2022-2023學(xué)年福建省龍巖市連城縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  二次根式中字母的取值可以是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下面計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖，矩形中，，兩條對(duì)角線，所夾的鈍角為，則對(duì)角線的長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 4.  如圖，在平行四邊形中，，，，平分，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )
A.  B.  C.  D. 5.  下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，6.  如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，若是的高，則的長(zhǎng)為．(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  將四個(gè)全等的直角三角形直角邊分別為、按圖和圖兩種方式放置，則能驗(yàn)證的等式是(    )

 A.  B.
C.  D. 8.  九章算術(shù)中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D. 9.  如圖，在正方形和正方形中，點(diǎn)在上，，，是的中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，平面內(nèi)條直線、、、是一組平行線，相鄰條平行線的距離是個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形的個(gè)頂點(diǎn)、、、都在這些平行線上，則這個(gè)正方形的面積不可能是(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  ______．12.  已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則______．13.  已知，如圖，一輪船以海里時(shí)的速度從港口出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以海里時(shí)的速度同時(shí)從港口出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口小時(shí)后，則兩船相距______．
 14.  已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為和，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是______ ．15.  如圖，在四邊形紙片中，，，，將紙片先沿對(duì)折，再將對(duì)折后的紙片沿過(guò)頂點(diǎn)的直線裁剪，剪開(kāi)后的紙片打開(kāi)鋪平，其中有一個(gè)圖形是周長(zhǎng)為的平行四邊形，則        ．
 16.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為______．
三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：
；
．18.  本小題分
已知，，求的值．19.  本小題分
如圖，四邊形是平行四邊形，，是對(duì)角線的三等分點(diǎn)，連接，證明：．
 
 
 20.  本小題分
如圖，四邊形的四邊中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、判斷四邊形形狀，并說(shuō)明理由．
21.  本小題分
如圖，小明爸爸在魚(yú)池邊開(kāi)了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算這塊土地的面積，以便估算產(chǎn)量．小明測(cè)得，，，，又已知求這塊土地的面積．
22.  本小題分
如圖，在中，，．
求作：以斜邊為對(duì)角線且其中一個(gè)頂點(diǎn)在邊上的菱形；
求中所求作菱形的面積．
23.  本小題分
定義：如果一個(gè)三角形存在兩個(gè)內(nèi)角與滿(mǎn)足，那么稱(chēng)這個(gè)三角形為“準(zhǔn)互余三角形”如圖，已知為“準(zhǔn)互余三角形”，并且．
若，求的度數(shù)；
在的條件下，若，求的長(zhǎng)．
24.  本小題分
如圖，點(diǎn)是等邊中線上一點(diǎn)，連接，為等邊三角形，連接．

求證：；
如圖，當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上，求證：；
如圖，，點(diǎn)是射線的動(dòng)點(diǎn)，是否其中存在以、、為頂點(diǎn)的菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度不寫(xiě)過(guò)程，若不存在，說(shuō)明理由．25.  本小題分
如圖，正方形的邊、在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到正方形，交線段與點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交線段于點(diǎn)，連、．
求證：≌；
求的度數(shù)；
連接、、、得到四邊形，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形能否為矩形？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
，，，，
二次根式中字母的取值可以是．
故選：．
根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得：，求出的取值范圍，進(jìn)而判斷出二次根式中字母的取值可以是哪個(gè)即可．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
 2.【答案】 【解析】解：、不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故選項(xiàng)正確；
C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
A、根據(jù)合并二次根式的法則即可判定；
B、根據(jù)二次根式的除法法則即可判定；
C、根據(jù)二次根式的乘法法則即可判定；
D、根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可判定．
此題考查了二次根式的計(jì)算，要掌握各運(yùn)算法則．二次根式的加減運(yùn)算，只有同類(lèi)二次根式才能合并；乘法法則；除法法則．
 3.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
．
故選：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)推出，，，求出，求出等邊三角形，推出，即可求出答案．
本題考查了矩形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，，
，，，，
，故D正確；
平分，
，
，
，故C錯(cuò)誤；
，
，故A正確；
，
，故B正確．
故選：．
由?中，，，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求得；又由平分，易求得，，繼而可求得，．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 5.【答案】 【解析】【分析】
此題考查勾股定理的逆定理，要求學(xué)生熟練掌握這個(gè)逆定理．
根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．將各個(gè)選項(xiàng)逐一代數(shù)計(jì)算即可得出答案．
【解答】
解：、，不能構(gòu)成直角三角形，故A錯(cuò)誤；
B、，能構(gòu)成直角三角形，故B正確；
C、，不能構(gòu)成直角三角形，故C錯(cuò)誤；
D、，不能構(gòu)成直角三角形，故D錯(cuò)誤．
故選：．  6.【答案】 【解析】解：由題意可得，
的面積是：，
是的高，，
，
解得，，
故選：．
根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出的面積和的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出的長(zhǎng)，本題得以解決．
本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 7.【答案】 【解析】解：圖陰影部分的面積為；
圖陰影部分的面積利用看作邊長(zhǎng)為的面積減去中間空白正方形的面積，即，
因此有，
故選：．
用代數(shù)式分別表示圖、圖陰影部分的面積即可．
本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，用代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積是正確解答的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則，，
在中，，即．
故選：．
根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
 9.【答案】 【解析】解：連接、，如圖，

四邊形和四邊形都是正方形，，，
，，，，
，
在中，，
是的中點(diǎn)，
．
故選：．
連接、，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，，，則，再利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求的長(zhǎng)．
本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及勾股定理，二次根式的化簡(jiǎn)．
 10.【答案】 【解析】解：若正方形有一組對(duì)邊與該組平行線平行，
相鄰條平行線的距離都是個(gè)單位長(zhǎng)度，
正方形的邊長(zhǎng)為或或，
正方形的面積為或或，
若正方形的每條邊都與該組平行線不平行，
如圖，過(guò)點(diǎn)作，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
當(dāng)為圖時(shí)，，

正方形的面積為，
當(dāng)為圖時(shí)，，

正方形的面積為，
所以，正方形的面積為或或或或，
綜上所述，只有不可能．
故選：．
正方形有一組對(duì)邊與該組平行線平行，根據(jù)相鄰直線間的距離為，分別求出正方形的面積；正方形的每條邊都與該組平行線不平行，有一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)在同一直線上與不在同一直線上，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后利用勾股定理列式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的面積求解即可．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線間的距離，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案為：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接計(jì)算即可．
此題考查了二次根似的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，此題較簡(jiǎn)單，做題時(shí)要細(xì)心．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
解得，
．
故答案為：．
根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性求出和的值，然后代入化簡(jiǎn)求值即可．
本題考查了絕對(duì)值和二次根式的非負(fù)性，掌握二次根式的化簡(jiǎn)和加減運(yùn)算是關(guān)鍵．
 13.【答案】海里 【解析】解：兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，
，
兩小時(shí)后，兩艘船分別行駛了，海里，
根據(jù)勾股定理得：海里．
故答案為：海里．
根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程速度時(shí)間，得兩條船分別走了，再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡(jiǎn)單．
 14.【答案】 【解析】解：菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為和，
菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半分別為和，
根據(jù)勾股定理，邊長(zhǎng)，
所以，這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是，
故答案為：．
根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出兩對(duì)角線長(zhǎng)的一半，然后利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解．
本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解；如圖，當(dāng)沿從出發(fā)的直線裁剪，四邊形是平行四邊形，

根據(jù)裁剪可知：，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
四邊形周長(zhǎng)為，
，
，，
，
在平行四邊形中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，可知，所得的平行四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)和平行四邊形的周長(zhǎng)，求得相關(guān)邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)．
本題考查剪紙，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定方法與性質(zhì)以及平行四邊形的面積公式，根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，是解題的關(guān)鍵，主要要分類(lèi)討論．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，
，
連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在矩形中，
，
，，
，
是等邊三角形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
點(diǎn)在過(guò)定點(diǎn)且與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，
是等邊三角形，
，
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，
綜上所述：，
的最小值為，
故答案為：．
以為邊在右側(cè)作等邊三角形，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用全等三角形的性質(zhì)證明，所以，推出點(diǎn)在過(guò)定點(diǎn)且與垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求出的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．
 17.【答案】解：

；


． 【解析】先把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；
利用二次根式的乘除法法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：，，
，
，
． 【解析】先求解，，再整體代入代數(shù)式求值即可．
本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，熟練地利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：四邊形為平行四邊形，
，，
，
，是對(duì)角線的三等分點(diǎn)，
，
在與中，
，
≌，
． 【解析】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明≌解答．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
 20.【答案】解：四邊形為平行四邊形，理由如下：
連接，如圖，

在和中，
、分別為其中位線，
，且；且，
，，
四邊形為平行四邊形． 【解析】首先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得，，再根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得出答案．
本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形中位線的性質(zhì)等，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：連接，
，
，
則，
因此，
平方米，
答：這塊土地的面積為平方米． 【解析】先把解四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解三角形的問(wèn)題，再用勾股定理解答．
本題考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖所示，四邊形為所求作的菱形；

，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；

由得菱形，且，
，則，，
在中，，，
，
，
設(shè)，則，
，
解得：，
：，
，
，
又，
為等邊三角形，
菱形面積為：． 【解析】根據(jù)題意，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在的垂直平分線上截取，連接，，，四邊形為所求作的菱形；
在中，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，求得，可得，進(jìn)而得出為等邊三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．
本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：當(dāng)為時(shí)，
則，
故不成立；
當(dāng)為時(shí)，
，
，
故不成立；
當(dāng)為，
，
，
，
故不成立；
故，
解得，
．
過(guò)點(diǎn)作，垂足分別是，，交于點(diǎn)，

，，
，，，，
，，，，
，
，，
． 【解析】分為，為，為，求解．
過(guò)點(diǎn)作，垂足分別是，，交于點(diǎn)，利用勾股定理，三角形外角性質(zhì)計(jì)算即可．
本題考查了新定義問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：連接，

等邊，等邊，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
；

證明：連接、，

等邊，等邊，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
；

解：分情況討論，
特殊情況，如圖，當(dāng)為菱形的邊時(shí)，
設(shè)，

等邊，
，
，
則，
，
，
，
，即的值為；
如圖，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，

同理，的值為；
如圖，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，

同理，的值為；
一般情況：以、、頂點(diǎn)的菱形存在無(wú)限可能，則的長(zhǎng)則無(wú)法確定． 【解析】連接，利用等邊三角形的性質(zhì)以及證明≌，推出，再證明，即可得到結(jié)論；
連接，同的方法即可證明；
以、、頂點(diǎn)的菱形存在無(wú)限可能，則的長(zhǎng)無(wú)法確定．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
 25.【答案】證明：四邊形是正方形，
，，
旋轉(zhuǎn)正方形到正方形，
，，
，
在和中，
，
≌；

解：，理由如下：
四邊形是正方形，
．
又，
．
在和中，
，
≌．
，．
≌，
，．
；

解：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形能為矩形，此時(shí)．
當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四邊形能為矩形，理由如下：
如圖所示，連結(jié)、、、．

旋轉(zhuǎn)正方形到正方形，
，
為中點(diǎn)，
，
又，
，
，
四邊形為平行四邊形，
又，
四邊形為矩形．
旋轉(zhuǎn)正方形到正方形，，
，，
四邊形是矩形，
，
設(shè)，則，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
的坐標(biāo)是． 【解析】求證全等，觀查兩個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)都有直角，而為公共邊，進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可，因?yàn)槠錇檎叫涡D(zhuǎn)得到，所以邊都相等，即結(jié)論可證．
上問(wèn)的結(jié)論，本題一般都要使用才能求出結(jié)果．所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等，即，同第一問(wèn)的思路你也容易發(fā)現(xiàn)≌，也有對(duì)應(yīng)邊、角相等，即，于是為．
四邊形若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對(duì)角線互相平分，合適的點(diǎn)只有為中點(diǎn)的時(shí)候．由上幾問(wèn)知，所以此時(shí)同時(shí)滿(mǎn)足，即四邊形為矩形．求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以設(shè)其為，則，而為的一半，所以又由，，所以中，三邊都可以用含的表達(dá)式表達(dá)，那么根據(jù)勾股定理可列方程，進(jìn)而求出，推得坐標(biāo)．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定，解題關(guān)鍵是注意作出輔助線將所問(wèn)圖形表示出來(lái)．
 

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