2023年廣東省廣州市越秀區(qū)中考數(shù)學二模試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列實數(shù)中，比小的數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  某校開展了“空中云班會”的滿意度調查，九年級各班滿意的人數(shù)分別為，，，下列關于這組數(shù)據(jù)描述錯誤的是(    )A. 中位數(shù)是 B. 眾數(shù)是 C. 平均數(shù)是 D. 方差是4.  下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如圖，是的直徑，點，都是上的點，若，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 6.  若點在直線：上，則下列各點也在直線上的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，一個圓錐的主視圖是邊長為的等邊三角形，則該圓錐的側面展開圖的面積是(    )A.
B.
C.
D.
 8.  在某校的科技節(jié)活動中，九年級開展了測量教學樓高度的實踐活動“陽光小組”決定利用無人機測量教學樓的高度如圖，已知無人機與教學樓的水平距離為米，在無人機上測得教學樓底部的俯角為，測得教學樓頂部的仰角為根據(jù)以上信息，可以表示教學樓單位：米的高度是(    )
 A.  B.
C.  D. 9.  拋物線：與軸負半軸交于點，與軸交于點，將拋物線沿直線平移得到拋物線，若拋物線與軸交于點，則點的縱坐標的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如圖，四邊形的對角線與交于點，且，，，，，則的長是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  在函數(shù)中，自變量的取值范圍是          ．12.  在平面直角坐標系中，點關于軸的對稱點為，則的值是______ ．13.  分解因式：          ．14.  在“玩轉數(shù)學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的與的和總是一個定值則 ______ 度
 15.  如圖，在菱形中，與相切于點，與相切于點，點在上，則 ______ ．
 16.  如圖，矩形中，，，點，分別為邊，上的動點，且，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．
當點為的中點時，線段的長是______ ；
當點在邊上運動時，線段的最小值是______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
解不等式組：．18.  本小題分
如圖，在平行四邊形中，，分別是，上一點，，交于點求證：．
19.  本小題分
已知：．
化簡；
從條件、條件這兩個條件中選擇一個作為已知，求的值．
條件：若點是反比例函數(shù)圖象上的點；
條件：若是方程的一個根．20.  本小題分
為落實立德樹人根本任務，堅持“五育”并舉全面發(fā)展素質教育某學校提倡家長引導孩子在家做一些力所能及的家務勞動為了解九年級學生平均每周家務勞動時間，隨機抽取了部分九年級學生進行調查，根據(jù)調查結果，繪制如下頻數(shù)分布表： 勞動時間時頻數(shù)學生人數(shù)請完成下列問題：
若九年級共有名學生，估計平均每周家務勞動時間少于小時的學生大約有______ 人
學校為了鼓勵學生進行家務勞動，計劃在參與調查的學生中，抽取名學生分享勞動心得若只從平均每周家務勞動時間不低于小時的名學生其中名男生，名女生中隨機抽取，請用樹狀圖或列表的方法求抽取的兩名學生中恰有名男生和名女生的概率．21.  本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的頂點在軸的正半軸上，點在對角線上，且反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，直線交軸于點．
求的值；
求的面積．
22.  本小題分
堅定文化自信，為鄉(xiāng)村振興塑形鑄魂為發(fā)展旅游經(jīng)濟，某鄉(xiāng)村企業(yè)制作一批“美麗鄉(xiāng)村”主題文化衫進行銷售第一批文化衫的制作成本是元，面市后文化衫供不應求，又用元制作了第二批同款文化衫，制作的數(shù)量是第一批數(shù)量的倍，但由于原材料漲價，第二批文化衫每件的成本增加了元．
該企業(yè)制作的第一批文化衫每件的成本是多少元？
兩批文化衫標價相同，在季末清倉時，最后件按折全部售出問每件文化衫標價為多少元時，才能使兩批文化衫的銷售盈利率等于？
注：盈利率銷售金額成本成本23.  本小題分
如圖，為的外接圓，，，點為的中點，連接，作的角平分線交于點．
尺規(guī)作圖：作出線段；保留作圖痕跡，不寫作法
連接，求證：；
若，求的周長．
24.  本小題分
已知拋物線：經(jīng)過點．
用含的代數(shù)式表示；
若拋物線與軸交于兩點，點在點左側，且，求點的坐標；
當時，自變量的取值范圍是：或，若點在拋物線上，求的取值范圍．25.  本小題分
如圖，已知是等邊三角形，，點為的中點，點，分別為邊，上的動點點不與，重合，且．
求的取值范圍；
若，求的長；
求的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，，
所給的實數(shù)中，比小的數(shù)是．
故選：．
正實數(shù)都大于，負實數(shù)都小于，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小．
 2.【答案】 【解析】解：、該圖形是軸對稱圖形，不是中心軸對稱圖形，不符合題意；
B、該圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；
C、該圖形不是軸對稱圖形，是中心軸對稱圖形，不符合題意；
D、該圖形是軸對稱圖形，不是中心軸對稱圖形，不符合題意．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義，對選項逐個判斷，即可判斷出答案．
此題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，掌握相關概念是解題的關鍵，圖形繞一點旋轉后能夠與原圖形完全重合則此圖形為中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
 3.【答案】 【解析】解：、中位數(shù)是，選項不符合題意；
B、眾數(shù)是，選項不符合題意；
C、平均數(shù)為，選項不符合題意；
D、方差為，選項符合題意．
故選：．
排序后位于中間或中間兩數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)；一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．
本題主要考查了眾數(shù)、平均數(shù)以及方差的計算，注意：極差只能反映數(shù)據(jù)的波動范圍，眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．
 4.【答案】 【解析】解：、，故不符合題意；
B、與不屬于同類項，不能合并，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
利用單項式乘多項式的法則，合并同類項的法則，積的乘方的法則對各項進行運算即可．
本題主要考查單項式乘多項式，合并同類項，積的乘方，負整數(shù)指數(shù)冪，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
 5.【答案】 【解析】解：為的直徑，
，
，
，
．
故選：．
由為的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得，又由，得出的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角相等繼而求得的度數(shù)．
本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
 6.【答案】 【解析】解：點在直線：上，
，
解得：，
直線的解析式為．
當時，，
點在直線上；
當時，，
點在直線上．
故選：．
由點的坐標，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出值，進而可得出直線的解析式，分別代入，，求出值，再對照四個選項后即可得出結論．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式是解題的關鍵．
 7.【答案】 【解析】解：圓錐的主視圖是邊長為的等邊三角形，
圓錐的底面直徑為，母線長為，
圓錐的底面周長為，
圓錐的側面展開圖的面積為：，
故選：．
根據(jù)圓錐的主視圖求出圓錐的底面直徑為，母線長為，根據(jù)扇形面積公式計算，得到答案．
本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
 8.【答案】 【解析】解：由題意得：，
在中，，米，
米，
在中，，
米，
米，
故選：．
根據(jù)題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：在中，當時，；
當時，，
解得，
，，
設直線的解析式為，
則，
解得．
直線的解析式為，
拋物線的頂點坐標為，即拋物線的頂點在直線上，
拋物線沿直線平移得到拋物線，則拋物線的頂點坐標一定在直線上，
設拋物線的頂點坐標為，
拋物線的解析式為，
在中，令，則，
，
的最大值為，
故選：．
先求出，，進而求出直線的解析式為，再推出拋物線沿直線平移得到拋物線，則拋物線的頂點坐標一定在直線上，設拋物線的頂點坐標為，則拋物線的解析式為，進而求出，則的最大值為．
本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)圖象的平移，推出拋物線的頂點坐標一定在直線上是解題的關鍵．
 10.【答案】 【解析】解：設，，
則，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
在和中，
，
，
，
把代入式并整理得，
，
，
，
．
故選：．
設，，分別用，表示出和，由，列出方程關于，的方程，再根據(jù)勾股定理，列出方程關于，的方程，兩方程聯(lián)立解出，的值，從而得到的長度．
本題主要考查了勾股定理，利用勾股定理建立方程求解是解題關鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法．
根據(jù)被開方數(shù)大于等于可知：，解得的范圍．
【解答】
解：根據(jù)題意得：，
解得，．  12.【答案】 【解析】解：點關于軸的對稱點為，
，，
．
故答案為：．
直接利用關于軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，進而得出，的值，即可得出答案．
此題主要考查了關于軸對稱點的性質，正確得出，的值是解題關鍵．
 13.【答案】 【解析】見答案．
 14.【答案】 【解析】解：是等邊三角形，
，
，，
．
故答案為：．
由三角形外角的性質得到，由三角形內角和定理，即可得到答案．
本題考查等邊三角形的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，關鍵是掌握三角形外角的性質．
 15.【答案】 【解析】解：連接，，，，
與相切于點，與相切于點，
，
四邊形是菱形，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，，
，
、、三點共線，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
由條件可以證明≌，≌推出，得到、、三點共線，由等腰三角形的性質，三角形外角的性質，推出，由直角三角形的性質，即可求出的度數(shù)，得到的度數(shù)，即可解決問題．
本題考查切線的性質，菱形的性質，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角形外角的性質，等腰三角形的性質，關鍵是由以上知識點推出；由直角三角形的性質，求出．
 16.【答案】  【解析】解：當為的中點時，
，
點也會在的中點，
，；
設，作于，作于，
，
將線段繞點逆時針旋轉得到線段，
，，
，
，
≌，
，
當時，，，

，
當時，取最小值，
；
當，，，

，
當時，取最小值，
；
根據(jù)已知條件得到，推出點也會在的中點，于是得到，；
設，作于，作于，得到，根據(jù)旋轉的性質得到，，根據(jù)全等三角形的性質得到，當時，，，當，，，根據(jù)勾股定理即可得到結論．
本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理的性質等知識，添加恰當輔助線是本題的關鍵．
 17.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
該不等式組的解集為． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
 18.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
在與中，
，
≌，
． 【解析】由“”可證≌，可得．
本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
 19.【答案】解：

；
點是反比例函數(shù)圖象上的點，
，
；
是方程的一個根，
，
，
； 【解析】利用分式的減法法則化簡即可；
由點在反比例函數(shù)圖象上，即可得出的值，代入化解后的分式中即可得出結論；
是方程的一個根，即可得出的值，代入化解后的分式中即可得出結論．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元一次方程的解，分式的運算，把分式化簡是解題的關鍵．
 20.【答案】 【解析】解：估計平均每周家務勞動時間少于小時的學生大約有人，
故答案為：；
列表如下： 男男男女女男 男，男男，男女，男女，男男男，男 男，男女，男女，男男男，男男，男 女，男女，男女男，女男，女男，女 女，女女男，女男，女男，女女，女 共有種情況，其中名男同學和名女同學的有種結果，
則恰是名男同學和名女同學的概率為．
總人數(shù)乘以樣本中平均每周家務勞動時間少于小時的學生人數(shù)所占比例即可；
列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表等知識．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 21.【答案】解：反比例函數(shù)經(jīng)過點，，
；
分別過點、作軸垂線，；

，
∽，
，
，，
，
平行四邊形中，，
點的縱坐標為，
點在反比例函數(shù)上，
，
又，
設直線解析式為：，則，
解得，
直線解析式為：，
令，，解得，
點，
，
． 【解析】根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
分別過點、作軸垂線，，通過證得∽，求得，進一步求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，即可求得點的坐標，根據(jù)三角形面積公式即可求得的面積．
本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質，三角形相似的判定和性質，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法以及求得關鍵點的坐標是解題的關鍵．
 22.【答案】解：該企業(yè)制作的第一批文化衫每件的成本是元，則該企業(yè)制作的第二批文化衫每件的成本是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意．
答：該企業(yè)制作的第一批文化衫每件的成本是元；
該企業(yè)制作的第一批文化衫數(shù)量為件，
該企業(yè)制作的第二批文化衫數(shù)量為件．
設每件文化衫標價為元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：問每件文化衫標價為元． 【解析】該企業(yè)制作的第一批文化衫每件的成本是元，則該企業(yè)制作的第二批文化衫每件的成本是元，利用數(shù)量總價單價，結合制作第二批文化衫的數(shù)量是第一批數(shù)量的倍，可得出關于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結論；
利用制作數(shù)量制作總成本制作單價，可求出該企業(yè)制作的第一、二批文化衫的數(shù)量，設每件文化衫標價為元，利用總利潤銷售單價銷售數(shù)量制作總成本，可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．
本題考查了分式方程的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程；找準等量關系，正確列出一元一次方程．
 23.【答案】解：如圖，線段即為所求；

證明：，，
又，，
，
；

解：如圖，連接，，延長至點，使得，連接，

由可得，，，
≌，
，，
，
在中，作邊上的高，則，，
，
，，，
，，
，
，
，
，
的周長． 【解析】根據(jù)要求作出圖形；
證明，可得結論；
如圖，連接，，延長至點，使得，連接，首先證明，求出，可得結論．
本題考查作圖復雜作圖，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．
 24.【答案】解：拋物線過點，
，
解得；
由知拋物線解析式為，
拋物線的對稱軸為直線，
又，
點的坐標為，
把點的坐標代入拋物線解析式得，
化簡得，
，
或，
或，
點的坐標為或；
，
，
當時，或，
拋物線過點和且拋物線開口向下，
拋物線的對稱軸為直線，
，
拋物線的解析式為，
當時，，
拋物線過點和，
，解得，
當時，拋物線解析式為，
令得，
解得或，
過點作軸垂線交拋物線于點，，
越大，拋物線開口越小，
當時，，，
在拋物線中，令，則，
解得或，
拋物線過定點和，
又點只能在點的左邊，點只能在點的右邊，
，，
或．

方法二：設，，
則，為方程的解，
根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，
設，則，，
，
，
解得或，
或，
點的坐標為或． 【解析】把點代入即可求得；
求得拋物線的對稱軸，即可得到點的坐標為，代入拋物線解析式化簡得到，分解因式得到，從而求得或，進一步求得點的坐標為或；
由可知，由于當時，或，得出拋物線過點和且拋物線開口向下，由拋物線對稱性求得對稱軸為直線，即，得到拋物線的解析式為，求得拋物線與軸的交點以及拋物線與直線的交點，結合圖象即可求得或．
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線與軸的交點，數(shù)形結合是解題的關鍵．
 25.【答案】解：，，
，
；

過點作，過點作，

，
，，
，
∽，
設，則，
為中點，
，
在中，，
，，
，
，

，
，，，
∽，
，即，
解得：，即；

如圖，連接，過點作于，過點作且，

在與中，
，，，
∽，
，
設，
由可知，
又，，
又．，
又，
∽，
，即．
．
當且僅當，，三點共線時取等號，即取得最小值．
過點作交的延長線于點，

，，
，，
，
在中，
，

即的最小值是． 【解析】根據(jù)的取值范圍，可得結論；
過點作，過點作，證明∽，設，則，利用相似三角形的性質構建方程求解；
如圖，連接，過點作于，過點作且，構造相似三角形解決問題即可．
本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．
 

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