銅梁中學(xué)2025級高一期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1. 已知，是坐標(biāo)原點，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算可得，由坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】故選：【點睛】本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.2. 若是方程的兩個根，則（    ）A.  B. 1 C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】利用韋達定理和正切的兩角和公式求解即可.【詳解】因為是方程兩個根，由韋達定理得，，所以，故選：C3. 下列函數(shù)最小正周期不是為的函數(shù)是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出各選項中函數(shù)的最小正周期，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，令，該函數(shù)定義域為，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，A選項滿足；對于B選項，令，則該函數(shù)的最小正周期為，B選項滿足；對于C選項，函數(shù)的最小正周期為，C選項滿足；對于D選項，函數(shù)的最小正周期為，D選項不滿足.故選：D.4. 如圖，在中，，點是的中點，設(shè)，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】連結(jié)，根據(jù)向量加法三角形法則有，由題意，再轉(zhuǎn)化為，整理即可得結(jié)論.【詳解】解：連結(jié)，在中，因為，點是的中點，所以,故選：B.5. 在中，角，，的對邊分別為，，，向量與平行．若，，則A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運算和正弦定理的邊角互化，求得，得到，再由余弦定理列出方程，即可求解，得到答案．【詳解】由題意知，向量，所以，由正弦定理可得，又，則，即，因為，所以，又因為，，由余弦定理，即，即，解得（負根舍去），故選D．【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理，以及向量的坐標(biāo)運算的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)運算，以及合理應(yīng)用正弦定理的“邊角互化”，以及余弦定理列方程是解答的關(guān)鍵著重考查了轉(zhuǎn)化思想與運算、求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6. 設(shè)，，，則有（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式，化簡，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小．【詳解】因為，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即.故選：C.【點睛】本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、二倍角公式、兩角和差的三角公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運算求解能力.7. 在，角A，B，C的邊分別為a，b，c，且，則的周長為（    ）A. 13 B. 20 C. 18 D. 15【答案】B【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合和的正弦公式化簡可得，求得，由得，由余弦定理可求出，即可求出周長.【詳解】由及正弦定理得，整理得．∵，∴ ，∴，又，∴，故，，；∴，∴．由余弦定理得，即，解得．∴．故選：B．【點睛】思路點睛：解三角形中，余弦定理和三角形的面積公式經(jīng)常綜合在一起應(yīng)用，解題時要注意余弦定理中的變形，如，這樣借助于和三角形的面積公式聯(lián)系在一起．8. 騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的直徑均為1，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為1的等邊三角形．設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（　　）A. 3 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點的坐標(biāo)求出來，其中點坐標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．【詳解】以為坐標(biāo)原點，為軸，過做的垂線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，圓的方程為，可設(shè)，所以．故．所以的最大值為故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運算計算向量的數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于較難題.二、多選題9. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（    ）A. 的虛部為B. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限C. 的共軛復(fù)數(shù)為D. 若，則的最大值是【答案】CD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可判斷A選項；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷D選項.【詳解】因為，則.對于A選項，的虛部為，A錯；對于B選項，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，B錯；對于C選項，的共軛復(fù)數(shù)為，C對；對于D選項，因為，，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最大值是，D對.故選：CD.10. 已知向量、、是三個非零向量，下列說法正確的有（    ）A. 若，則與共線且反向B. 若，，則C. 向量、、是三個非零向量，若，則D. 若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可判斷AD選項；利用平面向量共線的基本定理可判斷B選項；利用平面向量垂直的數(shù)量即表示可判斷C選項.【詳解】對于A選項，由可得，即，即，因為、都是非零向量，則，因為，則，即與共線且反向，A對；對于B選項，因為、、是三個非零向量，且，，則存在非零實數(shù)、，使得，，則，故，B對；對于C選項，向量、、是三個非零向量，若，則，所以，或，C錯；對于D選項，因為，則，所以，，整理可得，因為、都是非零向量，所以，，D對.故選：ABD.11. 將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B. 函數(shù)的圖象最小正周期為C. 函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增D. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】【分析】經(jīng)過變換得到，對于選項利用周期公式可以判斷，對于選項，利用整體角的方法進行求解判斷即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到，即.對于選項：令，解得，當(dāng)時，，所以是對稱中心，所以選項正確.對于選項：因為最小正周期為：，得，所以選項正確.對于選項：令，解得，所以的遞增區(qū)間為，，當(dāng)時，遞增區(qū)間為，選項不是子集，顯然錯誤.對于選項：解得，當(dāng)時，，所以選項正確.故選：.12. 已知內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，以下結(jié)論中正確的是（    ）A. 若，，，則該三角形有兩解B. 若，則一定為等腰三角形C. 若，則一定為鈍角三角形D. 若，則是等邊三角形【答案】CD【解析】【分析】利用余弦定理可判斷AC選項；利用余弦定理邊角互化可判斷B選項；利用余弦函數(shù)的有界性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由余弦定理可得，即，即，因為，解得，此時，只有一解，A錯；對于B選項，因為，即，整理可得，所以，或，故為等腰三角形或直角三角形，B錯；對于C選項，因為，由正弦定理可得，所以，，則為鈍角，即為鈍角三角形，C對；對于D選項，因為、、，則，，，所以，，，，又因為，則，所以，，則，此時，為等邊三角形，D對.故選：CD.三、填空題13. 已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則________【答案】【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義，可求得的值．【詳解】因為是純虛數(shù)，屬于根據(jù)純虛數(shù)定義可知且可解得，故答案為3.【點睛】本題考查了純虛數(shù)的定義，注意實部為0且虛部不為0，屬于基礎(chǔ)題．14. _____【答案】##【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角差的余弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案為：.15. 求的最小值是_____【答案】##0.5【解析】【分析】先應(yīng)用換元法,再應(yīng)用二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】,令,當(dāng),.故答案為:16. 如圖，為了測量河對岸的塔高AB，測量者選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，并測得，，，在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高___________.【答案】【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函數(shù)的定義即可求得，由此解答即可.【詳解】因為在中，，，，所以，由正弦定理得，即，解得，中，，所以，故塔高.故答案為：.四、解答題17. 已知向量、的夾角為，且，.（1）求的值；（2）求與的夾角的余弦.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先由題意求出，再由向量模的計算公式，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，求出，再由向量夾角公式，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】∵向量、的夾角為，且，，所以，∴；【小問2詳解】由題意，，∴.18. 中，已知向量，，且．（1）求A；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計算可得；（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面積公式計算可得；【小問1詳解】解：設(shè)中，角的對邊分別為，∵，∴又，，∴，即，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，又∵  ∴.【小問2詳解】解：由（1）得，又∵∴即且∴面積又由基本不等式得即當(dāng)且僅當(dāng)取等號∴面積故面積的最大值為19. 已知向量，，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求，從而可得，然后可求；（2）利用可得，結(jié)合平方關(guān)系可求.【詳解】（1）因為，，，所以，即；因為，所以，所以.（2）因為，，所以,因為，所以，整理得，因為，所以.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算及三角函數(shù)求值，稍具綜合性，向量垂直及模長的轉(zhuǎn)化是題目求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).20. 如圖，在梯形中，，.（1）求證：；（2）若，，求的長度.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）在和中，分別利用正弦定理可得，，再由，可得，所以得，再結(jié)合已知條件可得，從而可證得結(jié)論；（2）在中，由余弦定理可求得，， 在中，再利用余弦定理結(jié)合四邊形為梯形可求出，【小問1詳解】證明：在中，由正弦定理得，即，因為，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所以.又，所以，即.【小問2詳解】解：由（1）知.在中，由余弦定理得，故.所以.在中，由余弦定理得，即，整理可得，解得或.又因為為梯形，所以.21. 在△中，角的對邊分別為，，（1）若，求的值；（2）設(shè)，當(dāng)取最大值時求A的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，化簡方程，可得，利用余弦定理，可求的值；（2）利用二倍角、輔助角公式，化簡，結(jié)合的范圍，即可得取最大值時求的值．【詳解】解：（1），，即，舍去），又，，由余弦定理，可得，，或，時，，，與三角形內(nèi)角和矛盾，舍去，；（2），，，，當(dāng)，即時，．22. 已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間：（2）若關(guān)于的方程在有實數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的周期，得到，然后求解函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）化簡方程為：，令，原方程化為，整理，等價于在有解，利用參變量分離法可知在上有解，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得實數(shù)取值范圍.【小問1詳解】解：因為，，，因為且函數(shù)的最小正周期為，則，解得，所以，，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】解：，，，方程，即方程，因為，則，設(shè)，，，原方程化為，整理，方程等價于在在有解，設(shè)，當(dāng)時，方程為得，故；當(dāng)時，在上有解在上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的值域，設(shè)，則，，，設(shè)，任取、且，則，當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，的取值范圍是，在上有實數(shù)解或.   
 
 

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