2023年四川省德陽市重點學(xué)校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  已知集合，，，則(    )A.  B.
C.  D. 2.  復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  “”是“”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4.  若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為(    )

 A.  B.  C.  D. 5.  在中，角，，所對邊分別記為，，，若，，則面積的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 6.  分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦曼德爾布羅在世紀年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路按照如圖所示的分形規(guī)律可得如圖所示的一個樹形圖記圖中第行黑圈的個數(shù)為，若，則(    )
A.  B.  C.  D. 7.  中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排人若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有(    )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種8.  函數(shù)的圖象可能是(    )A.  B.  C.  D. 9.  某正四棱臺形狀的模型，其上下底面的面積分別為，，若該模型的體積為，則該模型的外接球的表面積為(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知橢圓為橢圓的右焦點，曲線交橢圓于，兩點，且，則橢圓的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知函數(shù)，其中，若函數(shù)滿足以下條件：
函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；
對任意恒成立；
經(jīng)過點的任意直線與函數(shù)恒有交點，
則的取值范圍是(    )A.  B.
C.  D. ，12.  定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，且在上有若實數(shù)滿足，則的取值范圍為(    )A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知向量，則向量的夾角的余弦值為______ ．14.  已知，若，且，則 ______ ．15.  已知數(shù)列滿足：對于任意有，且，，其中若，數(shù)列的前項和為，則 ______ ．16.  已知圓的圓心在拋物線上運動，且圓過定點，圓被軸所截得的弦為，設(shè)，，則的取值范圍是______ ．三、解答題（本大題共7小題，共84.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且．
求；
點在邊上，且，，求面積的最大值．18.  本小題分
如圖，四棱錐的底面為矩形，平面，，，為上一點，為的中點，且三棱錐與四棱錐的體積比為：．
證明：平面；
若與平面所成角為，求二面角的余弦值．
19.  本小題分
某校舉行“強基計劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評競賽，競賽以抽盲盒答題的形式進行，現(xiàn)有甲、乙兩個盲盒箱，甲中有個選擇題和個填空題，乙中有個選擇題和個填空題，競賽可以以不同的方式進行．
若已知班選擇了甲箱，且派出人參賽，每個人盲抽一個題作答，答完后仍放回甲箱每個人答對選擇題的概率為，答對得分，答錯得分，每個人答對填空題的概率為，答對得分，答錯得分，求班總得分的數(shù)學(xué)期望．
若已知班班長先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后班班長再從乙箱中抽取一道題目，已知班班長從乙箱中抽取的是選擇題，求班班長從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．20.  本小題分
橢圓的短軸長為，離心率為，過點的直線與橢圓交于，兩點．
求橢圓的方程；
橢圓上是否存在點，使得直線，與直線分別交于點，，且？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21.  本小題分
帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，已知在處的階帕德近似為．
注：，，，，
求實數(shù)，的值；
求證：；
求不等式的解集，其中．22.  本小題分
在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，點的極坐標為，曲線的極坐標方程為，曲線，的交點為，．
求和的直角坐標方程；
圓經(jīng)過，，三點，過原點的兩條直線，分別交圓于，和，四點，求證：．23.  本小題分
已知函數(shù)．
若，求不等式的解集；
對于任意的正實數(shù)，，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
，故A錯；
，故B對；
或，故C錯；
或，故D錯．
故選：．
通過解不等式，求出集合、，求即得到答案．
本題考查了不等式的解法和集合的運算，還考查了計算能力，屬簡單題．
 2.【答案】 【解析】解：由題得，
即復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限．
故選：．
根據(jù)復(fù)數(shù)運算及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：當，則，則，則，故充分性不成立，
當時，則，故必要性成立，
則“”是“”的必要不充分條件，
故選：．
根據(jù)三角函數(shù)求值以及充分條件與必要條件相關(guān)知識可解．
本題考查三角函數(shù)求值以及充分條件與必要條件相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：初始值，．
，，，否；
 ，，，否；
，，，否；
，，，是，輸出．
因為，
所以輸出的值為．
故選：．
根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)程序執(zhí)行邏輯寫出程序執(zhí)行過程，進而得到輸出結(jié)果．
本題主要考查程序框圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：，，
，，
，
，又，
，，，
，
，，
當時，面積有最大值．
故選：．
本題利用正余弦定理的邊角互化，得出邊與邊的長度關(guān)系，再利用三角形面積公式結(jié)合一元二次函數(shù)，求出面積的最大值．
本題考查的是正余弦定理，和一元二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，屬于中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：已知表示第行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第行中的白圈個數(shù)，
由于每個白圈產(chǎn)生下一行的個白圈個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的個白圈個黑圈，
所以，，
又，，，，
，，
，，
，，
，，
，所以．
故選：．
根據(jù)條件，得出，，代入初始值，利用遞推，即可求得的值．
本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系在實際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：若甲，乙都不在天和核心艙，則共有種，
若甲和乙有一人在天和核心艙，則共有種，
所以共有種．
故選：．
分甲乙都不在天和核心艙和甲乙中有一人在天和核心艙求解即可．
本題考查了排列組合的簡單計數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：，即函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除，，
當時，則的右側(cè)，，則，排除，
故選：．
判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用極限思想判斷在的右側(cè)函數(shù)值的符號，進行排除即可．
本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系，以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)正四棱臺形狀的高為，
故，解得，
取正方形的中心為，正方形的中心為，則，

故該模型的外接球的球心在上，設(shè)為點，連接，，，，
設(shè)上底面正方形的邊長為，，則，，解得，
故E，，設(shè)，則，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半徑為，該模型的外接球的表面積為．
故選：．
由棱臺體積得到棱臺的高，并作出輔助線，找到球心位置，利用半徑相等列出方程，求出外接球半徑和表面積．
本題考查了外接球的表面積計算，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)，，，設(shè)，，
聯(lián)立，化簡，，，
，，
，
，
，代入上式化簡得：，
，．
故選：．
設(shè)，，聯(lián)立方程組可得，，進而由已知可得，可求橢圓的離心率．
本題考查橢圓的離心率的求法，屬中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：由函數(shù)可知，函數(shù)的周期為，
由條件對任意恒成立，可知是函數(shù)的一條對稱軸，
結(jié)合條件函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則有，
又，解得，即，
又因為，故，解得，又，
從而或．
當時，；當時，，
由對任意恒成立，，則，
由經(jīng)過點的任意直線與函數(shù)恒有交點，得，
解得，易知，，，
此時由，可得，從而，
由或，得或，
所以或，
故選：．
根據(jù)題意得到函數(shù)的周期為，由得到是函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合可知，，再結(jié)合和即可求解．
本題主要考查整形函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：由，得．
令，則，即為偶函數(shù)．
又時，．
所以在上單調(diào)遞減．
由，
得，即．
又為偶函數(shù)，
所以，
所以，即，
解得，
所以的取值范圍為．
故選：．
根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運用，解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用偶函數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性即可解決抽象不等式，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：因為向量，則，，
所以向量的夾角的余弦值為．
故答案為：．
根據(jù)給定的坐標，求出向量的數(shù)量積及模，再求出夾角余弦作答．
本題主要考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：，
令，則，
則多項式等價為，
對應(yīng)的系數(shù)，
得，
即，
得或，
得或，
又，故實數(shù)的值為．
故答案為：．
利用換元法將多項式進行轉(zhuǎn)化，利用求出對應(yīng)項系數(shù)，建立方程進行求解即可．
本題主要考查多項式系數(shù)的求解，利用換元法將多項式進行轉(zhuǎn)化，利用條件建立方程進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
 15.【答案】 【解析】解：因為，則，
由，，可得，，
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，，，則，
所以，
所以．
故答案為：．
對求導(dǎo)，可證得是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可求出，再由并項求和法求出．
本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)，則，
故圓的方程，
令有，
故，解得，，
故．
設(shè)，因為，
所以，又由余弦定理可得，
所以，
所以，
因為，所以，所以當且僅當時，原式有最大值，
當且僅當時，原式有最小值為，從而的取值范圍為．
故答案為：．
設(shè)，即可表示出圓的方程，從而求出，再設(shè)，由題意知，所以，再由的范圍求出的取值范圍．
本題考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．
 17.【答案】解：，
，即，
，
．
；
由題意得，兩邊平方得，
整理得，
，當且僅當，時，等號成立，
，
故面積的最大值為． 【解析】由正弦定理角化邊，再結(jié)合余弦定理，即可得出答案；
由向量建立等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可得出答案．
本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：證明：連接，，，如圖所示．
因為三棱錐與四棱錐的體積比為：，
所以：：，即．
所以為的中點，
則，，
故AE，
又為的中點，
所以．
因為平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面．

因為面，且，在矩形底面內(nèi)，易知：，，兩兩垂直，
以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
所以為與平面所成角，即，則．
則，
所以，，
設(shè)面的法向量為，則，即，則可取．
而面的一個法向量為，
所以．
由圖知：銳二面角的余弦值為． 【解析】連接，，，由體積比可得，即為的中點，進而可得，再由線面垂直的性質(zhì)、判定證結(jié)論；
先證，，兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，由題設(shè)易知為與平面所成角，求得，進而求面、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值．
本題考查線面垂直的判定定理，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
 19.【答案】解：班在甲箱抽取時，每個人抽到選擇題的概率為，抽到填空題的概率為，
每個人得分的平均值，
班得分的數(shù)學(xué)期望；
因為班班長抽取在先，放回甲箱后再由班班長在乙箱抽取，
所以班班長抽取的結(jié)果與班班長抽取的結(jié)果無關(guān)，
在班班長抽取題時，是不放回的抽取，
所以抽到的是道選擇題的概率． 【解析】先計算班參加競賽的個人中每個人得分的平均分，在根據(jù)數(shù)學(xué)期望的意義求出班得分的數(shù)學(xué)期望；
按照不放回概率思想計算．
本題主要考查了離散型隨機變量的期望，考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．
 20.【答案】解：根據(jù)題意可得，
解得，，，
所以橢圓的方程為．
當直線斜率不為時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
，即，
設(shè)，，，
則，，
直線方程，
令得
，
，
由，得，
所以，
所以，
若，，
所以，與直線的任意性矛盾，
若，則，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以點的坐標或當斜率為時也成立． 【解析】根據(jù)題意可得，解得，，，即可得出答案．
當直線斜率不為時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，設(shè)，，，結(jié)合韋達定理，，直線方程，令得，同理可得，由，得，即，進而可得答案．
本題考查橢圓的方程，直線與橢圓相交問題，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
 21.【答案】解：因為，
所以，，
因為，
所以，，
由題知，，
所以，
解得，；
證明：由知，要證，
即證，
不妨令，則且，
即證當時，，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，
則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當時，，
可得，
即成立，
當時，，
可得，
即成立，
綜上可得當時，，
所以成立，
即證成立；
由題意知，欲使得不等式成立，
則至少有，即或，
首先考慮，
該不等式等價于，
即，
由知成立，
所以使成立的的取值范圍為，
再考慮，
該不等式等價于，
不妨令，函數(shù)定義域為，
可得，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以，
即當時，，
所以當時，，
當時，由可得成立；
當時，由可得不成立，
所以要使成立的的取值范圍為，
綜上可得不等式的解集為． 【解析】由題意，求出，，，，結(jié)合，列出等式求解即可得到實數(shù)和的值；
由知，即證，不妨令，即證時，，設(shè)，對其進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進而即可證明；
結(jié)合所求分析可得，即或，先考慮，該不等式等價于，結(jié)合的結(jié)論即可求證，再考慮，該不等式等價于，令，利用導(dǎo)數(shù)證明當時，，進而可得當時，，再分類討論即可．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；考查了邏輯推理、分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．
 22.【答案】解：曲線的極坐標方程為，
根據(jù)公式，可得：，
所以曲線直角坐標方程為：．
曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，即：．
又，所以曲線的普通方程為．
證明：與聯(lián)立，解得，
故曲線，的交點為，，
因為，，所以點的坐標為．
因為，關(guān)于軸對稱，故圓的方程的圓心在軸上，
設(shè)其方程為，將代入可得，
解得，故圓的方程為：．
將，代入可得，極坐標方程為．
設(shè)直線，的極坐標方程分別為，，，
分別代入圓的極坐標方程得，
，，
，，
所以有． 【解析】利用與得到曲線的極坐標方程，消去參數(shù)得到的直角坐標方程；
先求出圓的方程為：，化為極坐標方程，設(shè)直線，的極坐標方程分別為，，，代入圓的極坐標方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得證．
本題主要考查簡單曲線的極坐標方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 23.【答案】解：當時，不等式，即為不等式為，
當時，可得，解得，所以；
當時，可得成立，所以；
當時，可得的，解得，所以．
綜上得不等式的解集為．
解：因為，為正實數(shù)，且，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值，
又因為，當時取到等號，
要使恒成立，只需，解得或，
即實數(shù)的取值范圍為 【解析】根據(jù)絕對值不等式的解法，分類討論，即可求解；
根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式求得的最大值，再由絕對值的三角不等式求得，列出不等式，即可求解．
本題主要考查不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 

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