2022-2023學(xué)年重慶市銅梁中學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．若是方程的兩個(gè)根，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】利用韋達(dá)定理和正切的兩角和公式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，，所以，故選：C3．下列函數(shù)最小正周期不是為的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出各選項(xiàng)中函數(shù)的最小正周期，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，A選項(xiàng)滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則該函數(shù)的最小正周期為，B選項(xiàng)滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，C選項(xiàng)滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，D選項(xiàng)不滿足.故選：D.4．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】連結(jié)，根據(jù)向量加法三角形法則有，由題意，再轉(zhuǎn)化為，整理即可得結(jié)論.【詳解】解：連結(jié)，在中，因?yàn)?/span>，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以,故選：B.5．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，向量與平行．若，，則A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和正弦定理的邊角互化，求得，得到，再由余弦定理列出方程，即可求解，得到答案．【詳解】由題意知，向量，所以，由正弦定理可得，又，則，即，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，由余弦定理，即，即，解得（負(fù)根舍去），故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及合理應(yīng)用正弦定理的“邊角互化”，以及余弦定理列方程是解答的關(guān)鍵著重考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算、求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．設(shè)，，，則有（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?/span>【詳解】因?yàn)?/span>，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、二倍角公式、兩角和差的三角公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力.7．在，角A，B，C的邊分別為a，b，c，且，則的周長(zhǎng)為（    ）A．13 B．20 C．18 D．15【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，求得，由得，由余弦定理可求出，即可求出周長(zhǎng).【詳解】由及正弦定理得，整理得．∵，∴ ，∴，又，∴，故，，；∴，∴．由余弦定理得，即，解得．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解三角形中，余弦定理和三角形的面積公式經(jīng)常綜合在一起應(yīng)用，解題時(shí)要注意余弦定理中的變形，如，這樣借助于和三角形的面積公式聯(lián)系在一起．8．騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的直徑均為1，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為（　　）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，其中點(diǎn)坐標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，過做的垂線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，圓的方程為，可設(shè)，所以．故．所以的最大值為故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算向量的數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算求解能力，屬于較難題. 二、多選題9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（    ）A．的虛部為B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C．的共軛復(fù)數(shù)為D．若，則的最大值是【答案】CD【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，則.對(duì)于A選項(xiàng)，的虛部為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，的共軛復(fù)數(shù)為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是，D對(duì).故選：CD.10．已知向量、、是三個(gè)非零向量，下列說法正確的有（    ）A．若，則與共線且反向B．若，，則C．向量、、是三個(gè)非零向量，若，則D．若，則【答案】ABD【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AD選項(xiàng)；利用平面向量共線的基本定理可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量垂直的數(shù)量即表示可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，即，即，因?yàn)?/span>、都是非零向量，則，因?yàn)?/span>，則，即與共線且反向，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>、、是三個(gè)非零向量，且，，則存在非零實(shí)數(shù)、，使得，，則，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，向量、、是三個(gè)非零向量，若，則，所以，或，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，則，所以，，整理可得，因?yàn)?/span>、都是非零向量，所以，，D對(duì).故選：ABD.11．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象最小正周期為C．函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【分析】經(jīng)過變換得到，對(duì)于選項(xiàng)利用周期公式可以判斷，對(duì)于選項(xiàng)，利用整體角的方法進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，即.對(duì)于選項(xiàng)：令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以是對(duì)稱中心，所以選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?/span>最小正周期為：，得，所以選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)：令，解得，所以的遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為，選項(xiàng)不是子集，顯然錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)：解得，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)正確.故選：.12．已知內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，以下結(jié)論中正確的是（    ）A．若，，，則該三角形有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為鈍角三角形D．若，則是等邊三角形【答案】CD【分析】利用余弦定理可判斷AC選項(xiàng)；利用余弦定理邊角互化可判斷B選項(xiàng)；利用余弦函數(shù)的有界性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由余弦定理可得，即，即，因?yàn)?/span>，解得，此時(shí)，只有一解，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，即，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，所以，，則為鈍角，即為鈍角三角形，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>、、，則，，，所以，，，，又因?yàn)?/span>，則，所以，，則，此時(shí)，為等邊三角形，D對(duì).故選：CD. 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則________【答案】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，可求得的值．【詳解】因?yàn)?/span>是純虛數(shù)，屬于根據(jù)純虛數(shù)定義可知且可解得，故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了純虛數(shù)的定義，注意實(shí)部為0且虛部不為0，屬于基礎(chǔ)題．14．_____【答案】/【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角差的余弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案為：.15．求的最小值是_____【答案】/0.5【分析】先應(yīng)用換元法,再應(yīng)用二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】,令,,當(dāng),.故答案為:16．如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，測(cè)量者選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，并測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高___________.【答案】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函數(shù)的定義即可求得，由此解答即可.【詳解】因?yàn)樵?/span>中，，，，所以，由正弦定理得，即，解得，在中，，所以，故塔高.故答案為：. 四、解答題17．已知向量、的夾角為，且，.(1)求的值；(2)求與的夾角的余弦.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由題意求出，再由向量模的計(jì)算公式，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，求出，再由向量夾角公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）∵向量、的夾角為，且，，所以，∴；（2）由題意，，∴.18．在中，已知向量，，且．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）解：設(shè)中，角的對(duì)邊分別為，∵，∴又，，∴，即，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，又∵  ∴.（2）解：由（1）得，又∵∴即且∴面積又由基本不等式得即當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)∴面積故面積的最大值為19．已知向量，，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求，從而可得，然后可求；（2）利用可得，結(jié)合平方關(guān)系可求.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，所以，即；因?yàn)?/span>，所以，所以.（2）因?yàn)?/span>，，所以,因?yàn)?/span>，所以，整理得，因?yàn)?/span>，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)求值，稍具綜合性，向量垂直及模長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化是題目求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20．如圖，在梯形中，，.(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）在和中，分別利用正弦定理可得，，再由，可得，所以得，再結(jié)合已知條件可得，從而可證得結(jié)論；（2）在中，由余弦定理可求得，， 在中，再利用余弦定理結(jié)合四邊形為梯形可求出，【詳解】（1）證明：在中，由正弦定理得，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所以.又，所以，即.（2）解：由（1）知.在中，由余弦定理得，故.所以.在中，由余弦定理得，即，整理可得，解得或.又因?yàn)?/span>為梯形，所以.21．在△中，角的對(duì)邊分別為，，（1）若，求的值；（2）設(shè)，當(dāng)取最大值時(shí)求A的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用二倍角公式，化簡(jiǎn)方程，可得，利用余弦定理，可求的值；（2）利用二倍角、輔助角公式，化簡(jiǎn)，結(jié)合的范圍，即可得取最大值時(shí)求的值．【詳解】解：（1），，即，舍去），又，，由余弦定理，可得，，或，時(shí)，，，與三角形內(nèi)角和矛盾，舍去，；（2），，，，當(dāng)，即時(shí)，．22．已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的周期，得到，然后求解函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）化簡(jiǎn)方程為：，令，原方程化為，整理，等價(jià)于在有解，利用參變量分離法可知在上有解，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，，，因?yàn)?/span>且函數(shù)的最小正周期為，則，解得，所以，，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：，，，方程，即方程，因?yàn)?/span>，則，設(shè)，，，原方程化為，整理，方程等價(jià)于在在有解，設(shè)，當(dāng)時(shí)，方程為得，故；當(dāng)時(shí)，在上有解在上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的值域，設(shè)，則，，，設(shè)，任取、且，則，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，的取值范圍是，在上有實(shí)數(shù)解或. 

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