2022-2023學年河北省衡水市第十三中學高二下學期質(zhì)檢數(shù)學試題 一、單選題1．若，則（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由二項分布的方差公式求解即可.【詳解】因為，所以.故選：C.2．已知，則（    ）A．0.99 B．0.01 C．0.09 D．0.9【答案】A【分析】利用對立事件的概率公式計算作答.【詳解】依題意，.故選：A3．已知變量關(guān)于的回歸直線方程為，相關(guān)系數(shù)為，則下列選項正確的是（    ）A．若，則與是正相關(guān)B．若接近，則表示與的相關(guān)性很強C．若，則D．若變量增大一個單位，則變量就一定增加個單位【答案】C【分析】根據(jù)回歸方程和相關(guān)系數(shù)的定義逐項判斷即可．【詳解】對于A：若，則與是正相關(guān)，故A錯誤；對于B：若接近，則表示與的相關(guān)性很強，故B錯誤；對于C：若，則與是正相關(guān)，則，故C正確；對于D：線性回歸方程為估計值，不知準確值，故D錯誤．故選：C．4．已知隨機變量的分布列為012Pa若，則（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由概率和為1可確定，即可確定，后由方差性質(zhì)可得答案.【詳解】由，得，則，．因為，所以．故選：5．公司要從3名男性員工和5名女性員工中隨機選出3人去出差，設(shè)抽取的人中女性員工的人數(shù)為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式列式計算作答.【詳解】依題意，.故選：A6．預(yù)制菜指以各類農(nóng)、畜、禽、水產(chǎn)品為原輔料，配以調(diào)味料等輔料經(jīng)預(yù)選、調(diào)制等工藝加工而成的半成品．近幾年預(yù)制菜市場規(guī)模快速增長，某城市調(diào)查近4個月的預(yù)制菜市場規(guī)模y（萬元）得到如表所示的數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)得到y關(guān)于x的非線性回歸方程．x1234y按照這樣的速度，預(yù)估第6個月的預(yù)制菜市場規(guī)模是（    ）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】D【分析】令，則，求出，，根據(jù)必過求出，再代入計算可得.【詳解】令，則，可得關(guān)于的數(shù)據(jù)如下：1234所以，，又必在回歸方程上，所以，解得，所以，當時，即預(yù)估第6個月的預(yù)制菜市場規(guī)模是萬元.故選：D7．某班書法興趣小組有6名男生和4名女生，美術(shù)興趣小組有5名男生和5名女生．從書法興趣小組中任選2人，與原來的美術(shù)興趣小組成員組成新的美術(shù)興趣小組，然后再從新的美術(shù)興趣小組中任選1人，則選中的人是男生的概率為（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)“從書法興趣小組中任選的2人均是男生”，“從書法興趣小組中任選的2人為1男1女”，“從書法興趣小組中任選的2人均是女生”，由古典概率公式求出，再由條件概率和全概率公式求解即可.【詳解】記A＝“從新的美術(shù)興趣小組中任選的1人為男生”，“從書法興趣小組中任選的2人均是男生”，“從書法興趣小組中任選的2人為1男1女”，“從書法興趣小組中任選的2人均是女生”，則，，，．故選：C.8．放假伊始，8名同學相約前往某門店體驗沉浸式角色扮演型劇本游戲，目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中角色各1人，角色2人.已知這8名同學中有4名男生，4名女生，店主讓他們8人分成兩組先后參加游戲，其中角色不可同時為女生，角色至少有一名女生，則他們不同的選擇方式共有（    ）A．2376種 B．4752種 C．9504種 D．1584種【答案】B【分析】根據(jù)三個角色的要求進行分組，然后計算出他們不同的選擇方式.【詳解】分組方法1：一組角色兩個男生、角色男女；另一組角色男女、角色女；方法數(shù)有：.分組方法2：一組男女；另一組男女；方法數(shù)有：.所以他們不同的選擇方式共有.故選：B 二、多選題9．若，則，．已知，且，則（    ）．A． B．C． D．【答案】AC【分析】由正態(tài)分布的對稱性求出，再由原則求解即可.【詳解】因為，且，所以，解得．．故選：AC．10．已知，則（    ）A．B．C．展開式系數(shù)中最大D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法計算判斷ABD；求出展開式的通項公式，再建立不等式組求解判斷C作答.【詳解】令，當時，，A正確；當時，，當時，，因此，B錯誤；展開式的通項為，設(shè)第項的系數(shù)最大，顯然且，于是，即，整理得，解得，而為整數(shù)，則，所以展開式系數(shù)中最大，C錯誤；當時，，D正確.故選：AD11．如圖，這是整齊的正方形道路網(wǎng)，其中小明、小華，小齊分別在道路網(wǎng)臂的A，B，C的三個交匯處，小明和小華分別隨機地選擇一條沿道路網(wǎng)的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，去往B地和A地，小齊保持原地不動，則下列說法正確的有（    ）  A．小明可以選擇的不同路徑共有20種 B．小明與小齊能相遇的不同路徑共有12種C．小明與小華能相遇的不同路徑共有164種 D．小明、小華、小齊三人能相遇的概率為【答案】ACD【分析】對于A：分析從A到B的路徑組成，結(jié)合組合數(shù)運算求解；對于B：分析小明與小齊能相遇的路徑組成，結(jié)合組合數(shù)運算求解；對于C：討論小明與小華相遇的點，根據(jù)對稱性結(jié)合組合數(shù)運算求解；對于D：根據(jù)對稱性結(jié)合古典概型運算求解.【詳解】對于選項A：小明從A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小明可以選擇的不同路徑共有種，故A正確；對于選項B：小明與小齊相遇，則小明經(jīng)過C，小明從A經(jīng)過C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為，再從C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為，所以小明與小齊能相遇的不同路徑共有種，B不正確；對于選項C：小明與小華的速度相同，故雙方相遇時都走了3步，則小明與小華相遇的點為正方形過點C的對角線上的四個點，不同路徑共有種，C正確；對于選項D：小明從A到B的不同路徑共有種，小華從B到A的不同路徑共有種，所以一共有400種，則小明、小華、小齊三人相遇的概率，D正確．故選：ACD.12．若不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值可能為（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】將不等式變形為，然后由指數(shù)切線不等式得，再構(gòu)造函數(shù)求出其最小值即可求解.【詳解】因為，所以，則．令，則．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故，即，從而，當且僅當時，等號成立．又，所以，則，所以．令，則．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故，且當時，.故選：ABD． 三、填空題13．已知與獨立，且，則      .【答案】0.35/【分析】利用獨立事件的概率公式計算作答.【詳解】因為與獨立，，所以.故答案為：0.3514．一輛列車沿直線軌道前進，從剎車開始到停車這段時間內(nèi)，測得剎車后秒內(nèi)列車前進的距離為米，若列車剎車后30秒車停下來，則剎車過程中列車前進了        米．【答案】405【分析】求的導(dǎo)數(shù)，即得速度v的表達式，令即可求得m的值，即可求得答案.【詳解】由題意得，即，故令，故（米），故答案為：40515．設(shè)為兩個事件，若事件和事件同時發(fā)生的概率為，在事件發(fā)生的前提下，事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為      .【答案】/0.625【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計算作答.【詳解】因為，而，所以.故答案為： 四、雙空題16．《奪冠》這部影片講述的是中國女排從1981年首奪世界冠軍到2016年里約奧運會生死攸關(guān)的中巴大戰(zhàn)，詮釋了幾代女排人歷經(jīng)浮沉卻始終不屈不撓、不斷拼搏的精神．某排球賽采用五局三勝制（先勝三局者獲勝），前4局每局25分，第5局15分．在每局的每一個回合中，贏的球隊獲得1分，輸?shù)那蜿牪坏梅郑蚁乱换睾系陌l(fā)球權(quán)屬于得分方．經(jīng)過統(tǒng)計，甲、乙兩支球隊在前4局比賽中，甲每局獲勝的概率為，各局相互獨立且互不影響，在第5局每一個回合中，輸贏的情祝如下：當甲隊擁有發(fā)球權(quán)時，甲隊該回合獲勝的概率為，當乙隊擁有發(fā)球權(quán)時，甲隊該回合獲勝的概率為，那么在第5局開始之前甲隊不輸?shù)母怕蕿?/span>       ；若兩支球隊比拼到第5局時，甲隊擁有發(fā)球權(quán)，則甲隊在前3個回合中至少獲得2分的概率為        【答案】          【分析】在第5局開始之前甲隊不輸?shù)那闆r包括了甲勝，甲勝，甲平，再由分類法計算原理和分步乘法計數(shù)原理即可求出甲隊不輸?shù)母怕剩辉谇?/span>3個回合中，甲隊至少獲得2分對應(yīng)的勝負情況為:勝勝負，勝負勝，負勝勝，勝勝勝，共4種情況，再由分類法計算原理和分步乘法計數(shù)原理即可求出甲隊不輸?shù)母怕?/span>.【詳解】因為在第5局開始之前甲隊不輸?shù)那闆r包括了甲勝，甲勝，甲平，所以甲隊不輸?shù)母怕?/span>．在前3個回合中，甲隊至少獲得2分對應(yīng)的勝負情況為:勝勝負，勝負勝，負勝勝，勝勝勝，共4種情況，對應(yīng)的概率分別記為，則，，，所以甲隊在前3個回合中至少獲得2分的概率．故答案為：；. 五、解答題17．已知的展開式中各項的系數(shù)和與各項的二項式系數(shù)和的和為275．(1)求n的值；(2)求展開式中含項的系數(shù)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用賦值法與二項式系數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的方程，從而得解；（2）利用二項式定理求得的展開通項公式，由此得解.【詳解】（1）令，則的展開式中各項的系數(shù)和為，又的二項式系數(shù)和為，所以，令，，易知單調(diào)遞增，且，故．（2）由（1）得，又展開式的通項公式為，令，得，所以的展開式中含項的系數(shù)為．18．某單位在當?shù)囟c幫扶某村種植一種草莓，并把這種原本露天種植的草莓搬到了大棚里，獲得了很好的經(jīng)濟效益.根據(jù)資料顯示，產(chǎn)出的草莓的箱數(shù)（單位：箱）與成本（單位：千元）的關(guān)系如下：10203040608024791418與可用回歸方程（其中為常數(shù)）進行模擬.某農(nóng)戶種植的草莓主要以300元/箱的價格給當?shù)卮笮蜕坛┴?，多余的草莓全部?/span>200元/箱的價格銷售給當?shù)匦∩特?/span>. (1)若該農(nóng)戶1月份草莓的種植量為100箱，全部被當?shù)卮笮蜕坛召?，試預(yù)測該農(nóng)戶的利潤是多少元（精確到個位）；(2)據(jù)統(tǒng)計，往年1月份當?shù)卮笮蜕坛葺男枨罅繛?/span>150箱，根據(jù)回歸方程以及往年商超草莓的需求情況進行預(yù)測，求今年1月份農(nóng)戶草莓的種植量為200箱時所獲得的利潤.（最后結(jié)果精確到個位）附：在線性回歸直線中，.【答案】(1)元；(2)元. 【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法公式求出回歸直線方程，再求出預(yù)測值作答.（2）由（1）的回歸方程求出成本價，再求出利潤作答.【詳解】（1）依題意，，則，，于是，，因此回歸方程為，當時，成本為，所以預(yù)測該農(nóng)戶的利潤是元.（2）由（1）知，農(nóng)戶草莓的種植量為200箱的成本為，所以所獲利潤為元.19．某校為增強學生保護生態(tài)環(huán)境的意識，舉行了以“要像保護眼睛一樣保護自然和生態(tài)環(huán)境”為主題的知識競賽．比賽分為三輪，每輪先朗誦一段愛護環(huán)境的知識，再答道試題，每答錯一道題，用時額外加秒，最終規(guī)定用時最少者獲勝．已知甲、乙兩人參加比賽，甲每道試題答對的概率均為，乙每道試題答對的概率均為，甲每輪朗誦的時間均比乙少秒，假設(shè)甲、乙兩人答題用時相同，且每道試題是否答對互不影響．(1)若甲、乙兩人在第一輪和第二輪答對的試題的總數(shù)量相等，求最終乙獲勝的概率；(2)請用統(tǒng)計學的知識解釋甲和乙誰獲勝的可能性更大．【答案】(1)(2)甲獲勝的可能性更大，理由見解析 【分析】（1）分析可知第三輪答題中乙要比甲多答對道題以上才能獲勝，對甲、乙答對試題的數(shù)量進行分類討論，結(jié)合獨立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）設(shè)甲在比賽中答錯的試題數(shù)量為，乙在比賽中答錯的試題數(shù)量為，分析可知，，計算出兩人因答錯試題而額外增加的時間的期望值，并算比較兩人所用的時間的期望的大小，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因為甲、乙兩人在第一輪和第二輪答對的試題的總數(shù)量相同，且甲每輪朗誦的時間均比乙少秒，所以，第三輪答題中乙要比甲多答對道題以上才能獲勝，若乙答對道試題，甲答對道試題，概率為，若乙答對道試題，甲答對道或道試題，概率為，所以，乙獲勝的概率為.（2）解：設(shè)甲在比賽中答錯的試題數(shù)量為，乙在比賽中答錯的試題數(shù)量為，則，，由二項分布的期望公式可得，，則因甲答錯試題額外增加的時間的期望值為秒，乙因答錯試題額外增加的時間的期望值為秒，因為三輪中，甲朗誦的時間比乙少秒，所以，甲最后所用的時間的期望比乙少秒，所以，甲獲勝的可能型更大.20．為加快推動旅游業(yè)復(fù)蘇，進一步增強居民旅游消費意愿，山東省人民政府規(guī)定自2023年1月21日起至3月31日繼續(xù)在全省實施景區(qū)門票減免，全省國有A級旅游景區(qū)免首道門票，鼓勵非國有A級旅游景區(qū)首道門票至少半價優(yōu)惠．某機構(gòu)為了了解游客對全省實施景區(qū)門票減免活動的滿意度，從游客中按年齡40周歲及以下和40周歲以上隨機抽取100人，其中年齡在40周歲及以下的有40人，且有的游客表示滿意，年齡在40周歲以上的游客中表示滿意的人數(shù)與年齡在40周歲及以下的游客中表示滿意的人數(shù)相同．(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對全省實施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)？ 不滿意滿意總計40周歲及以下   40周歲以上   總計   (2)按照年齡和滿意與否采用分層抽樣從這100名游客中隨機抽取10名，進一步了解游客對本次活動的看法，再從這10名游客中隨機選取3名作為代表對本次活動提出改進措施，記選取的3名代表中“40周歲及以下表示滿意”與“40周歲以上表示滿意”的人數(shù)差的絕對值為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能認為對全省實施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷；（2）利用分層抽樣求出各組的人數(shù)，則的可能取值為、、、，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望.【詳解】（1）依題意年齡在周歲及以下且滿意的有人，則不滿意的有人，年齡在周歲以上且滿意的有人，不滿意的有人，所以列聯(lián)表如下： 不滿意滿意總計40周歲及以下40周歲以上總計所以，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認為對全省實施景區(qū)門票減免活動是否滿意與年齡有關(guān)聯(lián).（2）依題意周歲及以下表示滿意的抽取人，表示不滿意的抽取人，周歲以上表示滿意的抽取人，表示不滿意的抽取人，則的可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列為：所以.21．如圖，一個倉庫由上部屋頂和下部主體兩部分組成，上部屋頂?shù)男螤顬檎睦忮F，，下部主體的形狀為正四棱柱．已知上部屋頂?shù)脑靸r與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為，下部主體的造價與高度成正比，比例系數(shù)為．欲建造一個上、下總高度為，的倉庫．現(xiàn)存兩個求總造價的方案：(1)設(shè)，將總造價表示為的函數(shù)；(2)設(shè)屋頂側(cè)面與底面所成的二面角為，將總造價表示為的函數(shù)．請從上述兩個方案中任選一個，求出總造價的最小值．【答案】(1)①；②.(2) 【分析】（1）①求出得出上部屋頂造價，由得出下部主體造價，進而得出總造價；②由二面角的定義結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系得出總造價；（2）選擇①：令，利用導(dǎo)數(shù)得出總造價的最小值；選擇②：令，由導(dǎo)數(shù)得出總造價的最小值.【詳解】（1）解：①由題意可知，，則，取的中點，連接、，因為，為的中點，則，所以，，所以，故上部屋頂造價為.因為，所以下部主體造價為.故總造價為.②如圖，設(shè)的中點為，連接，則.由于平面，平面，則有，因為，為的中點，則，因為，、分別為、的中點，則，則，在中，由二面角的定義可知，則有，，所以上部屋頂面積為，下部主體的高度為，所以倉庫的總造價為，其中.（2）解：選擇①：總造價為，令，.當時，；當時，.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故總造價取最小值為.選擇②：設(shè)，所以.令，得，令，，則.則當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；所以當時，有最小值，此時總造價取最小值為.22．甲，乙兩人進行了一次羽毛球比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利比賽結(jié)束．假設(shè)在一局比賽中若甲先發(fā)球，則這局甲獲勝的概率是；若乙先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是．已知第1局比賽甲先發(fā)球，以后每局比賽由前1局獲勝的一方先發(fā)球，且各局比賽結(jié)果相互獨立．每局比賽都分出勝負．(1)求比賽只進行3局就結(jié)束的概率；(2)記比賽結(jié)束后，甲獲勝的局數(shù)為X，求X的分布列及期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，期望為. 【分析】（1）分兩種情況（甲獲勝和乙獲勝）討論，利用獨立事件的概率公式求解；（2）由題意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，再求出對應(yīng)的概率即得解.【詳解】（1）比賽只進行3局就結(jié)束的情況有兩種：第一種情況是甲3：0獲勝，其概率，             第二種情況是乙3：0獲勝，其概率，       故比賽只進行3局就結(jié)束的概率.（2）由題意可知X的所有可能取值是0，1，2，3．，            ，            ，，           ，                   則X的分布列為X0123P故 

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