河北衡水二中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)評(píng)估（期中）數(shù)學(xué)學(xué)科試題（時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 在數(shù)列中，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的定義知為等比數(shù)列，由得的通項(xiàng)公式.【詳解】∵，即： ，∴為等比數(shù)列，公比，∴故選：D.2. 已知實(shí)數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】
【分析】對(duì)ABD選項(xiàng)采用取特殊值驗(yàn)證即可，對(duì)于C，首先構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性即可.【詳解】因?yàn)?/span>，則對(duì)于A，取，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，則單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以有，即，故C正確；對(duì)于D，取、，則，故D錯(cuò)誤.故選：C3. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（    ）A 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到求解.【詳解】解：因，所以，，，，，，故選：A4. 設(shè)是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. 和是的最大值C.  D. 【答案】B
【解析】【分析】對(duì)A，由前項(xiàng)和定義可得的符號(hào)，由等差數(shù)列定義得的符號(hào)；對(duì)BD，由前項(xiàng)和定義，即可判斷；對(duì)C，.【詳解】是等差數(shù)列，對(duì)A，由得，，，A錯(cuò)；對(duì)BD，由得和是的最大值，，B對(duì)D錯(cuò)；對(duì)C，，C錯(cuò).故選：B5. 數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的乘積為（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推公式求得數(shù)列的周期，結(jié)合數(shù)列的周期即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，故該數(shù)列是以為周期的數(shù)列，且，故數(shù)列的前2022項(xiàng)的乘積為.故選：C.6. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公比，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解方程即可得數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而可得首項(xiàng)與公比，求得.
【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，又，解得或，當(dāng)時(shí)，或（舍），當(dāng)時(shí)，（舍），所以，，此時(shí)，所以，故選：D.7. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由時(shí)，恒成立，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可得函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性即可得解.【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，由，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B.8. 已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16…，設(shè)N為項(xiàng)數(shù)，求滿足條件“且該數(shù)列前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪”的最小整數(shù)N的值為（    ）A. 110 B. 220 C. 330 D. 440【答案】D【解析】【分析】通過(guò)分析數(shù)列性質(zhì)可列出不等式即可求得最小整數(shù)N的值.【詳解】觀察可知：該數(shù)列可看成：第一行是，第二行是，第三行是，以此類推，項(xiàng)數(shù)分別為1,2,3，前行數(shù)和為，則，要使，則，要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，所以：是之后的等比數(shù)列部分的和，即：，所以，則，此時(shí)，對(duì)應(yīng)滿足的最小條件.故選：D
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9. 已知雙曲線C：，則（    ）A. 雙曲線C的離心率為 B. 雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為C. 雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D. 雙曲線C的漸近線方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求解出，由雙曲線的性質(zhì)逐一判斷.【詳解】由雙曲線的方程，得，則，所以離心率為，A正確；虛軸長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確；漸近線方程為，D正確.故選：ACD10. 已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（    ） A. 函數(shù)的解析式為
B. 函數(shù)解析式為C. 是函數(shù)的一條對(duì)稱軸D. 的一個(gè)對(duì)稱中心為【答案】BD【解析】【分析】由題意，根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性，可得答案.【詳解】由圖象可得，，，則；函數(shù)的最小正周期，則；當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，即，因?yàn)?/span>，所以；故，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的6倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，故A錯(cuò)誤，B正確；將代入，可得，則直線不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；將代入，可得，則為函數(shù)的對(duì)稱中心，故D正確；故選：BD.11. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，等比數(shù)列
滿足，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知求得，，，帶入選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)所以，所以當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，符合上式故，又因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，設(shè)公比為 又因?yàn)?/span>所以，解得，，所以所以對(duì)于A：，，，所以A正確.對(duì)于B：，，所以，故B正確.對(duì)于C：，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：，，所以，故D正確.故選：ABD12. 已知圓C：，直線l：，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線l上，則（    ）A. 直線l與圓C相交
B. 的最小值為C. 到直線l的距離為1的點(diǎn)P有且只有2個(gè)D. 從點(diǎn)Q向圓C引切線，切線的長(zhǎng)的最小值是2【答案】BC【解析】【分析】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，圓的半徑.對(duì)于A：利用幾何法判斷直線l與圓C相離；對(duì)于B：利用幾何法求出的最小值；對(duì)于C：利用幾何法判斷出圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；對(duì)于D：先判斷出要使切線長(zhǎng)最小，只需最小，即可求解.【詳解】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，圓的半徑.對(duì)于A：因?yàn)?/span>，所以直線l與圓C相離.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圓的幾何性質(zhì)可知：（此時(shí)，P在之間）.對(duì)于C：設(shè)m：到直線l：的距離為1.則，所以.
當(dāng)時(shí)，直線m1：，此時(shí)圓心C到直線m1的距離為d1，則.此時(shí)到直線m1與圓C相離，沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線m2：，此時(shí)圓心C到直線m2的距離為d2，則.此時(shí)到直線m1與圓C相交，有2個(gè)交點(diǎn)，即圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.故C正確；對(duì)于D：過(guò)Q作出圓C切線QS,連接CS，則.所以切線長(zhǎng).要使切線長(zhǎng)最小，只需最小，即時(shí)，.所以切線長(zhǎng)的最小值為1.故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題紙的橫線上，答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分）
13. 在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)和____________．【答案】35.【解析】【分析】利用遞推公式，分別求出前10項(xiàng)的值，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，又，所以.所以
 故答案為：35.14. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】81【解析】【分析】根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，即可求出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，；即，又，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以所以；所以；所以當(dāng)時(shí)，是以3為公比的等比數(shù)列；
所以；所以.故答案為：81.15. 已知為等比數(shù)列，且，若，則______．【答案】2021【解析】【分析】根據(jù)為等比數(shù)列，，利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合，得到求解．【詳解】因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，，所以.因?yàn)?/span>，所以．同理可得，所以，，.故答案為：202116. 設(shè)等差數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，若數(shù)列也為等差數(shù)列，則______；的最大值是______.【答案】    ①.     ②. 121【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，解得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得，，進(jìn)而得出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，解得，，．，令，則，在時(shí)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)該式最大，此時(shí)的為121．故答案為：；121.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17. （1）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為.若，求公比.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由等比數(shù)列的求和公式求解即可；【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知：，所以，所以，所以，
所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是；（2）若，則，所以，當(dāng)時(shí)，由得，，所以，解得；18. 已知遞增的等比數(shù)列滿足，且是和的等差中項(xiàng).數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，列方程組求出即得解.求出等差數(shù)列的公差即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法即可得出．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為．由已知得　代入可得．
于是．故，解得或．又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，故，.設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為．所以.所以.【小問(wèn)2詳解】解：由題得.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19. 在①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且__________.（1）求角；（2）若點(diǎn)滿足，且線段，求的最大值.【答案】（1）.    （2）6.【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理邊化角結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系可得答案；選②，利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式可得，求得答案.（2）由，可得,利用線定理可得，結(jié)合基本不等式可推出，即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】選①，由 及正弦定理可得: ,所以， ，因?yàn)?/span> ，所以 ，則,所以 故；選②，由 及正弦定理可得 ，所以，，∵ ，所以 ，則.【小問(wèn)2詳解】如圖：點(diǎn)滿足，則,故，又，故，即，即，又 ，所以，當(dāng)其僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即 ，故，即得最大值為6.20. 如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2EF＝4，．
（1）求證：；（2）求直線AE與平面BCF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得，利用線面平行判定定理證明平面，結(jié)合圖形即可證明；(2)取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則、，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出線面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以；【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，由，得，且，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面，由平面，得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，
則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以，，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.21. 已知數(shù)列滿足，.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，    （2）【解析】【分析】（1）依題意可得，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）可得，再分為偶數(shù)和奇數(shù)兩類情況并結(jié)合裂項(xiàng)求和法討論即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?/span>是單調(diào)遞減的，所以． 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，， 又是單調(diào)遞增的， 因?yàn)?/span>，所以．
要使存在，使，只需，即， 故的取值范圍是．22. 已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形.（1）求橢圓的方程;（2）直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上移動(dòng),連接交橢圓于兩點(diǎn),過(guò)作的垂線交軸于,求面積的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線求得橢圓的焦點(diǎn),根據(jù)一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成正三角形可求得,即可得橢圓方程.(2)根據(jù)題意可判斷直線斜率存在且不為0,設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立求得,根據(jù)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),用斜率公式求得坐標(biāo),再用點(diǎn)到直線的公式求得三角形高,用面積公式將面積寫出,分離常數(shù),變?yōu)榉e為定值的形式,再用基本不等式即可.【小問(wèn)1詳解】解:由題知拋物線的準(zhǔn)線為,,因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;【小問(wèn)2詳解】由(1)得橢圓的方程為,
垂線交軸于,的斜率存在,連接交橢圓于兩點(diǎn),的斜率不為0,不妨設(shè),則,聯(lián)立,即,,,設(shè),,,解得:,到直線的距離為:,
,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,故面積的最小值為.
 

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