2023年甘肅省慶陽市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的算術平方根是(    )A.  B.  C.  D. 2.  若，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  計算：(    )A.  B.  C.  D. 4.  若直線是常數(shù)，經(jīng)過第一、第三象限，則的值可為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，是等邊的邊上的高，以點為圓心，長為半徑作弧交的延長于點，則(    )A.
B.
C.
D. 6.  方程的解為(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，將矩形紙片對折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形若，，則四邊形的面積為(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  據(jù)統(tǒng)計，數(shù)學家群體是一個長壽群體，某研究小組隨機抽取了收錄約位數(shù)學家的數(shù)學家傳略辭典中部分歲及以上的長壽數(shù)學家的年齡為樣本，對數(shù)據(jù)進行整理與分析，統(tǒng)計圖表部分數(shù)據(jù)如下，下列結論錯誤的是(    )年齡范圍歲人數(shù)人 
A. 該小組共統(tǒng)計了名數(shù)學家的年齡
B. 統(tǒng)計表中的值為
C. 長壽數(shù)學家年齡在歲的人數(shù)最多
D. 數(shù)學家傳略辭典中收錄的數(shù)學家年齡在歲的人數(shù)估計有人9.  如圖，漢代初期的淮南萬畢術是中國古代有關物理、化學的重要文獻，書中記載了我國古代學者在科學領域做過的一些探索及成就其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側；反射角等于入射角”為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡與地面的夾角(    )

 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，正方形的邊長為，為邊的中點動點從點出發(fā)沿勻速運動，運動到點時停止設點的運動路程為，線段的長為，與的函數(shù)圖象如圖所示，則點的坐標為(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  因式分解：______．12.  關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則 ______ 寫出一個滿足條件的值．13.  近年來，我國科技工作者踐行“科技強國”使命，不斷取得世界級的科技成果如由我國制的中國首臺作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號”，最大下潛深度米，填補了中國水下萬米作業(yè)型無人潛水器的空白；由我國自主研發(fā)的極目一號Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學觀測海拔最高的世界記錄如果把海平面以上米記作“米”，那么海平面以下米記作“______ ．14.  如圖，內接于，是的直徑，點是上一點，，則 ______
 15.  如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則 ______ ．
16.  如圖，我國是世界上最早制造使用水車的國家年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風情線上的標志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征如圖是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條圓的半徑長約為米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點處離開水面，逆時針旋轉上升至輪子上方處，斗口開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從處舀水轉動到處倒水所經(jīng)過的路程是______ 米結果保留

 三、解答題（本大題共11小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
解不等式組：．19.  本小題分
化簡：．20.  本小題分
年，丹麥數(shù)學家莫爾在他的著作歐幾里得作圖中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖年，意大利數(shù)學家馬斯凱羅尼又獨立發(fā)現(xiàn)此結論，并寫在他的著作圓規(guī)的幾何學中請你利用數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)的結論，完成下面的作圖題：
如圖，已知，是上一點，只用圓規(guī)將的圓周四等分按如下步驟完成，保留作圖痕跡
以點為圓心，長為半徑，自點起，在上逆時針方向順次截取；
分別以點，點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于上方點；
以點為圓心，長為半徑作弧交于，兩點即點，，，將的圓周四等分．
21.  本小題分
為傳承紅色文化，激發(fā)革命精神，增強愛國主義情感，某校組織七年級學生開展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學之旅，策劃了三條紅色線路讓學生選擇：南梁精神紅色記憶之旅華池縣；長征會師勝利之旅會寧縣；西路軍紅色征程之旅高臺縣，且每人只能選擇一條線路小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路他們準備了張不透明的卡片，正面分別寫上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，將張卡片正面向下洗勻，小亮先從中隨機抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再從中隨機抽取一張卡片．
求小亮從中隨機抽到卡片的概率；
請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片的概率．22.  本小題分
如圖，某人的一器官后面處長了一個新生物，現(xiàn)需檢測其到皮膚的距離圖為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術，檢測射線可避開器官從側面測量某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計算出新生物到皮膚的距離方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖說明如圖，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．測量數(shù)據(jù)，，請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計算新生物處到皮膚的距離結果精確到
參考數(shù)據(jù)：，，，，，23.  本小題分
某校八年級共有名學生，為了解八年級學生地理學科的學習情況，從中隨機抽取名學生的八年級上、下兩個學期期末地理成績進行整理和分析兩次測試試卷滿分均為分，難度系數(shù)相同；成績用表示，分成個等級：；；；；；下面給出了部分信息：
八年級學生上、下兩個學期期末地理成績的統(tǒng)計圖如圖：

八年級學生上學期期末地理成績在這一組的成績是：，，，，，，，，，；
八年級學生上、下兩個學期期末地理成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下： 學期平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)八年級上學期八年級下學期根據(jù)以上信息，回答下列問題：
填空： ______ ；
若為優(yōu)秀，則這名學生八年級下學期期末地理成績達到優(yōu)秀的約有______ 人；
你認為該校八年級學生的期末地理成績下學期比上學期有沒有提高？請說明理由．24.  本小題分
如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點．
求點的坐標；
用的代數(shù)式表示；
當的面積為時，求一次函數(shù)的表達式．
25.  本小題分
如圖，內接于，是的直徑，是上的一點，平分，，垂足為，與相交于點．
求證：是的切線；
當的半徑為，時，求的長．
26.  本小題分
【模型建立】
如圖，和都是等邊三角形，點關于的對稱點在邊上．
求證：；
用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由；
【模型應用】
如圖，是直角三角形，，，垂足為，點關于的對稱點在邊上用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由；
【模型遷移】
在的條件下，若，，求的值．

 27.  本小題分
如圖，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．
求拋物線的表達式；
當時，請在圖中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
如圖，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動連接，，求的最小值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的算術平方根是，
故選：．
根據(jù)算術平方根的定義即可求出答案．
本題考查算術平方根，解題的關鍵是熟練運用算術平方根的定義，本題屬于基礎題型．
 2.【答案】 【解析】解：，
．
故選：．
直接利用比例的性質，內項之積等于外項之積即可得出答案．
此題主要考查了比例的性質，正確將原式變形是解題關鍵．
 3.【答案】 【解析】解：原式
．
故選：．
直接利用單項式乘多項式運算法則化簡，再合并同類項得出答案．
．
 4.【答案】 【解析】解：直線是常數(shù)，經(jīng)過第一、第三象限，
．
故選：．
正比例函數(shù)是常數(shù)，的圖象經(jīng)過第一、三象限，則．
本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，先根據(jù)題意得出的取值范圍是解答此題的關鍵．
 5.【答案】 【解析】解：在等邊中，，
是邊上的高，
平分，
，
，
，
故選：．
根據(jù)等邊三角形的性質可得，根據(jù)等邊三角形三線合一可得，再根據(jù)作圖可知，進一步可得的度數(shù)．
本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是分式方程的解，
故原方程的解是．
故選：．
分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
本題考查了解分式方程，掌握轉化思想，把分式方程轉化為整式方程求解是關鍵．
 7.【答案】 【解析】解：如圖，設與交于點，

四邊形為矩形，
，，，
根據(jù)折疊的性質可得，，，，，
，，
，，，，，
四邊形為菱形，
．
故選：．
由折疊可知，，，，由同旁內角互補，兩直線平行得，，由平行線的性質可得，，，，，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形為菱形可知四邊形為菱形，最后利用菱形的面積公式計算即可求解．
本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、菱形的判定、菱形的面積公式，熟知折疊的性質和菱形的判定方法是解題關鍵．
 8.【答案】 【解析】解：、該小組共統(tǒng)計的人數(shù)為：人，故不符合題意；
B、統(tǒng)計表中的值為人，故不符合題意；
C、長壽數(shù)學家年齡在歲的人數(shù)為，長壽數(shù)學家年齡在歲的人數(shù)為人，所以長壽數(shù)學家年齡在歲的人數(shù)最多，故不符合題意；
D、數(shù)學家傳略辭典中收錄的數(shù)學家年齡在歲的人數(shù)估計有人，故符合題意．
故選：．
根據(jù)統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖給出的數(shù)據(jù)分別對每一項進行分析，即可得出答案．
此題考查了統(tǒng)計表和用樣本估計總體，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．從扇形圖上可以清楚地看出各部分數(shù)量和總數(shù)量之間的關系．
 9.【答案】 【解析】解：如圖，

，
，
，
，
，
，
．
故選：．
根據(jù)，得，所以，再根據(jù)，得，即可得．
本題主要考查了垂線和角的計算，解題的關鍵是熟練掌握垂線的性質等知識．
 10.【答案】 【解析】解：由題意可知，當點在邊上時，的值先減小后增大，
當點在邊上時，的值逐漸減小，
點的橫坐標為的長度，縱坐標為的長度，
，，
，
，
故選：．
根據(jù)圖確定點的橫坐標為的長度，縱坐標為的長度，然后求值即可．
本題考查動點問題的函數(shù)圖象，關鍵是根據(jù)圖確定點的坐標與正方形的邊之間的關系．
 11.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關鍵．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】
解：

．
故答案為：．  12.【答案】答案不唯一 【解析】解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
解得：．
故答案為：答案不唯一．
根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出，解之即可得出的取值范圍，任取其內的一個數(shù)即可．
本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．
 13.【答案】米 【解析】解：海平面以上米記作“米”，
海平面以下米記作“米”，
故答案為：米．
根據(jù)正數(shù)與負數(shù)的實際意義即可得出答案．
本題考查正數(shù)與負數(shù)的實際意義，正數(shù)和負數(shù)是一對具有相反意義的量，此為基礎知識點，必須熟練掌握．
 14.【答案】 【解析】解：是的直徑，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)圓周角定理和三角形的內角和定理即可得到結論．
本題考查了三角形的外接圓與外心：熟練掌握三角形的外心的定義與性質．也考查了圓周角定理．
 15.【答案】． 【解析】解：連接交于，
則，
四邊形是菱形，
，，，
，
是等邊三角形，，
，
，
，
，，
，
≌，
，
，
，
故答案為：．
連接交于，則，根據(jù)菱形的性質得到，，，求得，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．
本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
 16.【答案】 【解析】解：米．
故答案為：．
根據(jù)弧長公式直接代入數(shù)值求解．
本題主要考查了學生對弧長公式的掌握情況，難度不大，認真計算即可．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用二次根式的乘除運算法則計算，進而得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
 18.【答案】解：由得：，
由得：，
則不等式組的解集為． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】根據(jù)分式的混合運算法則，先算乘除再算加減，進而得出答案．
此題主要考查了分式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
 20.【答案】解：如圖：點、、即為所求．
 【解析】根據(jù)題中的步驟作圖．
本題考查了作圖的應用與設計，掌握圓心角、弧及弦的關系是解題的關鍵、．
 21.【答案】解：小亮從中隨機抽到卡片的概率為；
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結果，其中小亮和小剛兩人都抽到卡片的結果有種，
兩人都抽到卡片的概率是． 【解析】直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結果，其中小亮和小剛兩人都抽到卡片的結果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 22.【答案】解：過點作，垂足為，

設，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
新生物處到皮膚的距離約為． 【解析】過點作，垂足為，設，則，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而列出關于的方程，進行計算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
 23.【答案】   【解析】解：把八年級上學期名學生的地理成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為，，故中位數(shù)．
故答案為：；
人，
即這名學生八年級下學期期末地理成績達到優(yōu)秀的約有人．
故答案為：；
該校八年級學生的期末地理成績下學期比上學期有提高，理由如下：
因為該校八年級學生的期末地理成績下學期的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均比上學期大，所以該校八年級學生的期末地理成績下學期比上學期有提高．
根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值；
用乘樣本中下學期期末地理成績達到優(yōu)秀的學生所占比例即可；
比較平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)可得答案．
本題考查條形統(tǒng)計圖，樣本估計總體的思想，中位數(shù)，眾數(shù)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
 24.【答案】解：反比例函數(shù)的圖象過點，
，
點的坐標為；
一次函數(shù)的圖象過點，
，
；
的面積為，
，
，
，
，
，
一次函數(shù)的表達式是． 【解析】由反比例函數(shù)的解析式即可求得的的坐標；
把代入即可求得用的代數(shù)式表示的式子；
利用三角形面積求得的值，進一步求得的值．
本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，熟知函數(shù)圖象上點的坐標特征滿足解析式是解題的關鍵．
 25.【答案】證明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是圓的半徑，
是的切線；
解：是的直徑，
，
，
，
，
，
，
解得：，
． 【解析】根據(jù)“過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線”進行證明；
根據(jù)三角函數(shù)的意義及勾股定理求解．
本題考查了切線的判定和性質，掌握三角函數(shù)的意義及勾股定理是解題的關鍵．
 26.【答案】證明：和都是等邊三角形，
，，，
，
≌，
；
解：．
理由如下：
是等邊三角形，
，
點與點關于對稱，
，
，
；
．
理由如下：
如圖，過點作于，

點與點關于對稱，
，
又，
，
又，
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即：．
解：如圖，過點作于，

又，
是等腰直角三角形，
又，
，，
，，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：，
． 【解析】根據(jù)和都是等邊三角形推出判定和全等，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得證；
根據(jù)等邊三角形的性質和對稱的性質即可推出線段，，的數(shù)量關系；
過點作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質推出判定∽，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質和對稱性即可推出線段，，的數(shù)量關系；
過點作于，推出是等腰直角三角形，求出、、的長后即可求出的值．
本題是幾何變換綜合題，主要考查等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及勾股定理，深入理解題意是解決問題的關鍵．
 27.【答案】解：拋物線過點，
，
，
．
答：拋物線的表達式為．
四邊形是平行四邊形，理由如下：
如圖，作交軸于點，連接、，

點在上，
，，
連接，
，
．
，
，
，
當時，，
，
，
，
，
軸，軸，
，
四邊形是平行四邊形．
如圖，由題意得，，連接，

在上方作，使得，，
，，
，
，
，，，
≌，
，
當，，三點共線時最短，
的最小值為，
，
，
即的最小值為．
答：的最小值為． 【解析】利用待定系數(shù)法將點坐標代入拋物線中，即可求解．
作輔助線，根據(jù)題意，求出的長，，，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證．
作出圖，證明≌，的最小值為，根據(jù)勾股定理求出即可解答．
本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形解決問題．
 

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