2023年山東省淄博市淄川區(qū)中考數(shù)學二模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  計算的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列運算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖，是由個大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，若從標有，，，的四個小正方體中取走一個后，余下幾何體與原幾何體的主視圖相同，則取走的正方體是(    )A.
B.
C.
D. 4.  如圖，直線，直線與直線，都相交，從，，，這四個角中任意選取個角，則所選取的角與互為補角的概率是(    )A.
B.
C.
D. 5.  如圖，現(xiàn)有類，類正方形卡片和類長方形卡片若干張，若要拼成一個長為，寬為的長方形，則需要類卡片(    )

 A. 張 B. 張 C. 張 D. 張6.  我市某九年一貫制學校共有學生人，計劃一年后初中在校生增加，小學在校生增加，這樣全校在校生將增加，設(shè)這所學?，F(xiàn)初中在校生人，小學在校生人，由題意可列方程組(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，≌，點在上，，，，四點在同一條直線上若，，則下列結(jié)論正確的是(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，8.  若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 9.  我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖，后人稱其為趙爽弦圖如圖圖為小明同學根據(jù)弦圖思路設(shè)計的在正方形中，以點為圓心，為半徑作，再以為直徑作半圓交于點，若邊長，則的面積為(    )

 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，在矩形中，點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度勻速運動到點，點沿的順序勻速運動，速度為每秒個單位長度，當點運動到點時，、同時停止運動，設(shè)點出發(fā)秒時，的面積為，如果與的函數(shù)關(guān)系如圖所示其中和段為拋物線，段為線段，那么下列說法不正確的是(    )

 A. 當點運動到點時，點也運動到點
B. 矩形的周長是
C. 當時，
D. 當時，二、填空題（本大題共5小題，共20.0分）11.  寫出一個成語所描述的事件是必然事件：______ ．12.  若二次根式是最簡二次根式，則可取的最小整數(shù)是______ ．13.  已知恰好能寫成一個二項式的平方，則的值是______ ．14.  如圖，將長方形沿折疊，使點落在點處，交于點若，則的度數(shù)為______．
 15.  在平面直角坐標系中，點位于原點，第秒鐘向右移動個單位，第秒鐘向上移動個單位，第秒鐘向左移動個單位，第秒鐘向下移動個單位，第秒鐘向右移動個單位，依此類推，經(jīng)過秒鐘后，點的坐標是______．三、解答題（本大題共8小題，共90.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
當時，求代數(shù)式的值；
解方程組：．17.  本小題分
如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，與兩坐標軸分別相交于點，，過點作于點，連接．
求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
求四邊形的面積．
18.  本小題分
如圖，在中，，點在的角平分線上，且．
請利用尺規(guī)作圖在圖中按題意將圖形作完整保留作圖痕跡，不寫作法：
求證：∽，是的中點．
 
19.  本小題分
為了解某學校九年級學生每周平均課外閱讀時間的情況，隨機抽查了該學校九年級部分同學，對其每周平均課外閱讀時間進行統(tǒng)計，繪制了如下的統(tǒng)計圖和圖請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
該校抽查九年級學生的人數(shù)為______ ，圖中的值為______ ；
求統(tǒng)計的這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．
根據(jù)統(tǒng)計的樣本數(shù)據(jù)，估計該校九年級名學生中，每周平均課外閱讀時間大于的學生人數(shù)．

 20.  本小題分
如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的處駛來．已知，，，，汽車從處前行多少米，才能發(fā)現(xiàn)處的兒童結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：，，；，，
21.  本小題分
某商場將一種每件成本價為元的商品連續(xù)加價兩次后，以每件元為定價售出，已知第二次加價的增長率比第一次加價的增長率多．
求第一次加價的增長率；
該商場在試銷中發(fā)現(xiàn)，如果以定價售出，則每天可售出個，如果銷售單價每降低元，銷售量就可以增加件，那么當銷售單價為多少元時，該商場每天銷售該商品獲得的利潤最大？最大利潤是多少？22.  本小題分
如圖，是的直徑，，為上位于異側(cè)的兩點，連接并延長至點，使得，連接交于點，連接，，．
求證：；
若，求的度數(shù)；
設(shè)交于點，若，，，求的值．
23.  本小題分
如圖，拋物線交軸于點，，交軸于點，動直線：經(jīng)過點，交軸于點，與拋物線另一交點為．
若點的坐標為，求拋物線的解析式；
如圖，點為軸上一動點不與點重合，連接，，，求的值；
如圖，連接，，，分別是，的中點，交軸于點，則當為何值時，與相似？



答案和解析 1.【答案】 【解析】解：原式，
故A正確．
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．
本題考查二次根式的性質(zhì)，熟記二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
B、與不是同類項，不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
C、，原計算正確，故此選項符合題意；
D、，原計算錯誤，故此選項不符合題意．
故選：．
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、合并同類項、冪的乘方和積的乘方、同底數(shù)冪的除法的運算法則分別求出每個式子的值，再判斷即可．
此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法、合并同類項、冪的乘方和積的乘方、同底數(shù)冪的除法，正確掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：原幾何體的主視圖是：

故取走的正方體是．
故選：．
根據(jù)題意得到原幾何體的主視圖，結(jié)合主視圖選擇．
本題考查了簡單組合體的三視圖．視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
與互補的角有，，
一共有個角，每個角被選取的概率相同，
從，，，這四個角中任意選取個角，則所選取的角與互為補角的概率是，
故選：．
先求出，，，這四個角中與互補的角的個數(shù)，再根據(jù)概率計算公式求解即可．
本題主要考查了簡單的概率計算，平行線的性質(zhì)，補角的定義，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：．
需要、、類卡片的張數(shù)分別為：，，．
故選：．
拼成的大長方形的面積是，即需要個邊長為的正方形，個邊長為的正方形和個類卡片．
本題考查了多項式乘多項式的運算，需要熟練掌握運算法則并靈活運用，利用各個面積之和等于總的面積比較關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：由題意可得，
或，
故選：．
根據(jù)題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以解答本題．
本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的二元一次方程組．
 7.【答案】 【解析】解：≌，
，，，，，，
，，
，
，
，
，
，故B，D錯誤，不符合題意；
，
得不出，故C正確，符合題意；
得不出，故A錯誤，不符合題意．
故選：．
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應邊相等好對應角相等解答即可．
此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應邊相等好對應角相等得出邊角關(guān)系解答．
 8.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
，，
，
故選：．
先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計算．
本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能靈活運用以上知識點是本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：取的中點，連接、、，
由題意可得，，，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，，，
，
，
解得，，
的面積為：，
故選：．
根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可以得到和的值，從而可以求得的面積．
本題考查圓的有關(guān)計算、勾股定理、正方形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 10.【答案】 【解析】解：由圖可知，，，，
到時，點和點同時運動到點，故A選項正確，不符合題意；
矩形的周長為，故B選項錯誤，符合題意；
當時，如圖，

，故C選項正確，不符合題意；
當時，點在上，如圖，

此時，，
，故D選項正確，不符合、題意．
故選：．
由圖可知，，，，到時，點和點同時運動到點，矩形的周長為，當時，，當時，點在上，，由此可判斷每個選項，進而得出結(jié)論．
本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖判斷出點到達點時點到達點是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．
 11.【答案】甕中捉鱉 【解析】解：描述的事件是必然事件的成語是：甕中捉鱉．
必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．根據(jù)概念結(jié)合著成語的意思來寫．
解決本題需要正確理解必然事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．
 12.【答案】 【解析】解：二次根式是最簡二次根式，
，
，
，
取整數(shù)值，
當時，二次根式為，不是最簡二次根式，不合題意；
當時，二次根式為，是最簡二次根式，符合題意；
若二次根式是最簡二次根式，則可取的最小整數(shù)是．
故答案為：．
根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可．
本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟記定義是解答此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：由于恰好能寫成一個二項式的平方，
即．
故．
原式
．
代入得原式．
故答案為：．
根據(jù)完全平方公式即可求出的值，化簡原式代入的值即可求得．
本題考查完全平方公式，單項式的除法，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
由折疊的性質(zhì)可得，，
，
，
，
．
故答案為：．
由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和和鄰補角定義可得，根據(jù)對頂角相等即可得出答案．
本題主要考查了平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：觀察圖形可知經(jīng)過秒鐘后，點在第四象限的直線上，

余，
的橫坐標為，
，
．
故答案為．
畫出圖形，探究規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問題．
本題考查坐標與圖形的性質(zhì)、規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考中考?？碱}型．
 16.【答案】解：


，
當時，原式；
，
將代入，得：，
解得，
將代入，得，
該方程組的解是． 【解析】先化簡所求式子，再將的值代入計算即可；
根據(jù)代入消元法可以解答此方程組．
本題考查分式的化簡求值、解二元一次方程組，熟練掌握運算法則和代入消元法解一元二次方程組是解答本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：反比例函數(shù)的圖象過，
，
反比例函數(shù)的解析式為，
把點代入得，，
，
把，代入得，解得，
一次函數(shù)的解析式為；
作軸于，則，
，
． 【解析】把的坐標代入即可求得反比例函數(shù)的解析式，進而即可求得的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
利用三角形的面積以及梯形的面積即可求得．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】作法：以點為圓心，適當長為半徑作弧交于點，交于點，
分別以點、點為圓心，大于的長為半徑弧，兩弧在內(nèi)部交于點，
作射線交于點，
以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，
連接，
線段和線段就是所求的圖形．
證明：連接、，
在和中，
，
≌，
，
是的角平分線，
由作圖得，
線段、線段就是所求的圖形．
證明：，
，
平分，點在上，
，
，
，
∽．
∽，，
，
，
，
是的中點． 【解析】按照尺規(guī)作圖的要求作出圖形，并且證明是的角平分線及即可；
由，得，而，則，所以，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明∽；
由∽，得，則，所以是的中點．
此題重點考查尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，按照尺規(guī)作圖的要求正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：； 
在這組數(shù)據(jù)中小時出現(xiàn)次數(shù)最多，有次，
眾數(shù)為小時；
在這個數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為第、個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即中位數(shù)為小時；
平均數(shù)是：小時；

根據(jù)題意得：
人，
答：根據(jù)統(tǒng)計的樣本數(shù)據(jù)，估計該校九年級名學生中，每周平均課外閱讀時間大于的約有人． 【解析】解：該校抽查九年級學生的人數(shù)為：人，
，
，
故答案為：，；
見答案；
見答案．

由小時的人數(shù)及其占總?cè)藬?shù)的百分比可得總?cè)藬?shù)，用小時的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可求出；
根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)及加權(quán)平均數(shù)的定義可得答案；
用總?cè)藬?shù)乘以每周平均課外閱讀時間大于的學生人數(shù)所占的百分比即可．
本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的知識，解題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合兩個統(tǒng)計圖并找到進一步解題的有關(guān)信息．
 20.【答案】解：在中， ， ，
，
，，
∽，
，
，
，
在中，，
，
，
汽車從處前行約米，才能發(fā)現(xiàn)處的兒童． 【解析】先在中，利用勾股定理求出的長，再證明字模型相似三角形∽，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：設(shè)第一次加價的增長率為，由題意得：
，
解得：，不合題意，舍．
第一次加價的增長率為．
設(shè)當銷售單價為元件，獲得的利潤為元，由題意得：


，
，
當時，取得最大值為．
當銷售單價為元時，該商場每天銷售該商品獲得的利潤最大，最大利潤是元． 【解析】設(shè)第一次加價的增長率為，根據(jù)成本價為元的商品連續(xù)加價兩次后，以每件元為定價售出，可得關(guān)于的一元二次方程求解，并根據(jù)問題實際作出取舍；
設(shè)當銷售單價為元件，獲得的利潤為元，根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在增長率問題和銷售問題中的應用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：如圖，連接，

是的直徑，
，即，
，
垂直平分，
，
，
又，
，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
；
解：，
；
解：如圖，連接，

，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即． 【解析】直接利用圓周角定理得出，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，即可得出；利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，即可得出答案；
根據(jù)中信息可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求得；
根據(jù)，得出，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)即可求出，根據(jù)相似三角形的判定可得∽，即可得到，即可求得．
此題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，根據(jù)題意得出，的長是解題關(guān)鍵．
 23.【答案】解：拋物線交軸于點，，交軸于點，
，
解得，
拋物線的解析式為．
答：拋物線的解析式．
拋物線交軸于點，，
，
，，
，
動直線：經(jīng)過點，
，
，
動直線：，
動直線交軸于點，與拋物線另一交點為，
，，
，舍去，
，
，
，
．
答：的值為．
，
只需要再有一對角相等，則∽，
當時，，
，，，，
與不可能平行，舍去．
當時，，
，，
，
，，
，
，
如圖，過點作交于點，

，．
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
即當時，∽．
答：當時，與相似． 【解析】利用待定系數(shù)法將點，，代入求得解析式即可．
表示出拋物線和動直線的解析式，根據(jù)動直線交軸于點，與拋物線另一交點為，列出方程，求得的坐標，分別表示出和即可求解．
因為，所以只需要再有一對角相等，則∽，分情況當時，，證得與不可能平行，舍去．當時，，求出、、的坐標，作輔助線，表示出和，列出方程，求解即可．
本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的應用．
 

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