2023年廣東省廣州市天河區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列四個(gè)選項(xiàng)中，為無(wú)理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  年月日，國(guó)務(wù)院新聞辦公室公布：截至年末全國(guó)人口總數(shù)為萬(wàn)，比上年末增加萬(wàn)人，中國(guó)人口的增長(zhǎng)逐漸緩慢，用科學(xué)記數(shù)法可表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  在輪“中國(guó)漢字聽寫大賽”選拔賽中，甲、乙兩位同學(xué)的平均分都是分，甲的成績(jī)方差是，乙的成績(jī)方差是，下列說(shuō)法正確的是(    )A. 甲的成績(jī)比乙的成績(jī)穩(wěn)定 B. 乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定
C. 甲、乙兩人的成績(jī)一樣穩(wěn)定 D. 無(wú)法確定甲、乙的成績(jī)誰(shuí)更穩(wěn)定4.  方程的解為(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  如圖，四邊形內(nèi)接于，，連接、，，則(    )A.
B.
C.
D. 7.  下列命題中，是真命題的有(    )
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；
有兩個(gè)角為的三角形一定是等邊三角形；
兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；
等腰三角形的角平分線和中線相互重合．A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)8.  已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是(    )A.  B.
C.  D. 和的大小不能確定9.  已知拋物線開口向下，且經(jīng)過(guò)第三象限的點(diǎn)，若點(diǎn)與原點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的異側(cè)，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限10.  定義：不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作，例如，按此規(guī)定，若，則的取值范圍為(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  若有意義，則的取值范圍是        ．12.  一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，底面圓半徑為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為______ ．13.  一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于，則該正多邊形的內(nèi)角和等于          度．14.  已知一根彈簧在不掛重物時(shí)長(zhǎng)，在一定的彈性限度內(nèi)，每掛重物彈簧伸長(zhǎng)則該彈簧總長(zhǎng)隨所掛物體質(zhì)量變化的函數(shù)關(guān)系式為______ ．15.  若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)在第______ 象限．16.  如圖，四邊形為矩形，，，點(diǎn)，分別為邊，上動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，分別將和沿，翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)，均落在矩形的同一條對(duì)角線上時(shí)，長(zhǎng)為______ ．三、計(jì)算題（本大題共1小題，共4.0分）17.  解方程組：．四、解答題（本大題共8小題，共68.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）18.  本小題分
如圖所示，，，，求證：≌．
19.  本小題分
某中學(xué)為了解學(xué)生每學(xué)期“誦讀經(jīng)典”的情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查了部分學(xué)生第一學(xué)期閱讀量，學(xué)校將閱讀量分成優(yōu)秀、良好、較好、一般四個(gè)等級(jí)，抽查情況如表： 等級(jí)一般較好良好優(yōu)秀閱讀量本頻數(shù)請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中提供的信息，解答下列問(wèn)題：
所抽查學(xué)生閱讀量的眾數(shù)為______ ，中位數(shù)為______ ；
樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀等級(jí)學(xué)生有人，其中僅有名男生現(xiàn)從中任選派名學(xué)生去參加讀書分享會(huì)，請(qǐng)用樹狀圖法或列表法求所選名同學(xué)中有男生的概率．20.  本小題分
某校九年級(jí)組織各班級(jí)每班人數(shù)都大于但不超過(guò)同學(xué)觀看勵(lì)志電影，由各班班長(zhǎng)負(fù)責(zé)買票，票價(jià)為每張元在詢問(wèn)買團(tuán)體票的優(yōu)惠情況時(shí)，售票員說(shuō)：“人以上的團(tuán)體票有兩個(gè)優(yōu)惠方案可選擇：方案一是全班同學(xué)打折；方案二是班級(jí)中可有人免費(fèi)，剩余同學(xué)打折”
填空：若三班班長(zhǎng)說(shuō)：“我們班無(wú)論選擇何種方案，付的錢數(shù)都是一樣的”那么，三班人數(shù)為______ ；
若二班班長(zhǎng)通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，確定二班采用方案一比較優(yōu)惠，求二班的人數(shù)．21.  本小題分
已知代數(shù)式．
化簡(jiǎn)；
若是方程的根，求的值．22.  本小題分
已知正方形中，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接和．
尺規(guī)作圖：在圖中分別作線段和的中點(diǎn)和，連接；不寫作法，不說(shuō)明理由，寫明結(jié)論并保留作圖痕跡
當(dāng)時(shí)，求中所作的線段的長(zhǎng)度．
23.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)，與軸負(fù)半軸分別相交于，兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)分別交，軸于點(diǎn)和點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸的正半軸于點(diǎn)，已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
求點(diǎn)的坐標(biāo)；
求點(diǎn)的坐標(biāo)．
24.  本小題分
已知函數(shù)和函數(shù)，其中，，為常數(shù)，且，記函數(shù)的頂點(diǎn)為．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好在函數(shù)的圖象上，求的值；
隨著的變化，點(diǎn)是否都在某一條拋物線上？如果是，求出該拋物線的解析式，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．25.  本小題分
如圖，在菱形中，，，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，，分別交直線于點(diǎn)，．
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；
設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為，當(dāng)時(shí)，求的最大值；
若以線段為邊，在的右側(cè)作等邊三角形，當(dāng)線段長(zhǎng)最小時(shí)，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.是有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.是有理數(shù)，不是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．
本題考查了無(wú)理數(shù)的定義和算術(shù)平方根，能熟記無(wú)理數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：乙的成績(jī)方差甲成績(jī)的方差，
乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定，
故選：．
根據(jù)方差的意義求解可得．
本題主要考查方差，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
 4.【答案】 【解析】解：，
方程兩邊都乘，得，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以分式方程的解是，
故選：．
方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、與不是同類項(xiàng)，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，正確，符合題意．
故選：．
分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、二次根式的加法、完全平方公式及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
本題考查的是二次根式的加減法，同底數(shù)冪的乘法法則，完全平方公式及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：連接，

，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：．
連接，由圓周角定理得到，由圓心角，弧，弦的關(guān)系得到，于是得到，即可得到答案．
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，涉及到圓周角定理，圓心角，弧，弦的關(guān)系，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓心角是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，是真命題；
有兩個(gè)角為的三角形一定是等邊三角形，是真命題；
兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故本小題說(shuō)法是假命題；
等腰三角形的頂角平分線和底邊上的中線相互重合，故本小題說(shuō)法是假命題；
故選：．
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一判斷即可．
本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
 8.【答案】 【解析】解：，
圖象位于二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，
又，
圖象在第四象限，
，
故選：．
反比例函數(shù)的系數(shù)為，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．
本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．注意：反比例函數(shù)的增減性只指在同一象限內(nèi)．
 9.【答案】 【解析】解：拋物線開口向下，且經(jīng)過(guò)第三象限的點(diǎn)，若點(diǎn)與原點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的異側(cè)，
，，
，
當(dāng)時(shí)，，
的圖象在第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限．
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以判斷、、的正負(fù)情況，從而可以得到一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限，本題得以解決．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)的思想解答．
 10.【答案】 【解析】解：由題意得，
即，
解得，
故選：．
先由題意得，再運(yùn)用解不等式組的知識(shí)進(jìn)行求解．
此題考查了無(wú)理數(shù)的估算與一元一次不等式組的求解能力．關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行正確地計(jì)算．
 11.【答案】 【解析】解：由題意得，，
．
故答案為：．
直接根據(jù)二次根式有意義的條件解答即可．
本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，
根據(jù)題意得：，
解得，
即該圓錐的母線長(zhǎng)是．
故答案為：．
設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，利用圓錐的側(cè)面積公式得到方程，然后解方程即可求解．
本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本題考查多邊形的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和定理，外角和是多邊形內(nèi)角和定理：且為整數(shù)，多邊形的外角和是，由此即可求解．
【解答】
解：正多邊形的邊數(shù)是，
正多邊形的內(nèi)角和等于．
故答案為．  14.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一次函數(shù)關(guān)系式；得到彈簧總長(zhǎng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
彈簧總長(zhǎng)掛上的重物時(shí)彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度彈簧原來(lái)的長(zhǎng)度，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】
解：每掛重物彈簧伸長(zhǎng)，
掛上的物體后，彈簧伸長(zhǎng)，
彈簧總長(zhǎng)．
故答案為．  15.【答案】四 【解析】解：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，即，
，
，，
在第四象限，
故答案為：四．
根據(jù)關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得，從而可得答案．
本題考查一元二次方程根的判別式和直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)特征，解題的關(guān)鍵是利用一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根列出關(guān)于的不等式，解得的范圍．
 16.【答案】或 【解析】解：當(dāng)點(diǎn)，均落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，如圖，

四邊形為矩形，，，
，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，
，
，，
，
；
當(dāng)點(diǎn)，均落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，如圖，交于點(diǎn)，

四邊形為矩形，，，
，，，
，
根據(jù)折疊可的性質(zhì)可得，，，
垂直平分，
，
，即，
，
在中，，
，
，
，
∽，
，即，
．
綜上，當(dāng)點(diǎn)，均落在矩形的同一條對(duì)角線上時(shí)，長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)，均落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，先根據(jù)勾股定理求出，由折疊可知，，利用可得，代入計(jì)算即可求出；當(dāng)點(diǎn)，均落在矩形的對(duì)角線上時(shí)，設(shè)交于點(diǎn)，先根據(jù)勾股定理求出，由折疊可知垂直平分，根據(jù)等面積法求出，在中，再利用勾股定理求出，則，進(jìn)而求得，易證∽，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．
本題主要考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，理解題意，學(xué)會(huì)利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
 17.【答案】解：
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
原方程組的解為． 【解析】本題考查解二元一次方程組，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
利用加減消元法解二元一次方程組．
 18.【答案】證明：，
，
即，
在和中，

≌． 【解析】已知，是公共角，從而可推出，已知，，從而可以利用來(lái)判定≌．
此題主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：，，，等，做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．
 19.【答案】   【解析】解：由表格知，所抽查學(xué)生閱讀量的眾數(shù)為，中位數(shù)為，
故答案為：，；
畫樹狀圖如下：

共有種情況，其中所選名同學(xué)中有男生的有種結(jié)果，
所選名同學(xué)中有男生的概率為．
根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；
畫樹狀圖，共有種情況，其中所選名同學(xué)中有男生的有種結(jié)果，再由概率公式即可得出答案．
此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表、眾數(shù)、平均數(shù)等知識(shí)．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 20.【答案】 【解析】解：設(shè)三班有人，根據(jù)題意得，
，
解得．
答：三班有人．
故答案為：；
設(shè)二班有人，根據(jù)題意得，
，
解得，
每班人數(shù)都大于但不超過(guò)，
二班可能是或人．
設(shè)三班有人，根據(jù)已知得出兩種方案費(fèi)用一樣，進(jìn)而列出一元一次方程求解即可；
設(shè)二班有人，根據(jù)題意列不等式進(jìn)行分析即可解答本題．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．
 21.【答案】解：


；
是方程的根，
，
． 【解析】先進(jìn)行同分母的減法運(yùn)算，再約分和進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，然后合并即可；
根據(jù)一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了分式的加減法．
 22.【答案】解：圖形如圖所示：


設(shè)，則．
，，，
，
負(fù)根已經(jīng)舍去，
，
，，
． 【解析】連接交于點(diǎn)，作平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)，即為所求；
利用三角形中位線定理求出，可得結(jié)論．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
 23.【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，
則．
又，，
≌，
，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
易得，，
，
用勾股定理可得：
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的解析式為：則得，
解
直線的解析式為：，
當(dāng)，即，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解析】如圖中，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由≌，推出，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為求得直線的解析式為，解方程即可得到結(jié)論．
本題考查了切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)．解題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
 24.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
，
解得：；
，
，
設(shè)，則，
，
點(diǎn)是在拋物線上運(yùn)動(dòng)；
，
，
整理得：，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，總有，
小于的最小值，
． 【解析】把代入得，則，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中即可求解；
將函數(shù)化為頂點(diǎn)式得，在，設(shè)，則，將其代入中即可求解；
由可得，化簡(jiǎn)得，根據(jù)總有可得小于的最小值，以此即可求解
本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、利用換元法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與不等式，會(huì)將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵．
 25.【答案】解：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，

四邊形是菱形，，，
，
，
，
，
；
時(shí)，如圖，

，，，
，
，，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為；
當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

，，
，
，，
，，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為；
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為；
如圖，

為等邊三角形，
，
在中，，
為定值，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，
當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)最小，
過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，，，
四邊形為矩形，
，，
，，
，
，
，
，
當(dāng)線段長(zhǎng)最小時(shí)，的值為． 【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)可得出答案；
分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式可得出答案；
連接，由直角三角形的性質(zhì)得出為定值，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，求出的長(zhǎng)，則可得出答案．
本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，正確進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
 

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