2023年廣西高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（4月份）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  若復(fù)數(shù)滿足方程，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  某市商品房調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取名市民，針對(duì)其居住的戶型結(jié)構(gòu)和是否滿意進(jìn)行了調(diào)查，如圖，被調(diào)查的所有市民中二居室住戶共戶，所占比例為，四居室住戶占如圖，這是用分層抽樣的方法從所有被調(diào)查的市民對(duì)戶型是否滿意的問卷中，抽取的調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法錯(cuò)誤的是(    )

 A.
B. 被調(diào)查的所有市民中四居室住戶共有戶
C. 用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有戶
D. 用分層抽樣的方法抽取的市民中對(duì)三居室滿意的有戶4.  若二項(xiàng)式的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，在中，，，，，則(    )A.  B.  C.  D. 6.  函數(shù)的圖像大致為(    )A.  B.
C.  D. 7.  函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，則整數(shù)的值為(    )A. ， B. ， C. ， D. ，8.  高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，，，共有組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則(    )A.  B.  C.  D. 9.  在橢圓中，已知焦距為，橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離的和等于，且，則的面積為(    )A.  B.  C.  D. 10.  雙曲線：的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱若直線，的斜率之積為，則的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知球的體積為，高為的圓錐內(nèi)接于球，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球和圓錐所得的截面面積分別為，，若，則(    )A.  B.  C.  D. 12.  函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)結(jié)論：
的一個(gè)周期為；
的最小值為；
圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為；
在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知數(shù)列是等差數(shù)列，并且，，若將，，，去掉一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)依次為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則為        ．14.  若直線與曲線相切，則        ．15.  在四棱錐中，底面為梯形，，，點(diǎn)在側(cè)棱上，點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的體積為定值，則        ．16.  在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，滿足：：的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，若直線：上存在點(diǎn)，在曲線上存在兩點(diǎn)，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______ ． 三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
為了進(jìn)一步提升基層黨員自身理論素養(yǎng)，強(qiáng)化基層黨組織建設(shè)質(zhì)量，市委組織部舉辦了主題為“夯實(shí)基礎(chǔ)抓黨建，心懷使命立新功”的黨建主題知識(shí)競(jìng)賽滿分分從參加競(jìng)賽的黨員中采用分層抽樣的方法，抽取若干名黨員，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)得到下面的頻率分布表： 成績(jī)分頻率已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的有人．
將成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)的定義為“良好”請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)，說明你的理由．
若在抽取的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的黨員中任意抽取名黨員進(jìn)行黨建知識(shí)宣講，設(shè)為抽到的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．  男黨員女黨員總計(jì)優(yōu)秀   良好  總計(jì)  ，．
  18.  本小題分
如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，，，，，四邊形為矩形．
求證：平面平面；
線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，確定點(diǎn)的位置并加以證明．
19.  本小題分
在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
求；
若，求的最小值．20.  本小題分
己知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，且動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，記圓心的軌跡為曲線．
求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，為圓與曲線的公共點(diǎn)，若直線的斜率，且，求的值．21.  本小題分
已知函數(shù)，，若在處取得極小值．
求實(shí)數(shù)的取值范圍；
若，求證：．22.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為其中為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)曲線的極坐標(biāo)方程為．
求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；
過點(diǎn)作直線的垂線交曲線于，兩點(diǎn)在軸上方，求的值．23.  本小題分
已知函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，解不等式；
若的值域?yàn)?/span>，證明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
因?yàn)?/span>，所以，
故，解得：．
故選：．
求出，，根據(jù)，得到，從而得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
本題主要考查了集合并集的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：復(fù)數(shù)滿足方程，
則，即．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合配方法，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：因?yàn)楸徽{(diào)查的所有市民中二居室住戶共戶，
所占比例為，
所以，四居室住戶有戶，三居室住戶有戶，故A，B正確；
用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有戶，故C正確；
用分層抽樣的方法抽取的市民中對(duì)三居室滿意的有戶，故D錯(cuò)誤．
故選：．
根據(jù)餅圖、直方圖分析樣本總量及四居室住戶數(shù)，結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)分析二居室、三居室住戶數(shù)及滿意度即可．
本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：的展開式共有項(xiàng)，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
，
，
的第項(xiàng)為，，
令，解得：，
，即：展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．
故選：．
運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)求出的值，再運(yùn)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可．
本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：，，
，

．
故選：．
利用平面向量的數(shù)乘與加減運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為的數(shù)量積求解．
本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：的定義域?yàn)?/span>，
，
故函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
，，，排除．
故選：．
函數(shù)為奇函數(shù)，排除，計(jì)算，排除，得到答案．
本題主要考查了函數(shù)奇偶性在函數(shù)圖象判斷中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：函數(shù)，可得，
當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
若在上無極值點(diǎn)，則或或，
時(shí)，在上無極值點(diǎn)，
時(shí)，在上存在極值點(diǎn)．
因?yàn)?/span>是整數(shù)，故或，
故選：．
求出導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的極值所在位置，求解的值即可．
本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的判斷，是中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由，
函數(shù)，
，
令，
則，
，．
故選：．
根據(jù)倒序相加法，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，還考查了倒序相加求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：由題可知，焦距，則，
又橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離的和等于，
即，所以，
在中，，
由余弦定理得：，
整理得，
所以，則，
故的面積．
故選：．
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，即可求解．
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：由題意知雙曲線左頂點(diǎn)為，設(shè)，則，
則有，
又，將代入中，得，
即，所以，故，
故選：．
設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合，即可求得答案．
本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】【分析】本題考查圓錐的外接球，考查空間想象能力，屬于中檔題．
根據(jù)給定條件，求出球半徑，平面截球所得截面小圓半徑，圓錐底面圓半徑，再求出平面截圓錐所得的截面等腰三角形底邊長(zhǎng)及高即可計(jì)算作答．【解答】解：設(shè)球半徑為，由得，
平面截球所得截面小圓半徑，由得，
因此，球心到平面的距離，
而球心在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，
因圓錐的高為，則球心到圓錐底面圓的距離為，
于是得圓錐底面圓半徑，
令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)為弦中點(diǎn)，如圖，

依題意，，弦，
所以．
故選C．  12.【答案】 【解析】解：由題意可得：
，
顯然，故正確；
，
令得，此時(shí)單調(diào)遞增；
令得，此時(shí)單調(diào)遞減；
即在和時(shí)取得極小值，此時(shí)函數(shù)值均為，即正確；
而時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，即正確；
對(duì)于，故是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
由的周期性可得的對(duì)稱中心為，事實(shí)上，即錯(cuò)誤，
綜上正確的是：．
故選：．
化簡(jiǎn)，對(duì)于可以利用周期性定義判定；對(duì)于，均利用導(dǎo)數(shù)法判定其單調(diào)性得出結(jié)果；對(duì)于，可通過判定的奇偶性得出結(jié)果．
本題考查三角函數(shù)綜合，難度較大．關(guān)鍵在于先化簡(jiǎn)得，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值時(shí)注意統(tǒng)一變量及整體代換的意識(shí)，減小計(jì)算量．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由可得，即，
又，可得，
則，，，，
所以，，，去掉一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)依次為，，，
為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則公比為，
則，
故答案為：．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，可得公差，進(jìn)而得到等比數(shù)列的公比，可得所求值．
本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由曲線可得，
則，解得，所以．
故答案為：．
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：由于三棱錐的體積為定值，
所以三棱錐的體積為定值轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，
而在上運(yùn)動(dòng)，
所以上的點(diǎn)到平面的距離都相等，
所以平面，
記平面與平面的交點(diǎn)為，
由平面，平面，平面，
所以，故，
由于，所以∽，
所以，
所以．
故答案為：．
利用等體積得到三棱錐的體積為定值轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，平面，記平面與平面的交點(diǎn)為，利用∽即可求解．
本題考查了三棱錐體積的應(yīng)用，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)，因?yàn)?/span>，，
又因?yàn)?/span>：：，則，
平方得，
化簡(jiǎn)可得：，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
因?yàn)橹本€：過定點(diǎn)，
若在直線：上存在點(diǎn)，在上存在兩點(diǎn)，，使得，
當(dāng)，為圓的切點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到圓心的距離達(dá)到最大，此時(shí)為，
所以點(diǎn)到圓心的距離小于等于，
也即，，
解之可得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：．
先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后上存在兩點(diǎn)，，使得成立，則點(diǎn)到圓心的距離小于等于，列式計(jì)算可求實(shí)數(shù)的范圍．
本題主要考查了軌跡方程的求解，還考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
 17.【答案】解：設(shè)樣本容量為，則，解得，
故成績(jī)優(yōu)秀的黨員人數(shù)為，
成績(jī)良好的黨員人數(shù)為，  男黨員女黨員總計(jì)優(yōu)秀良好總計(jì)，
故沒有的把握認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；
因?yàn)楦?jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>，，內(nèi)的人數(shù)分別為，，，
所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，
，，，
所以的分布列為 故． 【解析】按條件填寫二聯(lián)表，依據(jù)公式計(jì)算即可；
先計(jì)算的所有可能取值為，，，依次計(jì)算其對(duì)應(yīng)概率，得出分布列，按照離散型隨機(jī)變量的均值計(jì)算即可．
本題主要考查了列聯(lián)表的應(yīng)用，還考查了離散型隨機(jī)變量的期望的求解，屬于中檔題．
 18.【答案】證明：由平面幾何的知識(shí)得，，
又，在中，滿足，
為直角三角形，且．
四邊形為矩形，．
由，，，
得平面．
又平面，
平面平面．
解：存在點(diǎn)，使得二面角為大小為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
事實(shí)上，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，由，即，得．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
則，取，得．
平面的一個(gè)法向量為．
二面角為大小為，
．
解得 或舍去．
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角為大小為． 【解析】推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面．
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出存在點(diǎn)，使得二面角為大小為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
本題考查面面垂直的證明，考查滿足二面角的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
 19.【答案】解：由，可得，
由正弦定理得，即，
由余弦定理，得，因?yàn)?/span>，可得；
由知，
又由余弦定理得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以
，
所以的最小值為． 【解析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知關(guān)系式，再結(jié)合余弦定理即可求解；利用余弦定理以及基本不等式得出，然后化簡(jiǎn)，利用正弦定理即可求解．
本題考查了解三角形問題，涉及到正余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
 20.【答案】解：設(shè)，則點(diǎn)到軸的距離為，
因?yàn)閳A被軸截得的弦長(zhǎng)為所以，又，
所以，
化簡(jiǎn)可得，
所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率，
所以可設(shè)直線的方程為，
由及消去可得，
所以，，
所以，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，又，
所以直線的斜率為，所以，
所以，
所以，
易得圓心到直線的距離，
由圓經(jīng)過點(diǎn)，可得，
所以，
整理可得，
解得或，
所以或，又，
所以． 【解析】設(shè)，由圓被軸截得的弦長(zhǎng)為可知，結(jié)合化簡(jiǎn)后即可知曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
設(shè)直線的方程為，與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，可求出弦長(zhǎng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由得，又由聯(lián)立后可求出進(jìn)而求出所求的值．
本題考查了曲線方程求解，考查了圓和直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
 21.【答案】解：，，
若，則，在上單調(diào)遞增，沒有極小值，不符合題意；
若時(shí)，令，，則，
故在在上單調(diào)遞增，
又，，
根據(jù)零點(diǎn)判定定理可得存在，使得，，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，符合題意，
綜上，的范圍，
證明：由時(shí)，存在，使得，即，
又，即，
，
，
，即，
令，，則，
故在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，
令，，，
故在上單調(diào)遞增，，
故，，
令，，，
故在上單調(diào)遞增，，
故，，
所以，
由，可得． 【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值的關(guān)系對(duì)進(jìn)行分類討論，即可求解；
由時(shí)，存在，使得，即，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)，通過不等式放縮，轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的值域，可證．
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值存在條件及應(yīng)用，還考查了利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
 22.【答案】解：由題意得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得，
則直線的普通方程為．
由得，即．
故曲線的直角坐標(biāo)方程為．
設(shè)直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，
代入得．
設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，對(duì)應(yīng)參數(shù)為．
則，，且，．
． 【解析】求得的直角坐標(biāo)，代入直線的參數(shù)方程求得，進(jìn)而得到的普通方程；由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)可得曲線的直角坐標(biāo)方程；
求得直線的參數(shù)方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，計(jì)算可得所求值．
本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系，以及參數(shù)方程和普通方程、極坐標(biāo)方程的互化，考查直線方程和拋物線的聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 23.【答案】解：當(dāng)時(shí)，不等式為，
當(dāng)時(shí)，不等式化為，無解；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，故；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，故，
綜上，不等式的解集為．
證明：，當(dāng)且僅當(dāng)與異號(hào)時(shí)，取得最小值，
的值域?yàn)?/span>，且，，故．
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
，
又當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
，，
，． 【解析】由絕對(duì)值的定義分段去絕對(duì)值求解．
由絕對(duì)值不等式求函數(shù)的值域可確定，再配湊均值不等式的形式，兩次用均值不等式即可證明．
本題考查絕對(duì)值不等式的解法，利用基本不等式證明不等式，屬于中檔題．
 

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