2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若角的終邊上有一點(diǎn)，則的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用三角函數(shù)定義建立等量關(guān)系，結(jié)合公式求解．【詳解】設(shè)，由題意，因?yàn)?/span>，所以，所以．故選：B.2．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得答案.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中畫出的圖象如下：所以．故選：A．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在單位圓上，且點(diǎn)在第一象限，橫坐標(biāo)是，將點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)射線對(duì)應(yīng)的角為，利用任意角的三角函數(shù)的定義求得、，再利用誘導(dǎo)公式求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的值．【詳解】解：點(diǎn)，在單位圓上，且點(diǎn)在第一象限，設(shè)射線對(duì)應(yīng)的角為，橫坐標(biāo)是，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則射線對(duì)應(yīng)的終邊對(duì)應(yīng)的角為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：C．4．若一個(gè)角的終邊上有一點(diǎn)且，則的值為(　　)A． B． C．－4或 D．【答案】C【詳解】試題分析：由已知，得，解得或，故選C．【解析】利用定義求三角函數(shù)的值．5．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用誘導(dǎo)公式得到，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：.6．若函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下： 那么方程的一個(gè)近似根（精確度0.1）為（    ）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5【答案】B【分析】根據(jù)二分法求零點(diǎn)的步驟以及精確度可求得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以不滿足精確度；因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以不滿足精確度；因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以不滿足精確度；因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以滿足精確度；所以方程的一個(gè)近似根（精確度）是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值（包括端點(diǎn)值），根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知選B .故選：B7．已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】觀察可發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，所以將變形為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可【詳解】令，，所以為奇函數(shù)，不等式，等價(jià)于，即，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>均為減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，為減函數(shù)，則，解得： 故選：B【點(diǎn)睛】題目比較靈活，考察單調(diào)性和奇偶性結(jié)合的問題，對(duì)學(xué)生要求比較高，不可直接計(jì)算，需要熟悉類型的函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，根據(jù)這兩個(gè)性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，從而解決問題8．已知函數(shù)，若（其中．），則的最小值為（    ）．A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，利用均值不等式求最值即可.【詳解】,由，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：B 二、多選題9．已知，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的值可能是（    ）A．8 B．C． D．【答案】CD【分析】求出，令，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)集合的包含關(guān)系和充分條件的定義可得答案.【詳解】，令，若，則或，解得或，結(jié)合選項(xiàng)，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的值可能是.故選：CD.10．下列結(jié)論正確的是（   ）A．是第三象限角 B．若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為C．若角為銳角，則角為鈍角 D．若角的終邊過點(diǎn)，則【答案】BD【分析】將化為，即可判斷是第二象限角，判斷A；根據(jù)弧長以及扇形面積公式可判斷B；舉反例判斷C；根據(jù)三角函數(shù)的定義可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，故是第二象限角，A錯(cuò)誤；圓心角為的扇形的弧長為，則扇形的半徑為，故扇形面積為，B正確；若角為銳角，不妨取，則角為銳角，C錯(cuò)誤；角的終邊過點(diǎn)，則,則，D正確，故選：11．已知，則（    ）A．當(dāng)時(shí)，上式的值為 B．當(dāng)時(shí)，上式的值為C．當(dāng)時(shí)，上式的值為 D．當(dāng)時(shí)，上式的值為【答案】ABD【解析】先利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知條件化簡，再分別檢驗(yàn)四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)時(shí)，原式，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，原式，，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，原式，故選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，原式，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD12．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則下列四個(gè)命題中正確的是（    ）A．B．直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．函數(shù)在區(qū)間上存在2個(gè)零點(diǎn)D．若在區(qū)間上的根為，則【答案】ABD【分析】利用賦值法及偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性、對(duì)稱性及單調(diào)性即可求解.【詳解】令，得，則，又函數(shù)是偶函數(shù)，故，故A正確；根據(jù)A可得，所以，又，所以，故直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；由的周期為4，，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，可得函數(shù)在區(qū)間上存在3個(gè)零點(diǎn)，故C不正確；易得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，即，故D正確．故選：ABD. 三、填空題13．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【分析】由零點(diǎn)的存在性定理求解即可【詳解】因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，且有零點(diǎn)，所以，解得，故答案為：14．已知函數(shù)，且，則_________．【答案】【分析】利用，再根據(jù)，即可得到答案；【詳解】，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.15．使等式成立的角的集合為______.【答案】【分析】先由題意得到，進(jìn)而得到或，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以解得或，則或，所以角的集合為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.16．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)t，使的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)，解得，，討論和兩種情況，計(jì)算最值得到答案.【詳解】根據(jù)題意知，解得，，解得；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，在上的最大值為，不成立；當(dāng)時(shí)，取，故在上的值域?yàn)?/span>，在上的滿足，，，故滿足條件；綜上所述：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)值域求參數(shù)范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力. 四、解答題17．在與530°角終邊相同的角中，找出滿足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）寫出與530°角終邊相同的角為，，再根據(jù)，即可的解；（2）根據(jù)，即可的解；（3）根據(jù)，即可的解.【詳解】（1）解：與530°角終邊相同的角為，，由且，可得，故所求的最大負(fù)角；（2）解：由且，可得，故所求的最小正角；（3）解：由且，可得，故所求的角．18．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?/span>的定義域?yàn)榧?/span>．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出集合A，B，根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解即可；（2）由必要條件轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，建立不等式求解即可.【詳解】（1）由，解得或，所以．．當(dāng)時(shí)，由，即，解得，所以．所以．（2）由（1）知，．由，即，解得，所以．因?yàn)?/span>“”是“”的必要條件，所以．所以，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．已知f (α)＝.（1）化簡f(α)；（2）若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；（3）若α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可.（2）由（1）可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：將式子平方即可求解.（3）由（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可求解.【詳解】（1）由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.（2）由，即，又由，因?yàn)?/span>，可得，所以.（3）由，可得.20．已知函數(shù).(Ⅰ)證明：當(dāng)變化，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過定點(diǎn)； (Ⅱ)當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，求（用表示）； (Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，是否存在正整數(shù)，使得不等式在區(qū)間上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）；(Ⅲ) .【分析】(Ⅰ)令2x-3=1得x=2,即得定點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即得定點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)先求出，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算運(yùn)算法則求；(Ⅲ)化為在區(qū)間上有解，令，求得解.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，不論取何值，都有故函數(shù)的圖象恒經(jīng)過定點(diǎn)； (Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，，.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，不等式化為即在區(qū)間上有解； 令，則，，，，又是正整數(shù)，故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，對(duì)稱軸為，方程有兩相等實(shí)根.（1）求的解析式；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，由已知條件得出方程即可求出系數(shù)；（2）令，分離參數(shù)，即可求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值，得出所求；（3）題目可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)正實(shí)根，討論和兩種情況可求出.【詳解】（1）設(shè)（），的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，，對(duì)稱軸為，①，有兩相等實(shí)根，②，由①②可得，；（2）由題可得對(duì)任意恒成立，令，則，則對(duì)任意恒成立，可得當(dāng)時(shí)，取得最大值為2，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則只有一個(gè)根，即只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則，則有只有一個(gè)正實(shí)根，若，則，不符合題意，舍去；若，則方程的兩根異號(hào)或方程有兩相等正根，或，解得或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，函數(shù)圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程只有一正根，分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力.22．對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，其中k為整數(shù)，則稱函數(shù)為定義域上的“k階局部奇函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“2階局部奇函數(shù)”？并說明理由；（2）若是上的“1階局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“k階局部奇函數(shù)”，求整數(shù)k取值的集合.【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)題意，為上的“2階局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；（2）由“1階局部奇函數(shù)”的定義，列出方程，討論方程成立并有解時(shí)參數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)“k階局部奇函數(shù)”的定義，轉(zhuǎn)化對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“k階局部奇函數(shù)”，為對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立問題，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，不為零時(shí)討論恒成立，再令，求解，即可.【詳解】（1）為上的“2階局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程在上有解，即：，化簡得：， 解得：所以是上的“2階局部奇函數(shù)”.（2）由是上的“1階局部奇函數(shù)”，且要滿足，所以.因?yàn)?/span>是上的“1階局部奇函數(shù)”，等價(jià)于關(guān)于x的方程在有解，即，化簡得：，所以，    又，所以.（3）因?yàn)?/span>恒為R上的“k階局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程恒有解.即，化簡得：，當(dāng)時(shí)，解得，所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，即：對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，令，是關(guān)于t的一次函數(shù)且為上的增函數(shù)則，即：，解得：且綜上，整數(shù)k取值的集合.【點(diǎn)睛】（1）考查對(duì)新定義概念的理解與辨析，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，中等難度；（2）考查方程有解問題求參數(shù)的范圍，有一定難度；（3）考查函數(shù)與方程思想，函數(shù)恒成立問題，綜合性較強(qiáng)，屬于難題 

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