動態(tài)平衡問題　平衡中的臨界、極值問題
1.學(xué)會用圖解法、解析法等解決動態(tài)平衡問題.2.會分析平衡中的臨界與極值問題.
題型二　平衡中的臨界、極值問題
1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).2.做題流程
3.常用方法(1)圖解法此法常用于定性分析三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況.(2)解析法對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程或根據(jù)相似三角形、正弦定理，得到因變量與自變量的函數(shù)表達式(通常為三角函數(shù)關(guān)系)，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.
1.一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形，分析力的大小變化，如圖甲所示.2.一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化，在變化過程中恒力之外的兩力垂直時，會有極值出現(xiàn)，如圖乙所示.
考向1　“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題
例1　(多選)如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A物體的半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).設(shè)墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變化情況分別是A.F1減小 B.F1增大C.F2增大 D.F2減小
以球B為研究對象，受力分析如圖所示，可得出F1＝Gtan θ，F(xiàn)2＝ ，當(dāng)A向右移動少許后，θ減小，則F1減小，F(xiàn)2減小，故A、D正確.
例2　(多選)如圖所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中A.斜面對球的支持力逐漸增大B.斜面對球的支持力逐漸減小C.擋板對小球的彈力先減小后增大D.擋板對小球的彈力先增大后減小
對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和擋板的彈力FN2，如圖，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)N1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個不同位置力的受力分析圖，
由圖看出，斜面對小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對小球的彈力FN2先減小后增大，當(dāng)FN1和FN2垂直時，彈力FN2最小，故選項B、C正確，A、D錯誤.
1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構(gòu)成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實際幾何三角形相似，則對應(yīng)邊比值相等.基本矢量圖，如圖所示
考向2　“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題
例3　(2023·寧夏銀川一中檢測)如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細棒中心為O點，O1為光滑鉸鏈，O2為光滑定滑輪，且O2在O1正上方，細繩跨過O2與O連接，水平外力F作用于細繩的一端.用FN表示鉸鏈對桿的作用力，現(xiàn)在水平外力F作用下，θ從 緩慢減小到0的過程中，下列說法正確的是A.F逐漸變小，F(xiàn)N大小不變B.F逐漸變小，F(xiàn)N逐漸變大C.F先變小再變大，F(xiàn)N逐漸變小D.F先變小再變大，F(xiàn)N逐漸變大
受力分析如圖所示，力三角形與幾何三角形(△O2OO1)相似，則有 ，因為O2O1、OO1長度不變，故FN大小不變，OO2長度變短，故F變小，故A正確，B、C、D錯誤.
2.一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不變，結(jié)合正弦定理列式求解，也可以作出動態(tài)圓，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化.基本矢量圖，如圖所示
例4　(多選)如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N.初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α＞ ).現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變.在OM由豎直被拉到水平的過程中A.MN上的張力逐漸增大B.MN上的張力先增大后減小C.OM上的張力逐漸增大D.OM上的張力先增大后減小
以重物為研究對象分析受力情況，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題意知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F(xiàn)1、F2的夾角不變，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯誤.
一力恒定，另外兩力方向均變化時常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用兩力夾角不變作出動態(tài)圓，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化.
考向3　“活結(jié)”的動態(tài)分析
例5　如圖所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑滑輪懸掛一重物G.現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近(C點與A點等高).則在此過程中繩中拉力A.先變大后不變B.先變大后變小C.先變小后不變D.先變小后變大
對滑輪受力分析如圖甲所示，由于跨過滑輪的繩子拉力一定相等，即F1＝F2，由幾何關(guān)系易知繩子拉力方向與豎直方向夾角相等，設(shè)為θ，可知
其中d為兩端點間的水平距離，由B點向C點移動過程中，d先變大后不變，因此θ先變大后不變，由①式可知繩中拉力先變大后不變，故A正確.
平衡中的臨界、極值問題
1.臨界問題當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等.臨界問題常見的種類：(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0.
2.極值問題平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.3.解題方法(1)極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小.
(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值).(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值.
例6　如圖所示，物體的質(zhì)量為m＝5 kg，兩根輕細繩AB和AC的一端固定于豎直墻上，另一端系于物體上(∠BAC＝θ＝60°)，在物體上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，若要使兩繩都能伸直，求拉力F的大小范圍.(g取10 m/s2)
設(shè)AB繩的拉力為F1，AC繩的拉力為F2，對物體受力分析，由平衡條件有Fcs θ－F2－F1cs θ＝0，F(xiàn)sin θ＋F1sin θ－mg＝0，
若要使兩繩都能伸直，則有F1≥0，F(xiàn)2≥0，
例7　如圖所示，質(zhì)量m＝5.2 kg的金屬塊放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做勻速直線運動.已知金屬塊與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值.
1.如圖所示，在水平放置的木棒上的M、N兩點，系著一根不可伸長的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環(huán).現(xiàn)將木棒繞其左端逆時針緩慢轉(zhuǎn)動一個小角度，則關(guān)于輕繩對M、N兩點的拉力F1、F2的變化情況，下列判斷正確的是A.F1和F2都變大 B.F1變大，F(xiàn)2變小C.F1和F2都變小 D.F1變小，F(xiàn)2變大
由于是一根不可伸長的柔軟輕繩，所以繩子的拉力大小相等.木棒繞其左端逆時針緩慢轉(zhuǎn)動一個小角度后，繩子之間的夾角變小，繩對小金屬環(huán)的合力大小等于小金屬環(huán)的重力大小，保持不變，所以繩子上的拉力變小，選項C正確，A、B、D錯誤.
2.(2023·山東煙臺市高三模擬)如圖所示，用一個質(zhì)量不計的網(wǎng)兜把足球掛在光滑豎直墻壁上的A點，足球與墻壁的接觸點為B.若只增大懸繩的長度，足球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，關(guān)于懸繩對球的拉力F和墻壁對球的支持力FN，下列說法正確的是A.F和FN都增大B.F增大，F(xiàn)N減小C.F減小，F(xiàn)N增大D.F和FN的合力不變
對球受力分析，由平衡條件得懸繩對球的拉力滿足Fcs θ＝mg，墻壁對球的支持力滿足tan θ＝ ，所以當(dāng)增大懸繩的長度時，夾角θ減小，則由幾何關(guān)系知cs θ增大，tan θ減小，所以F和FN都減小，故A、B、C錯誤；因為足球始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，所以F和FN的合力始終與mg等大反向，故D正確.
3.如圖所示，輕繩PQ能承受的最大張力為80 N，現(xiàn)用它懸掛一質(zhì)量為4 kg的物體，然后在輕繩的中點O施加一水平向左的力F，使中點O緩慢向左移動，已知重力加速度g＝10 m/s2，則當(dāng)輕繩斷裂瞬間，繩的PO段與豎直方向的夾角為A.30° B.45°C.53° D.60°
設(shè)當(dāng)輕繩斷裂瞬間，繩的PO段與豎直方向的夾角為θ，由平衡條件可得cs θ＝，解得θ＝60°，D正確.
4.(2023·廣東汕尾市高三月考)新疆是我國最大的產(chǎn)棉區(qū)，在新疆超出70%棉田都是通過機械自動化采收，自動采棉機能夠在采摘棉花的同時將棉花打包成圓柱形棉包，通過采棉機后側(cè)可以旋轉(zhuǎn)的支架平穩(wěn)將其放下，放下棉包的過程可以簡化為如圖所示模型，質(zhì)量為m的棉包放在“V”型擋板上，兩板間夾角為120°固定不變，“V”型擋板可繞P軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動.初始時BP板水平，在使BP板逆時針緩慢轉(zhuǎn)動60°的過程中，忽略“V”型擋板對棉包的摩擦力，下列說法正確的是
A.BP板水平時，棉包受到兩個力的作用B.當(dāng)BP板轉(zhuǎn)過60°，AP板水平時，棉包受到三個力　的作用C.當(dāng)BP板轉(zhuǎn)過30°時，棉包對AP板和BP板的作用力大小不相等D.在轉(zhuǎn)動過程中棉包對BP板的壓力不變
BP板水平時或AP板水平時棉包都只受到重力和支持力兩個力作用，故A正確，B錯誤；當(dāng)BP板轉(zhuǎn)過30°時，兩板與水平方向夾角相等，由對稱性知，棉包對AP板和BP板的作用力大小相等，故C錯誤；在轉(zhuǎn)動過程中棉包對BP板的壓力減小，故D錯誤.
5.(多選)(2023·湖南岳陽市十四中高三檢測)如圖所示，水平面和豎直面構(gòu)成的垂直墻角處有一個截面為半圓的光滑柱體，用細線拉住的小球靜止靠在半圓柱體的P點(P點靠近底端).通過細線將小球從P點緩慢向上拉至半圓柱體的最高點，細線方向始終保持與半圓相切.此過程中A.細線對小球的拉力逐漸減小B.圓柱體對小球的支持力逐漸減小C.水平地面對圓柱體的支持力逐漸減小D.圓柱體對豎直墻面的壓力先增大后減小
對小球進行受力分析，如圖所示根據(jù)平衡條件有FN1＝mgcs θ，F(xiàn)T＝mgsin θ，當(dāng)細線將小球從P點緩慢向上拉至半圓柱體的最高點過程中，θ逐漸減小，則細線對小球的拉力FT逐漸減小，圓柱體對小球的支持力FN1逐漸增大，A正確，B錯誤；
對圓柱體與小球整體分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件有FN3＝FTcs θ＝ mgsin 2θ，F(xiàn)Tsin θ＋FN2＝(M＋m)g，當(dāng)細線將小球從P點緩慢向上拉至半圓柱體的最高點過程中，θ在0～ 范圍內(nèi)變化，θ逐漸減小，故FN2逐漸增大，F(xiàn)N3先增大后減小，C錯誤、D正確.
6.(2023·寧夏六盤山高級中學(xué)模擬)如圖所示，某健身者右手拉著抓把沿圖示位置B水平緩慢移動到位置A，不計繩子質(zhì)量，忽略繩子和重物與所有構(gòu)件間的摩擦，A、B、重物共面，則重物上升過程中A.繩子的拉力逐漸增大B.該健身者所受合力逐漸減小C.該健身者對地面的壓力逐漸減小D.該健身者對地面的摩擦力逐漸增大
由題意可知，重物和健身者一直處于動態(tài)平衡狀態(tài)，由平衡條件可知，健身者所受合力等于零，繩上的拉力大小不變，其大小等于重物的重力mg，A、B錯誤；對健身者受力分析，如圖所示，由平衡條件可知，在豎直方向，則有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，
可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，則有FTcs θ＝Ff，當(dāng)從B水平緩慢移到A時，θ角逐漸變小，地面對健身者的支持力逐漸變大，地面對健身者的摩擦力逐漸變大，由牛頓第三定律可知，健身者對地面的壓力逐漸增大，健身者對地面的摩擦力逐漸增大，C錯誤，D正確.
7.(2023·云南昆明市檢測)如圖所示，兩質(zhì)量均為m的小球a、b(均可看成質(zhì)點)固定在輕桿兩端，用兩條與輕桿等長的細線懸掛在O點，整個系統(tǒng)靜止時，細線和輕桿構(gòu)成正三角形，用力F緩慢拉動小球b，保持兩細線繃緊，最終使連接a球的細線豎直，重力加速度大小為g，則連接a球的細線豎直時，力F的最小值是
末狀態(tài)時，左邊小球a在最低點，細線Oa處于豎直方向，小球a處于平衡狀態(tài)，合外力沿水平方向的分量為零，則此時輕桿上的彈力為零，故右側(cè)小球b受到重力、細線Ob的拉力和力F作用
處于平衡狀態(tài)，如圖所示，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)拉力F方向與Ob垂直時拉力F最小，可得最小拉力Fmin＝mgsin 60°＝ mg，選項B正確，A、C、D錯誤.
8.如圖所示為一簡易起重裝置，AC是上端帶有滑輪的固定支架，BC為質(zhì)量不計的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質(zhì)量為m的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚機上.開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°(不計一切阻力).在此過程中，桿BC所產(chǎn)生的彈力A.大小不變 B.逐漸增大C.先增大后減小 D.先減小后增大
以結(jié)點B為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據(jù)平衡條件知，F(xiàn)、FN的合力F合與G大小相等、方向相反.
∠BCA緩慢變小的過程中，AB變小，而AC、BC不變，則F變小，F(xiàn)N不變，故桿BC所產(chǎn)生的彈力大小不變，故選A.
9.(2023·河北邯鄲市模擬)如圖所示，置于水平地面的木板上安裝有豎直桿，在桿上A、B兩點間安裝長為2d的輕繩，兩豎直桿間距為d.A、B兩點間的高度差為 ，現(xiàn)有帶光滑輕質(zhì)鉤子、質(zhì)量為m的物體鉤住輕繩且處于平衡狀態(tài)，重力加速度為g.下列說法正確的是A.開始平衡時輕繩的張力大小為mgB.開始平衡時輕繩的張力大小為C.若將繩子的A端沿豎直桿上移，繩子拉力將變大D.若將木板繞水平軸CD緩慢向紙面外旋轉(zhuǎn)，輕繩的張力先增大后減小
將繩子的A端沿豎直桿上移或?qū)⒛景謇@水平軸CD緩慢向紙面外旋轉(zhuǎn)，由A、B中分析可知，由于A、B兩點的水平間距不變，左右兩部分與水平方向夾角不變，所以繩子拉力大小不變，C、D錯誤.
10.(2023·河北唐山市模擬)北方農(nóng)村秋冬季節(jié)常用金屬絲網(wǎng)圍成圓柱形糧倉儲存玉米棒，某糧倉由于玉米棒裝的不勻稱而發(fā)生傾斜現(xiàn)象，為避免傾倒，在左側(cè)用木棍支撐，如圖所示.若支撐點距水平地面的高度為 m，木棍與水平地面間的動摩擦因數(shù)為 ，木棍重力不計，糧倉對木棍的作用力沿木棍方向，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，為使木棍下端不發(fā)生側(cè)滑，則木棍的長度最大為
設(shè)木棍與水平方向夾角為θ，木棍長度為L，糧倉對木棍的作用力大小為F，則為使木棍下端一定不發(fā)生側(cè)滑，由平衡條件有Fcs θ≤μFsin θ，由幾何知識有tan θ＝ ，兩式聯(lián)立解得L≤2 m，即木棍的長度最大為2 m，故A、B、D錯誤，C正確.
11.(多選)如圖所示，一光滑的輕滑輪用細繩OO′懸掛于O點；另一細繩跨過滑輪，其一端懸掛質(zhì)量為m的物塊A，另一端系一位于固定光滑斜面上且質(zhì)量為2m的物塊B，斜面傾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物塊B，使物塊B由滑輪正下方位置緩慢運動到和滑輪等高的位置，則A.細繩OO′的拉力先減小后增大B.細繩對物塊B的拉力大小不變C.斜面對物塊B的支持力先減小后增大D.外力F逐漸變大
由題可知，物塊緩慢移動，整體處于動態(tài)平衡狀態(tài)，則繩OO′的拉力大小等于下面繩對A的拉力和繩對B的拉力的合力大小，由于繩對A的拉力和繩對B的拉力大小相等，都等于A物塊的重力的大小，但是由于
B物塊上移，導(dǎo)致二者之間的夾角變大，則根據(jù)平行四邊形定則可知合力變小，即繩OO′的拉力逐漸減小，故A錯誤，B正確；
對物塊B受力分析如圖所示，當(dāng)物塊B上移時，α先減小后增大，在垂直斜面方向根據(jù)平衡條件可知，斜面對物塊B的支持力先減小后增大，在沿斜面方向根據(jù)平衡條件可知，外力F逐漸變大，故C、D正確.
12.(2020·山東卷·8)如圖所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行.A與B間、B與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.當(dāng)木板與水平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為
A、B剛要滑動時受力平衡，受力如圖所示.對A：FT＝mgsin 45°＋μmgcs 45°對B：2mgsin 45°＝FT＋3μmgcs 45°＋μmgcs 45°
13.(多選)如圖，傾角為30°的斜面體放置于粗糙水平地面上，物塊A通過跨過光滑定滑輪的柔軟輕繩與小球B連接，O點為輕繩與定滑輪的接觸點.初始時，小球B在水平向右的拉力F作用下，使輕繩OB段與水平拉力F的夾角θ＝120°，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)將小球向右上方緩慢拉起，并保持夾角θ不變，從初始到輕繩OB段水平的過程中，斜面體與物塊A均保持靜止不動，則在此過程中A.拉力F逐漸增大B.輕繩上的張力先增大后減小C.地面對斜面體的支持力逐漸增大D.地面對斜面體的摩擦力先增大后減小
小球B受重力mg、輕繩OB的拉力FT和拉力F，由題意可知，三個力的合力始終為零，矢量三角形如圖所示，在FT轉(zhuǎn)至水平的過程中，輕繩OB的拉力FT逐漸減小，拉力F逐漸增大，故選項A正確，B錯誤；
整體(含斜面體，物塊A和小球B)受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四個力的作用，根據(jù)對小球的受力分析可知，拉力F的豎直方向分力逐漸增大，水平方向分力先增大后減小，所以地面對斜面體的支持力逐漸減小，地面對斜面體的摩擦力先增大后減小，故選項C錯誤，D正確.

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