解】，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的余弦公式，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意展開的右邊是加號(hào).2.在中，若，，，則角的大小為（    ）A.  B. 或 C. 或 D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出，再根據(jù)角的范圍，即可得解.【詳解】在中，由正弦定理,得，即，解得，又因?yàn)?/span>，且，所以或，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理解三角形的問題，熟記正弦定理即可，屬于基礎(chǔ)題.3.若復(fù)數(shù)滿足(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)于的點(diǎn)位于第三象限，應(yīng)選答案C．4.已知定義在復(fù)數(shù)集上的函數(shù)滿足，則（    ）A.  B. 0 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】先求內(nèi)層函數(shù)的值，再根據(jù)的值所在定義域計(jì)算出的值即可.【詳解】根據(jù)題意，，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)和復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，根據(jù)自變量所處的范圍準(zhǔn)確選擇函數(shù)解析式是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖，圓錐頂點(diǎn)為，底面圓心為，過軸的截面，為中點(diǎn)，，，則從點(diǎn)經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn)的最短距離為A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先畫出圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，再求線段BC的長(zhǎng)度，即得點(diǎn)經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn)的最短距離.【詳解】先作出圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，由題得圓錐底面圓的半徑為，所以,所以,所以BC=.故答案為A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查圓錐側(cè)面兩點(diǎn)間的最短距離，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象分析推理能力.(2)求曲面上兩點(diǎn)間的最短距離，一般利用展開法，轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)間的最短距離.6.一直線與其外三點(diǎn)，，可確定的平面?zhèn)€數(shù)是（    ）A. 1個(gè) B. 3個(gè) C. 1個(gè)或3個(gè) D. 1個(gè)或3個(gè)或4個(gè)【答案】D【解析】【分析】利用平面的基本性質(zhì)及其推論即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，只能確定一個(gè)平面；當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，且其中兩點(diǎn)連線與已知直線平行，這樣的平面有3個(gè)；當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，且任意兩點(diǎn)連線與已知直線不平行，則一條直線與直線外的每一點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，平面外的三個(gè)點(diǎn)也可以確定一個(gè)平面，這樣可確定的平面最多就可以達(dá)到4個(gè).綜上，直線與其外三點(diǎn)，，可確定的平面?zhèn)€數(shù)是1個(gè)或3個(gè)或4個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)及其推論，熟練掌握平面的基本性質(zhì)及其推論是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.是邊長(zhǎng)為1的正三角形，那么的斜二測(cè)平面直觀圖的面積（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出原三角形的面積，再根據(jù)原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系即可得解.【詳解】以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，畫對(duì)應(yīng)的軸，軸，使，如下圖所示，結(jié)合圖形，的面積為，作，垂足為，則，，所以的面積，即原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系為，所以，的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法中原圖和直觀圖面積關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8.過棱長(zhǎng)為1的正方體的一條體對(duì)角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】取對(duì)角線頂點(diǎn)所不在的兩個(gè)側(cè)棱的中點(diǎn)M,N,與對(duì)角線兩個(gè)頂點(diǎn)相連，所得四邊形即為所有過對(duì)角線的截面中面積最小的，由此可求出截面面積.【詳解】如圖：在正方體中，取的中點(diǎn),連接,過的平面截得正方體的截面中，當(dāng)截面為菱形時(shí)，截面面積最小，,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體的截面面積的求法，考查了空間想象能力，屬于中檔題.9.已知向量，滿足：，，，且，則最小值為　　A.  B. 4 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由題意可知，把看作，根據(jù)坐標(biāo)系，和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，則的最小值可轉(zhuǎn)化為在直線取一點(diǎn)B，使得最小，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則最小值即可求出．【詳解】解：由題意可知，把看作，，，則可表示為，點(diǎn)B在直線上，設(shè)，，，，，，，則的最小值可轉(zhuǎn)化為在直線取一點(diǎn)B，使得最小，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則最小值即可求出，設(shè)，由，解得，，則，故的最小值為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于難題．10.如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點(diǎn).若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（    ）A. 1 B.  C.  D. 4【答案】A【解析】【分析】把正四面體補(bǔ)成正方體，在正方體內(nèi)利用截面為平行四邊形，有，進(jìn)而利用基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以，如圖所示，補(bǔ)全四面體為正方體，設(shè)截面分別交面，面，面，面于，，，，連接，，，，根據(jù)正方體的性質(zhì)，則四邊形為平行四邊形，且，，由，兩式相加可得， 因?yàn)?/span>，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，該多邊形截面面積最大值為1.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平面的基本性質(zhì)及推論，其中涉及到基本不等式的應(yīng)用，用了割補(bǔ)法，屬于中檔題.二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共2小題，共10.0分）11.下列命題錯(cuò)誤的是（    ）A. 棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B. 用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C. 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直D. 棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形【答案】ABD【解析】【分析】直接利用棱柱，棱錐，棱臺(tái)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，棱柱的側(cè)面不一定全等，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由棱臺(tái)的定義可知只有當(dāng)平面與底面平行時(shí)，所截部分才是棱臺(tái)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直，比如正方體中共點(diǎn)的三個(gè)相鄰平面，故正確；對(duì)于D，棱臺(tái)的側(cè)面不一定是等腰梯形，故錯(cuò)誤.綜上，ABD錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)、線、面間位置特征的判斷，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.12.下列說法中錯(cuò)誤的為A. 已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B. 向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C. 若，則在方向上的正射影的數(shù)量為D. 三個(gè)不共線的向量，，，滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【解析】分析】對(duì)于A，由向量的交角為銳角的等價(jià)條件為數(shù)量積大于0，且兩向量不共線，計(jì)算即可；對(duì)于B，由，可知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；對(duì)于C，利用向量投影的定義即可判斷；對(duì)于D，由，點(diǎn)在角的平分線上，同理，點(diǎn)在角的平分線上，點(diǎn)在角的平分線上，進(jìn)而得出點(diǎn)是的內(nèi)心.【詳解】對(duì)于A，已知，，且與的夾角為銳角，可得，且與不共線，，即有，且，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故A不正確；對(duì)于B，向量，，，，向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對(duì)于C，若，則在上的投影為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，表示與中角的外角平分線共線的向量，由，可知垂直于角的外角平分線，所以，點(diǎn)在角的平分線上，同理，點(diǎn)在角的平分線上，點(diǎn)在角的平分線上，故點(diǎn)是的內(nèi)心，D正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的運(yùn)算和有關(guān)概念，具體包括向量數(shù)量積的夾角公式、向量共線的坐標(biāo)表示和向量投影的定義等知識(shí)，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.把一個(gè)底面半徑為3cm，高為4 cm的鋼質(zhì)實(shí)心圓柱熔化，然后鑄成一個(gè)實(shí)心鋼球(不計(jì)損耗），則該鋼球的半徑為_______cm【答案】3【解析】【分析】根據(jù)熔化前后的體積不變求解鋼球的半徑即可.【詳解】圓柱體積：，球的體積：，所以，解得.【點(diǎn)睛】圓柱的體積公式：；球的體積公式：.14.函數(shù)在上減區(qū)間為_____．【答案】【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,結(jié)合正弦函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的減區(qū)間.【詳解】 函數(shù) 根據(jù)正弦函數(shù)減區(qū)間可得: , 解得:,故函數(shù)的減區(qū)間為: 再由,可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在平面四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn).若（），則         ．【答案】【解析】試題分析：所以，則；考點(diǎn)：1.平面向量的運(yùn)算；2.平面向量基本定理；16.下列四個(gè)命題：①兩個(gè)相交平面有不在同一直線上的三個(gè)公交點(diǎn)②經(jīng)過空間任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面③過兩平行直線有且只有一個(gè)平面④在空間兩兩相交的三條直線必共面其中正確命題的序號(hào)是______ .【答案】③【解析】【分析】由平面的基本性質(zhì)及推論可判斷①②③，根據(jù)空間線線關(guān)系，可判斷④.【詳解】①兩個(gè)相交平面的公交點(diǎn)一定在平面的交線上，故錯(cuò)誤；②經(jīng)過空間不共線三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；③過兩平行直線有且只有一個(gè)平面，故正確；④在空間兩兩相交，且交點(diǎn)不重合的三條直線必共面；當(dāng)三線共點(diǎn)時(shí)，三線可能不共面，故錯(cuò)誤.故正確命題的序號(hào)是③.故答案為：③.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面的基本性質(zhì)及推論，空間線線關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）的值為或；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0，得到一個(gè)關(guān)于的方程，解此方程，即可得解；（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)公式，可求出的值，進(jìn)而得到，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】（1），則，即，解得或.所以，的值為或.（2）若，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，.故或.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求向量的模的方法：（1）利用坐標(biāo)進(jìn)行求解，，則；（2）利用性質(zhì)進(jìn)行求解，，結(jié)合向量數(shù)量積進(jìn)行求解.18.已知，（，為虛數(shù)單位），（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解；（2）求出和，代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）為純虛數(shù)，則，解得，所以的值為0；（2）當(dāng)時(shí)，，，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力，屬于基礎(chǔ)題.19.某市有一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為立方米，且分上下兩層，其中上層是半徑為（單位：米）的半球體，下層是半徑為米，高為米的圓柱體（如圖）.經(jīng)測(cè)算，上層半球體部分每平方米建造費(fèi)用為2千元，下方圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個(gè)部分平均每平方米建造費(fèi)用為3千元，設(shè)每座帳篷的建造費(fèi)用為千元.參考公式：球的體積，球的表面積，其中為球的半徑.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)半徑為何值時(shí)，每座帳篷的建造費(fèi)用最小，并求出最小值.【答案】（1），定義域?yàn)?/span>；（2）當(dāng)半徑為時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為千元．【解析】【分析】（1）由圖可知帳篷體積半球體積圓柱體積，即，表示出，則，化簡(jiǎn)得；再由，即可求出函數(shù)的定義域（2），，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出其最小值即可．【詳解】解：（1）由題意可得，所以，所以，即；因?yàn)?/span>，，所以，則，所以定義域?yàn)?/span>，故，定義域?yàn)?/span>；（2）設(shè)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，且．當(dāng)半徑為時(shí)，建造費(fèi)用最小， 答：當(dāng)半徑為時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為千元．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．20.如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）三線共點(diǎn).【答案】（1）見證明 （2）見證明【解析】【分析】（1）連接，結(jié)合平面幾何知識(shí)可證得，于是可得結(jié)論成立．（2）由題意可得直線與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，然后再證明點(diǎn)在平面與平面的交線上，進(jìn)而得到結(jié)論成立．【詳解】證明：（1）連接.∵分別是和的中點(diǎn)，∴.又，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴與確定一個(gè)平面，∴四點(diǎn)共面．（2）由（1）知，，且，∴直線與必相交，設(shè).∵平面，，∴平面.又平面，，∴平面，即是平面與平面的公共點(diǎn)，又平面平面，∴，∴三線共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】（1）要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”，可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)．（2）要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此可得點(diǎn)共線．21.已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，且.（1）求角的大?。?/span>（2）若，求的外接圓的半徑的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換將原式化簡(jiǎn)，求得的值，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和，即可求出角的大??；（2）利用正弦定理以及，求得，再借助三角恒等變換及三角函數(shù)的取值范圍得到，從而，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，得，即，又，，所以，即，所以.（2）設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理，得.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以的外接圓的半徑的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理以及三角函數(shù)的取值范圍問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力，屬于基礎(chǔ)題.22.已知向量 ，函數(shù) ，且圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為與最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 .(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；(Ⅱ)設(shè)為常數(shù)，判斷方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）在銳角中，若，求 的取值范圍.【答案】（1） （2）見解析（3） 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積得，再根據(jù)配角公式得.（2）根據(jù)自變量范圍畫出函數(shù)圖像，根據(jù)正弦函數(shù)圖像確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)（3）先根據(jù)條件求出銳角B，再根據(jù)銳角三角形確定角A范圍為，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定 的取值范圍.試題解析：(Ⅰ) .   圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為，與最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為,，，于是.   所以.                    (Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有二解；        當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上有一解；當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上無解.       （Ⅲ）在銳角中，，.又，故，.         在銳角中,.      ,,           即的取值范圍是點(diǎn)睛：三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．

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