2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  在實(shí)數(shù)，，，中，最小的數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列數(shù)學(xué)曲線中，是中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  將兩本相同的書進(jìn)行疊放，得到如圖所示的幾何體，則它的主視圖是(    )A.
B.
C.
D.
 4.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  愛好運(yùn)動(dòng)的小穎同學(xué)利用“微信運(yùn)動(dòng)”這一公眾號(hào)，連續(xù)記錄了天每天的步數(shù)單位：萬(wàn)步分別為：，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(    )A.  B.  C.  D. 6.  政府工作報(bào)告中指出：年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)期增長(zhǎng)目標(biāo)左右，城鎮(zhèn)新增就業(yè)萬(wàn)人左右，將萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測(cè)得，，，則點(diǎn)到的距離(    )
A.  B.  C.  D. 8.  某學(xué)校將國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽(yáng)光特色大課間某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖所示，若將圖抽象成圖的數(shù)學(xué)問題：，，，則的大小是(    )
A.  B.  C.  D. 9.  密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)容器的體積單位：變化時(shí)，氣體的密度單位：隨之變化已知密度與體積是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象可知，下列說法不正確的是(    )
A. 與的函數(shù)關(guān)系式是
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，
D. 當(dāng)時(shí)，的變化范圍是10.  如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的長(zhǎng)為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  分解因式：______．12.  是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則 ______ ．13.  如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，作射線，與相交于點(diǎn)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是______ ．
 14.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形在第二象限內(nèi)，邊與軸平行，、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為、，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)，若菱形的面積為，則的值為______ ．
 15.  如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，且是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接交于，若，則的長(zhǎng)度為______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共55.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
計(jì)算：．17.  本小題分
先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．18.  本小題分
國(guó)家航天局消息：北京時(shí)間年月日，神舟十四號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，標(biāo)志著神舟十四號(hào)載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，某中學(xué)科技興趣小組為了解本校學(xué)生對(duì)航天科技的關(guān)注程度，在該校內(nèi)進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將調(diào)查結(jié)果分為不關(guān)注、關(guān)注、比較關(guān)注、非常關(guān)注四類，回收、整理好全部調(diào)查問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為______ 人；
補(bǔ)全圖條形統(tǒng)計(jì)圖；
該校共有人，根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校“關(guān)注”，“比較關(guān)注”及“非常關(guān)注”航天科技的人數(shù)共______ 人；
該校九年一班非常關(guān)注的學(xué)生有、、、四人，隨機(jī)選取兩人去參加學(xué)校即將舉辦的航天知識(shí)競(jìng)賽，則恰好抽到、兩位同學(xué)的概率為______ ．19.  本小題分
某文具店準(zhǔn)備購(gòu)甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價(jià)和利潤(rùn)如表：  甲水筆乙水筆每支進(jìn)價(jià)元每支利潤(rùn)元已知花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等．
求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為多少元？
若該文具店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種水筆共支，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不少于乙種水筆數(shù)量的倍，問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？20.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且該拋物線的頂點(diǎn)在直線上．
填空： ______ ， ______ ；
將拋物線沿直線平移，求平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．21.  本小題分
課本呈現(xiàn)：如圖，在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置對(duì)球門的張角有關(guān)當(dāng)球員在，處射門時(shí)，則有張角某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門同側(cè)的直線射門時(shí)的最大張角．
問題探究：如圖，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有．
小明證明過程如下：
設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則
______
______

如圖，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門時(shí)，則有，你同意嗎？請(qǐng)你說明理由．
問題應(yīng)用：如圖，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門時(shí)的最大張角為，則的長(zhǎng)度為______ 米
問題遷移：如圖，在射門游戲中球門，是球場(chǎng)邊線，，是直角，若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，，，
 22.  本小題分
在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接、，并以為斜邊在其上方作∽，連接．
特例探究：如圖，當(dāng)，時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為______ ；
問題探究：如圖所示，在旋轉(zhuǎn)的過程中，
中的結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)說明理由；
當(dāng)，時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；
拓展提升：若正方形改為矩形，且，其它條件不變，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，如圖所示，若，，直接寫出的長(zhǎng)度用含的式子表示

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
在實(shí)數(shù)，，，中，最小的數(shù)是．
故選：．
正實(shí)數(shù)都大于，負(fù)實(shí)數(shù)都小于，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?/span>
 2.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A、、的圖形都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)D的圖形能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形，
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念判斷．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．
本題考查的是中心對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 3.【答案】 【解析】解：從正面看，是一列兩個(gè)全等的矩形．
故選：．
根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
 4.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：．
利用完全平方公式，同底數(shù)冪的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 5.【答案】 【解析】解：把天每天的步數(shù)從小到大排列為：、、、、、、、，
則排在中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，
所以中位數(shù)是．
故選：．
把這組數(shù)從小到大排列，求出中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可．
本題考查了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的知識(shí)，掌握找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求．如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)是關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：萬(wàn)．
故選：．
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作，垂足為，

在中，，，
，
點(diǎn)到的距離為，
故選：．
過點(diǎn)作，垂足為，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，
，
，
，
，
．
故選：．
直接利用平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角形的外角得出答案．
此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)，
把代入上式得，，
，
，
故選項(xiàng)A正確，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
故選項(xiàng)B正確，不符合題意，
由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，
故選項(xiàng)C不正確，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，，
故選項(xiàng)D正確，不符合題意，
故選：．
設(shè)，把代入求出，即可判斷；令，求出，即可判斷；結(jié)合圖象即可判斷；當(dāng)或時(shí)，求出的對(duì)應(yīng)值，即可判斷．
本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

四邊形為矩形，
，
，，是的中點(diǎn)，
，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
．
故選：．
根據(jù)題意可得，在根據(jù)勾股定理求出，由折疊可知，，于是，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得，，因此，根據(jù)同角的余角相等得，以此可證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．
本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推理論證出是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意要分解徹底．
先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．
【解答】
解：
．
故答案為．  12.【答案】 【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案為：．
把代入原方程得到，然后解一次方程即可．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
 13.【答案】 【解析】解：在中，，，，
，
由作圖得：，
，
，
故答案為：．
先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等角對(duì)等邊及線段的和差求解．
本題考查了基本作圖，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：四邊形是菱形，
，，
、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是、，反比例函數(shù)經(jīng)過、兩點(diǎn)，
，，即，，
，
，
又菱形的面積為，
，
即，
整理得，
解得，
函數(shù)圖象在第二象限，
，即，
故答案為：．
根據(jù)函數(shù)解析式和、點(diǎn)的縱坐標(biāo)，分別寫出、點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的面積，得出關(guān)于的方程，解方程得出正確取值即可．
本題主要考查了反比例函數(shù)和菱形的知識(shí)，用含有的代數(shù)式表示出菱形的面積是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：作于，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
，，
∽，
，即，
，
．
故答案為：．
作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，，利用勾股定理求得，通過證得∽，求得，通過證得∽，求得，從而求得．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，正確應(yīng)用性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：


． 【解析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、開平方和特殊角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．
此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
 17.【答案】解：原式

，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后約分即可化簡(jiǎn)原式，將的值代入可得答案．
本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值能力，熟練掌握分式的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】    【解析】此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為：人，
故答案為：；

“非常關(guān)注”的人數(shù)為：人，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

由題意得：人，
故答案為：；

畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到、兩位同學(xué)的結(jié)果有種，
恰好抽到、兩位同學(xué)的概率．
故答案為：．
由“關(guān)注”的人數(shù)除以所占百分比得出此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)；
求出“非常關(guān)注”的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
由該校共有人數(shù)乘以該?！瓣P(guān)注”，“比較關(guān)注”及“非常關(guān)注”航天科技的人數(shù)所占的比例即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到、兩位同學(xué)的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查了樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)．正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 19.【答案】解：由題意可得：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合實(shí)際意義，
，
答：甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為元、元；
設(shè)利潤(rùn)為元，甲種水筆購(gòu)進(jìn)支，則乙種水筆購(gòu)進(jìn)支．
利潤(rùn)，

隨的增大而減小，
購(gòu)進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不少于乙種水筆數(shù)量的倍，

解得，，
為整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值，
此時(shí)，，
答：該文具店購(gòu)進(jìn)甲種水筆支，乙種水筆支時(shí)，能使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元． 【解析】根據(jù)花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)元購(gòu)進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以求得甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為多少元；
設(shè)利潤(rùn)為元，甲種水筆購(gòu)進(jìn)支，則乙種水筆購(gòu)進(jìn)支．列出方程求得利潤(rùn)的解析式再分析即可．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．
 20.【答案】   【解析】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
拋物線的頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)在直線上．
，
；
故答案為：，；
設(shè)平移后的拋物線的解析式為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
頂點(diǎn)仍在直線上，
，
，
拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，

時(shí)平移后的拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為．
利用拋物線的解析式求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得的值，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得的值；
設(shè)平移后的拋物線的解析式為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由頂點(diǎn)在直線上得到，從而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】     【解析】解：?jiǎn)栴}探究：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則，
，
，
，
故答案為：、；
同意，
證明如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則，
，
，
；
問題應(yīng)用：過點(diǎn)，作與相切于，由可知，此時(shí)射門最好，，
與相切，
，
，
米，
米，
故答案為：；
問題遷移：如圖，作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足題意．

過、兩點(diǎn)，作使其與直線相切，切點(diǎn)為，設(shè)交于點(diǎn)，設(shè)，則，
，
四邊形是矩形，
，，
，，
在中，，
，
，
，
：，
，
，
，
，
最大視角是．
問題探究：由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；
設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則，由三角形外角的性質(zhì)及圓周角定理可得出結(jié)論；
問題應(yīng)用：過點(diǎn)，作與相切于，由可知，此時(shí)射門最好，，由切線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；
問題遷移：作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，過、兩點(diǎn)，作使其與直線相切，切點(diǎn)為，設(shè)交于點(diǎn)，設(shè)，則，由勾股定理及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
本題主要考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，了解直角三角形、直線和圓相切等，這種新定義類的題目，通常按照題設(shè)的順序求解是解題關(guān)鍵．
 22.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在上，
∽，
，
，
，
，
故答案為：；
依然成立，理由如下：
正方形，
，
∽，

，，
，
∽，
，
；
，
，
，
，
，，
，
，
過作于，

，，，
，
，
由可知，，
；
過作于，則，，
∽，
，
，
，
、、三點(diǎn)共線，

，
設(shè)，
則，
解得：，
，
由同理得，∽，
，
．
根據(jù)∽，得，即可得出；
由∽得，，，從而證明∽，得；
過作于，通過解，得出的長(zhǎng)，再根據(jù)中和的關(guān)系可得答案；
過作于，則，，由∽，得，則，設(shè)，則，可得，進(jìn)而解決問題．
本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)相似必成雙是解題的關(guān)鍵．
 

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