2023年廣東省廣州市越秀區(qū)重點(diǎn)學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列汽車車標(biāo)中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖，要使?成為矩形，需要添加的條件是(    )A.
B.
C.
D. 3.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)恰好落在的延長線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行射擊測試，每人次射擊的平均成績是環(huán)方差分別、、、，這四人中成績最穩(wěn)定的是(    )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁6.  如圖，矩形中，、交于點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)．若，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 7.  等腰三角形的一邊長是，另兩邊的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則的值為(    )A.  B.  C. 或 D. 或8.  若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 9.  九章算術(shù)記載：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺．問幾何日相逢？大意是有一道墻，高尺，上面種一株瓜，瓜蔓向下伸，每天長寸，地上種著瓠向上長，每天長尺，問瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇如圖是瓜蔓與瓠蔓離地面的高度單位：尺關(guān)于生長時(shí)間單位：日的函數(shù)圖象，則由圖可知兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨增大而減小，且對任意的和，，相應(yīng)的函數(shù)值，總滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  因式分解： ______ 12.  拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，則兩次都是“正面朝上”的概率是______ ．13.  如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，若，則          ．
 
  
 14.  一次函數(shù)的圖象過軸上一點(diǎn)，且隨的增大而減小，則______．15.  已知、是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則______．16.  如圖，四邊形內(nèi)接于圓，，，，，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)．延長，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，則下列結(jié)論成立的是______直接填寫序號．
直線是的切線：
是等腰三角形；
圖中共有個(gè)等腰三角形：
連接，則．
三、計(jì)算題（本大題共1小題，共5.0分）17.  解二元一次方程組：．四、解答題（本大題共8小題，共67.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
如圖，點(diǎn)、在線段上，，，，證明：．
19.  本小題分
已知．
化簡；
若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，求的值．20.  本小題分
如圖，已知直線上一點(diǎn)，由點(diǎn)分別向軸、軸作垂線，垂足為、，若點(diǎn)的坐標(biāo)為．
若點(diǎn)也在一反比例函數(shù)的圖象上，求出此反比例函數(shù)的表達(dá)式．
若將沿直線翻折，使點(diǎn)恰好落在對角線上的點(diǎn)處，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
21.  本小題分
某中學(xué)在參加“創(chuàng)文明城，點(diǎn)贊泉城”書畫比賽中，楊老師從全校個(gè)班中隨機(jī)抽取了個(gè)班用，，，表示，對征集到的作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì)，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請根據(jù)以上信息，回答下列問題：
楊老師采用的調(diào)查方式是______ 填“普查”或“抽樣調(diào)查”；
請補(bǔ)充完整條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù)______ ．
如果全班征集的作品中有件獲得一等獎(jiǎng)，其中有名作者是男生，名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一樣等獎(jiǎng)的作者中選取兩人參加表彰座談會(huì)，請你用列表或樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率．22.  本小題分
如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物頂部點(diǎn)處測得乙建筑物頂部點(diǎn)的俯角為，底部點(diǎn)的俯角為，為兩座建筑物的水平距離已知乙建筑物的高度為，求甲建筑物的高度，結(jié)果保留整數(shù)
23.  本小題分
在邊長為的正方形中，為的中點(diǎn)，連結(jié)，
作出以為直徑的，交于點(diǎn)要求尺規(guī)作圖，不要求寫作法，保留作圖痕跡；
連結(jié)，證明：為的切線；
求的長與的值；
24.  本小題分
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
求拋物線的解析式；
圖中，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過，兩點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)是否存在這樣的直線：以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出這樣的直線的解析式；若不存在，請說明理由．
圖中，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

 25.  本小題分
平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，連，點(diǎn)在線段上，連，連．
如圖，已知，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，，求的長度；
如圖，已知，，將射線沿翻折交于，過點(diǎn)作交于點(diǎn)若，求證：；
如圖，已知，若，，直接寫出的最小值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D.該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等．常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．
 2.【答案】 【解析】解：、，根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”，得到?是矩形，故A符合題意；
B、，由得到，因此，所以，?是菱形，故B不符合題意；
C、，由平行線四邊形的性質(zhì)，得到垂直平分，因此，?是菱形，故C不符合題意；
D、，此時(shí)?是菱形，故D不符合題意．
故選：．
由矩形的判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可判斷．
本題考查矩形的判定，平行線四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握矩形的判定．
 3.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)合并同類項(xiàng)判斷選項(xiàng)；根據(jù)冪的乘方判斷選項(xiàng)；根據(jù)平方差公式判斷選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪的除法判斷選項(xiàng)．
本題考查了合并同類項(xiàng)，冪的乘方，平方差公式，同底數(shù)冪的除法，掌握是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，的度數(shù)為旋轉(zhuǎn)度數(shù)，，，
，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得出等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊得出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：因?yàn)榧住⒁?、丙、丁四人進(jìn)行射擊測試，方差分別為，，，，所以丙的方差最小，即丙最穩(wěn)定．
故選：．
據(jù)方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
本題考查方差的意義，掌握方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，四邊形是矩形，，交于點(diǎn)，，，
，
，即．
．
又、分別為、的中點(diǎn)，
是的中位線，
．
故選：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)和含的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出，再依據(jù)中位線的性質(zhì)推知．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，解題的關(guān)鍵是找到線段間的倍分關(guān)系．
 7.【答案】 【解析】解：當(dāng)為腰長時(shí)，將代入，得：，
解得：，
當(dāng)時(shí)，原方程為，
解得：，，
，
不符合題意；
當(dāng)為底邊長時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，原方程為，
解得：，
，
符合題意．
的值為．
故選B．
當(dāng)為腰長時(shí)，將代入原一元二次方程可求出的值，將值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和小于第三邊可得出不符合題意；當(dāng)為底邊長時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出根的判別式，解之可得出值，將值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出符合題意．
本題考查了根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系，分為腰長及為底邊長兩種情況，求出值是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，
，解得；
，解得；
，解得，
，
．
故選：．
直接把各點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出，，的值，再比較大小即可．
本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則：
，
解得，
兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，
故選：．
根據(jù)題意和圖象可知，當(dāng)它們相遇時(shí)，它們生長的長度之和為，然后列出相應(yīng)的方程，求解即可．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．
 10.【答案】 【解析】解：函數(shù)的對稱軸為，而時(shí)，函數(shù)值隨增大而減小，故；
和，
時(shí)，函數(shù)的最小值，
故函數(shù)的最大值在和中產(chǎn)生，
則，中，哪個(gè)距越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
，
，而，
距離更遠(yuǎn)，
時(shí)，函數(shù)取得最大值為：，
對任意的和，，相應(yīng)的函數(shù)值，總滿足，
只需最大值與最小值的差小于等于即可，
，
，
解得，而，
，
故選：．
對任意的和，，相應(yīng)的函數(shù)值，總滿足，只需最大值與最小值的差小于等于即可，進(jìn)而求解．
本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為最大值與最小值的差小于等于是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】． 【解析】解：

，
故答案為：．
先提取公因式，再用平方差公式進(jìn)行因式分解．
本題主要考查因式分解提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，找準(zhǔn)公因式是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次都是“正面朝上”的結(jié)果有種，
兩次都是“正面朝上”的概率．
故答案為：．
畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次都是“正面朝上”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 13.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)，結(jié)合平行線的性質(zhì)，求得的度數(shù)，然后由平分，求得的度數(shù)，再由，利用等邊對等角的性質(zhì)，求得的度數(shù)，繼而求得答案．
此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．熟練掌握等邊對等角定理是解決本題的關(guān)鍵．
【解答】
解：，
，
平分，
，
，
，
．
故答案為：．  14.【答案】 【解析】解：函數(shù)圖象過點(diǎn)，
，
，
又隨增大而減小，
，
．
故答案為：．
根據(jù)一次函數(shù)過，得到，根據(jù)隨的增大而減小，判斷，最終得到的值．
本題考查一次函數(shù)的特征和性質(zhì)，根據(jù)增減性判斷的符號是關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：、是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，
，，
．
故答案為．
先由根與系數(shù)的關(guān)系求出及的值，再把化為的形式代入進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：，．
 16.【答案】 【解析】解：連接．

在和中，
，
≌，
，，
，
，
是直徑，
，
，
，
是的切線，故正確，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，故正確，
圖中，，，，，都是等腰三角形，故錯(cuò)誤，
連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
則，，
，
，，
，
，故正確．
故答案為：．
正確．連接，證明即可；
正確．證明，可得結(jié)論；
錯(cuò)誤．，，，，都是等腰三角形；
正確．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，求出，，可得結(jié)論．
本題考查切線的判定，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
 17.【答案】解：，
得：，
解得．
把代入得：，
解得．
方程組的解是． 【解析】加減消元法消去求出，把代入方程求出即可．
本題考查解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是熟知解方程組的思想：消元．
 18.【答案】證明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即． 【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
先證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步即可得證．
 19.【答案】解：


．
在二次函數(shù)的圖象上，
，
解得，，
中，
． 【解析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)的化簡求值，注意分式有意義的條件．
根據(jù)分式的性質(zhì)化簡．
將代入函數(shù)解析式求出的值，再代入原式求解．
 20.【答案】解：由題意得點(diǎn)縱坐標(biāo)為．
又點(diǎn)在直線上，
點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)過點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
，
此反比例函數(shù)的表達(dá)式為．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為．
點(diǎn)在直線上，
，
，
，
解得或，
點(diǎn)在第二象限，
點(diǎn)坐標(biāo)為． 【解析】由題意可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出的值，表達(dá)式也可求出；
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，求出和的關(guān)系，又知，即得，兩個(gè)式子聯(lián)立求出和的值，點(diǎn)坐標(biāo)即可求出．
本題主要考查一次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換等知識(shí)，此題是一道典型的試題，難度不大．
 21.【答案】抽樣調(diào)查   【解析】解：楊老師從全校個(gè)班中隨機(jī)抽取了個(gè)班，屬于抽樣調(diào)查．
故答案為：抽樣調(diào)查．
所調(diào)查的個(gè)班征集到的作品數(shù)為：件，
班有件，
補(bǔ)全條形圖如圖所示，

扇形統(tǒng)計(jì)圖中班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù)；
故答案為：；
畫樹狀圖得：

共有種等可能的結(jié)果，兩名學(xué)生性別不同的有種情況，
恰好選取的兩名學(xué)生性別不同的概率為．
楊老師從全校個(gè)班中隨機(jī)抽取了個(gè)班，屬于抽樣調(diào)查．
由題意得：所調(diào)查的個(gè)班征集到的作品總數(shù)為：件，班作品的件數(shù)為：件；繼而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；用班作品數(shù)除以總作品數(shù)再乘即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中班作品數(shù)量所對應(yīng)的圓心角度數(shù)．
首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩名學(xué)生性別不同的情況，再利用概率公式即可求得答案．
本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：延長交于點(diǎn)，

由題意得：，，
設(shè)，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
甲建筑物的高度約為． 【解析】延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，然后設(shè)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而根據(jù)，列出關(guān)于的方程，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：如圖，點(diǎn)為所作；

證明：過點(diǎn)作于，交于，連接、、，如圖，
四邊形為正方形，
，，
在中，，
為直徑，
，

，
∽，
：：，即：：，
，
，
，
在中，，
，
．
，
在和中
，
≌，
，
，
為的切線；
由得，，，
，
即的值為． 【解析】作的垂直平分得到的中點(diǎn)，然后作出；
過點(diǎn)作于，交于，連接、、，如圖，利用勾股定理計(jì)算，證明∽，利用相似比計(jì)算出，再利用射影定理計(jì)算，則可得到，所以，從而利用勾股定理計(jì)算出，于是可證明≌得到，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷為的切線；
由得，，，然后根據(jù)余弦的定義得到即的值．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．也考查了正方形的性質(zhì)、圓周角定理和切線的判定．
 24.【答案】解：拋物線過，，
，解得：，
函數(shù)解析式為：；

存在直線使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，
當(dāng)時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，
，
在和中，
，
≌，
，
解，
得：不符合題意，舍去，，
，
，
由，的坐標(biāo)得，直線的解析式為：；
連接，，作交于，
拋物線對稱軸為直線：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
或，
當(dāng)，如圖：

由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線解析式為：，
解方程，
解得：或舍去，
的橫坐標(biāo)為；
當(dāng)，如圖：

同理可得，直線解析式為：，
解方程，
解得：舍去或，
的橫坐標(biāo)為，
綜上所述：的橫坐標(biāo)為或． 【解析】利用待定系數(shù)法求解析式即可；
存在直線，證明≌得到，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線解析式即可；
連接，，作交于，求出，進(jìn)一步可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再分情況討論，即可求解．
本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到全等三角形的性質(zhì)和判定、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理的運(yùn)用等，具有一定的綜合性，難度適中．
 25.【答案】解：，如圖，
，
為的中點(diǎn)，，
，
，
，
在中，，
；
證明：如圖，設(shè)射線與射線交于點(diǎn)，
由題可設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
延長交于，
，，
過作于，
則，
在與中，
，
≌，
，
過作于，
，
四邊形為矩形，
，
，
，
矩形為正方形，
，
，
在與中，
，
≌，
，
，
；
解：如圖，以為邊構(gòu)等邊，以為邊構(gòu)造等邊，
，，
，
，
，
在與中，
，
≌，
，
，
當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，
即為線段的長度，如圖，
過作交其延長線于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的最小值為． 【解析】根據(jù)“直角三角形的中線等于斜邊長一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，則，即可求解；
由題意可得，是的角平分線，且，故延長，交于點(diǎn)，可證，要證，而，即證明即可，延長交于，過作于，先證明≌，可以得到，再證明四邊形是正方形，得到，接著證明≌即可解決；
如圖，分別以和為邊構(gòu)造等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”模型，即可得到≌，所以，，則，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，所求線段和的值最小，利用，，，解即可解決．
本題是一道四邊形綜合題，考查了線段的“截長補(bǔ)短”在證明三角形全等中的應(yīng)用，同時(shí)要注意基本輔助線構(gòu)造方法，比如第問中的線段即是角平分線，又是垂線段，延長相交構(gòu)等腰就是本題的突破口，再結(jié)合線段的截長補(bǔ)短來構(gòu)造全等，還考查了多條線段和的最值問題，利用旋轉(zhuǎn)變換來轉(zhuǎn)化線段是解決此問的關(guān)鍵．
 

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