題型一 已知兩角和對(duì)邊,解三角形
例1 已知在△ABC中，c=10,A=45°，C=30°，求a、b和B.
分析 三角形的內(nèi)角和為180°是一個(gè)很重要的隱含條件,利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值是解三角形的基礎(chǔ).
題型二 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形
分析 在△ABC中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可運(yùn)用正弦定理求解，但要注意解的個(gè)數(shù)的判定.
解 由正弦定理及已知條件，得
2.△ABC中,a=3,b= ,A=60°,解此三角形.
題型三 利用正弦定理的變形判斷三角形的形狀
分析 觀察條件的特點(diǎn),其為邊角的齊次等式,可以先切化弦, 再應(yīng)用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角,后利用三角公式求解.
題型四 正弦定理與三角公式結(jié)合
分析 在解三角形的過程中，經(jīng)常會(huì)有一些三角函數(shù)的公式涉及其中，因此需先熟悉有關(guān)三角恒等變換的公式.
1. 余弦定理內(nèi)容:三角形任何一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積.即或變形為:
2. 解三角形時(shí),在△ABC中常用的基本關(guān)系式: A+B+C=π, sin(A+B)=sin C,cs(A+B)=-cs C,
題型一 已知三邊解三角形
分析 由于三邊成比例，可用另一個(gè)字母x表示三邊a、b、c，從而 可用余弦定理求角.
題型二 已知兩邊及其夾角,解三角形
分析 本題屬于已知兩邊和其夾角問題，因此可先用余弦定理求出邊c， 然后利用正弦定理求出角A和B.
題型三 用余弦定理判斷三角形的形狀
例3 在△ABC中,acs A+bcs B=ccs C,試判斷三角形的形狀.
分析 本題已知條件為邊角關(guān)系,由余弦定理統(tǒng)一成邊的關(guān)系, 從而判斷三角形的形狀.
第3課時(shí) 三角形的面積
題型一 求三角形的面積
分析 在解三角形時(shí)，有些較復(fù)雜的問題常常需要將三角形的相關(guān)知識(shí)與正弦定理、余弦定理結(jié)合使用，本題中根據(jù)條件利用兩定理求出邊和角.
題型三 已知三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求面積
例3 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A（－2,1）、B（3,－2）、C（2,5）， 求△ABC的面積S.
分析 △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)已知，用向量面積公式解此題較簡(jiǎn)捷.
3. 以A(-2,-3),B(6,3),C(-5,1)為頂點(diǎn)的三角形面積為 ( )A. 50 B. 25 C. 20 D. 15
2. 高度問題 測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題.由于底部不可到達(dá),這類問題不能 直接用解直角三角形的方法解決,但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部 到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
3. 角度問題 測(cè)量角度就是在三角形內(nèi),利用正弦定理和余弦定理求角的三角函數(shù)值, 然后求角,再根據(jù)需要求所求的角.
題型一 計(jì)算角度問題
例1（改編題）我緝私艇在A處測(cè)得某涉嫌走私船在南偏東45°方向距A處9海里的B處，正向南偏西15°方向行駛，速度為20海里/小時(shí)，如果我緝私艇以航速28海里/小時(shí)，則應(yīng)朝什么方向并用多少時(shí)間才能盡快追上這艘走私船？（精確到0.01°）
分析 有關(guān)速度合成問題，要注意“審題→畫圖→建模”.
1. 某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出求救信號(hào),我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處,并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向,以9海里/時(shí)的速度向某小島B靠攏,我海軍艦艇立即以21海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救,試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用的時(shí)間(其中方位角規(guī)定為北偏東方向).
題型二 測(cè)量高度問題
例2 飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20 250 m,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°30′,經(jīng)過150 s后又看到山頂?shù)母┙菫?1°,求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到1 m）.
題型三 測(cè)量距離問題
分析 要求出A、B之間的距離，可以在△ABC(或△ABD)中找關(guān)系.但不管在哪個(gè)三角形中，AC（BD）、BC（AD）這些量都是未知的，需要在三角形中找出合適的關(guān)系式，求出它們的值，剩下的只需解三角形了.

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6.3 解三角形

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