2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知函數(shù)的最小正周期為，則實(shí)數(shù)　　A．2 B． C． D．2．（5分）復(fù)數(shù)與分別表示向量，，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）若，，且與的夾角為，則　　A．4 B． C． D．54．（5分）已知，，，，若，則　　A． B． C． D．5．（5分）函數(shù)在區(qū)間，上的最小值是　　A． B．3 C．5 D．66．（5分）在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．7．（5分）若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，，則　　A．0 B．6 C．0或 D．0或68．（5分）在中，，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，．設(shè)，，復(fù)數(shù)，當(dāng)取到最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為　　A． B． C．2 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（5分）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，真命題的為　　A．若，則 B．若，則 C．若，則的最大值為2 D．若，則10．（5分）在內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，邊上的高等于，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是　　A． B． C． D．11．（5分）已知函數(shù)，則　　A．為偶函數(shù) B．的最小正周期為 C．的值域?yàn)?/span>， D．在，上單調(diào)遞減12．（5分）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則　　A．為的垂心 B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知，，且，則實(shí)數(shù)　　．14．（5分）已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度得到向量，叫做把點(diǎn)繞著沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的向量　　．15．（5分）已知復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)），并且，則實(shí)數(shù)　　．16．（5分）如圖，已知直線，是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，并且點(diǎn)到，的距離都為2．是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)．設(shè)，則面積的最小值是　　，周長的最小值是　　．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求的值；（2）已知復(fù)數(shù)，，，求．18．（12分）已知是圓的一條直徑，且，，是直徑同側(cè)的半圓弧上兩個(gè)三等分點(diǎn)，其中是靠近的三等分點(diǎn)．（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）圣索非亞教堂是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑，1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，如圖1．某校高一數(shù)學(xué)興趣小組打算根據(jù)所學(xué)知識(shí)估算索菲亞教堂的高度，他們在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，測得建筑物的高度為，在它們之間的地面上的點(diǎn)，，三點(diǎn)共線）處可以測得樓頂和教堂頂的仰角分別為和，在樓頂處可測得塔頂的仰角為，且與都垂直地面，如圖2，那么請你根據(jù)他們測得的數(shù)據(jù)估算索菲亞教堂的高度為多少？（結(jié)果用，，，表示）20．（12分）已知，都是銳角，，．（1）求；（2）求．21．（12分）在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，請?jiān)?/span>①；②；③；這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，完成下列問題：（1）若，求．（2）若且，求的面積．22．（12分）（1）對于平面向量，，求證：，并說明等號(hào)成立的條件；（2）我們知道求的最大值可化為求的最大值，也可以利用向量的知識(shí)，將構(gòu)造為兩個(gè)向量的數(shù)量積形式，即：令，，則轉(zhuǎn)化為，求出最大值．利用以上向量的知識(shí)，完成下列問題：①對于任意的，，，，求證：；②求的最值．
2020-2021學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，故，解得．故選：．2．【解答】解：復(fù)數(shù)與分別表示向量，，，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選：．3．【解答】解：，，且與的夾角為，則．故選：．4．【解答】解：，，且，或（舍去），．故選：．5．【解答】解：函數(shù)，由于，所以，所以，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為3．故選：．6．【解答】解：因?yàn)?/span>為邊上的中線，為的中點(diǎn)，所以，故選：．7．【解答】解：①當(dāng)兩兩夾角為0時(shí)，，②當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，，，綜上：或6．故選：．8．【解答】解：如圖，，，，，為中點(diǎn)，，，，， 三點(diǎn)共線，，，，，當(dāng) 時(shí)，的最小值為，又，當(dāng) 時(shí)，有最小值．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【解答】解：，若，即，則，所以正確；取復(fù)數(shù)，滿足，但，故錯(cuò)誤；，的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則的最大值為2，所以正確；取復(fù)數(shù)，，故錯(cuò)誤；故選：．10．【解答】解：過作，垂足為，因?yàn)?/span>，邊上的高，中，，所以，，，正確；由勾股定理得，由正弦定理得，，所以，正確；中，，由余弦定理得，，故，錯(cuò)誤；，正確．故選：．11．【解答】解：函數(shù)，對于：函數(shù)故函數(shù)為偶函數(shù)，故正確；對于：由于函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，故正確；對于：由于函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．對于：函數(shù)在，上單調(diào)性先增后減，故錯(cuò)誤；故選：．12．【解答】解：如圖，，，，，同理，為外心，正確，在四邊形中，，，，即，正確，，同理，，，，錯(cuò)誤，，，由奔馳定理得，正確，故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解答】解：已知，，且，，則實(shí)數(shù)，故答案為：．14．【解答】解：設(shè)，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，，即，，，，解得．．故答案為：，．15．【解答】解：復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)），并且，，實(shí)數(shù)．故答案為：．16．【解答】解：①由題意知，，，，所以，，所以，；所以，，所以的面積為．當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最小值為4．②的周長為，；設(shè)，其中，所以，，所以，，所以，解得，所以可化為，當(dāng)時(shí)取得最小值；所以周長的最小值是．故答案為：4，．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解答】解：（1）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，是關(guān)于的方程的另一個(gè)根，，解得，，則；（2），，，．18．【解答】解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，；（2），，．19．【解答】解：解法1、由題意可知，在中，，設(shè)，則，在中，，，則，在中，，，所以，由正弦定理知，，即，解得，所以估算索菲亞教堂的高度為．解法2、過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：則，設(shè)，在中，，，則，在中，，，則，所以，在，，解得，所以，解得，所以估算索菲亞教堂的高度為．20．【解答】解：（1）已知，都是銳角，，，所以，①由于②，由①②解得：，由于是銳角，所以，，由于，，．（2），都是銳角，所以，所以，，所以，所以，故，故．21．【解答】解：（1）若選①，因?yàn)?/span>，可得，由正弦定理可得，在中，，所以，又，所以，所以，又，所以，，所以，可得．若選②，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，所以，又，所以，又，所以．若選③，因?yàn)?/span>，由余弦定理可得，又，且，所以，又，所以．因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，，可得．（2）由，，由正弦定理可得，由，所以，又由余弦定理可得，可得，所以．22．【解答】（1）證明：設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立；解：（2）①證明：設(shè)，，，，，，則，兩邊平方可得：；②解：，，，，，，在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，即第一象限及，；當(dāng)時(shí)，在上的投影最小，即的最小值為3；當(dāng)，共線同向時(shí)取最大值，即的最大值為5，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2021/8/3 15:56:35；用戶：高中數(shù)學(xué)12；郵箱：sztdjy76@xyh.com；學(xué)號(hào)：26722394

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