挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）             專(zhuān)題20二次函數(shù)與對(duì)稱變換綜合問(wèn)題
【例1】（2021秋?開(kāi)化縣月考）定義：關(guān)于x軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的兩條拋物線叫作“鏡像拋物線”．例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“鏡像拋物線”為y＝﹣（x﹣h）2+k．（1）請(qǐng)寫(xiě)出拋物線y＝（x﹣2）2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo) 　   　，及其“鏡像拋物線”y＝﹣（x﹣2）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo) 　   　．寫(xiě)出拋物線的“鏡像拋物線”為 　   　．（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“鏡像拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B，C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B'，C'，連接BC，CC'，B'C'，BB'．①當(dāng)四邊形BB'C'C為正方形時(shí)，求a的值．②求正方形BB'C'C所含（包括邊界）整點(diǎn)個(gè)數(shù)．（說(shuō)明：整點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）【例2】（2022?鞏義市模擬）已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3 的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），且 OB＝OC．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)0≤x≤4 時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）設(shè)點(diǎn)C'與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCC'與△POB相似，且PC與PO是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例3】（2022?濟(jì)寧二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）圖1中，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過(guò)P，B兩點(diǎn)作直線l交y軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．是否存在這樣的直線l：以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似？若存在，請(qǐng)求出這樣的直線l的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）圖2中，點(diǎn)C和點(diǎn)C'關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)M在拋物線上，且∠MBA＝∠CBC'，求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【例4】（2022?合肥四模）已知拋物線L1：y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)在x軸上，且頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱這兩個(gè)拋物線為“對(duì)稱拋物線”，求拋物線L1對(duì)稱拋物線L2的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是x軸上方的拋物線L2上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，記W＝MN﹣2ON，求W的最大值． 一．解答題（共20題）1．（2022?廣陵區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m為常數(shù)，且m＞0）．（1）求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)A（a，ya）、B（a+2，yb），點(diǎn)A和點(diǎn)B間（含點(diǎn)A，B）的圖象上有一點(diǎn)C，將點(diǎn)C縱坐標(biāo)的最大值和最小值的差記為h．①當(dāng)m＝1時(shí)，若點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱，求h的值；②若存在點(diǎn)A和點(diǎn)B使得h的值是4，則m的取值范圍是 　   　．2．（2022?綠園區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知某二次函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）當(dāng)m＝1時(shí)．①該二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線 　   　．②求該二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)|m|≤x≤|m|時(shí)，若該二次函數(shù)的最大值為4，求m的值．（3）若同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的圓恰好與x軸相切時(shí)，直接寫(xiě)出該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．3．（2022?荷塘區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且（x1＜0＜x2），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求該二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；②定義：若點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上，且點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱點(diǎn)P為這個(gè)函數(shù)的“零和點(diǎn)”，求證：此二次函數(shù)有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”；（2）如圖，過(guò)D、C兩點(diǎn)的直線交x軸于點(diǎn)E，滿足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．4．（2022?綏江縣二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的圖象經(jīng)過(guò)（3，0）．（1）求二次函數(shù)的對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)B，若二次函數(shù)的圖象與線段AB有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．5．（2022?興化市二模）已知一次函數(shù)y＝kx+m的圖象過(guò)點(diǎn)（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函數(shù)y＝x2﹣（m﹣2）x+2m圖象上的兩點(diǎn)．（1）若該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，分別求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)A、B在二次函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足|y1﹣y2|＝1，求m的值；（3）點(diǎn)A、B的位置隨著k的變化而變化，設(shè)點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)路線分別與直線x＝n交于點(diǎn)P、Q，當(dāng)PQ＝2時(shí)，求n的值．6．（2022?三門(mén)峽一模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝　   　；（2）若該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最大值是5，求拋物線的解析式；（3）若對(duì)于該拋物線上的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)x2取大于3的任何實(shí)數(shù)時(shí)，均滿足y1＜y2，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出x1的取值范圍．7．（2022?無(wú)錫二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①如圖1，拋物線的對(duì)稱軸m與x軸交于點(diǎn)E，CD⊥m，垂足為D，點(diǎn)F（﹣，0），動(dòng)點(diǎn)N在線段DE上運(yùn)動(dòng)，連接CF、CN、FN，若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與△FEN相似，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②如圖2，點(diǎn)M在拋物線上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1，將射線MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知Q在y軸上，T為二次函數(shù)對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且△QOT為等腰三角形，若符合條件的Q恰好有2個(gè)，直接寫(xiě)出T的坐標(biāo)．8．（2022秋?樂(lè)陵市校級(jí)月考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、B（0，﹣6）兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BA、BC，求△ABC的面積．（4）若點(diǎn)D為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使△ADM的面積為△ABC的面積的2倍，若存在，請(qǐng)求出M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022秋?永城市月考）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（﹣1，4）．（1）求b的值及該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）連接AC，AD，CD，求△ADC的面積；（3）在AC上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ACM的面積取到最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．10．（2022秋?越秀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB為邊向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）平移該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸所在的直線l，若直線l恰好將△ABC的面積分為1：2兩部分，請(qǐng)求出直線l平移的最遠(yuǎn)距離；（3）將△ABC以AC所在直線為對(duì)稱軸翻折，得到△AB'C，那么在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使△PB'C是以B'C為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）定義：若兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某一點(diǎn)Q中心對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)Q互為“對(duì)稱函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點(diǎn)O互為“對(duì)稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝﹣x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為 　   　，函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1關(guān)于原點(diǎn)O的“對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為 　   　；（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點(diǎn)Q（0，1）互為“對(duì)稱函數(shù)”，若函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，求x的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），與函數(shù)N關(guān)于點(diǎn)C互為“對(duì)稱函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出a的取值范圍．12．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）當(dāng)a＝﹣時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線（用含a的代數(shù)式表示）及二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是 　   　．（3）若當(dāng)1≤x≤5時(shí)，函數(shù)值有最大值為8，求二次函數(shù)的解析式；（4）已知點(diǎn)A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若拋物線與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．13．（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在矩形AOCD中，把點(diǎn)D沿AE對(duì)折，使點(diǎn)D落在OC上的F點(diǎn)．已知AO＝8，AD＝10．（1）求F點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如果一條不與拋物線對(duì)稱軸平行的直線與拋物線僅一個(gè)交點(diǎn)，我們把這條直線稱為拋物線的切線，已知拋物線經(jīng)過(guò)O，F，且直線y＝6x﹣36是該拋物線的切線．求拋物線的解析式．并驗(yàn)證點(diǎn)M（5，﹣5）是否在該拋物線上．（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右側(cè)圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較∠POF與∠MOF的大小（不必證明），并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍．14．（2022?南京模擬）已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（0，﹣3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x＝1，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)∠ACP＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)F為二次函數(shù)圖象上與點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．15．（2022?興寧區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，﹣3），且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，且⊙O的半徑為，求的最小值．16．（2022?南京模擬）已知二次函數(shù)解析式為y＝x﹣1（a≠0），該拋物線與y軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)記為B，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)記為C．已知點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，DE⊥y軸交拋物線于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，求出a的值．（3）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為2時(shí)，求a的取值范圍．（4）設(shè)點(diǎn)R（a﹣3，﹣1），點(diǎn)A、R關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)分別為N、M，當(dāng)拋物線在以A、R、M、N為頂點(diǎn)的四邊形內(nèi)部的圖象中，y隨x的增大而增大或y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫(xiě)出a的取值范圍．17．（2021?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）若直線y＝﹣2x+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)y＝ax2+3x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交x軸于C、D兩點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)C作直線CE∥AB交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線CE上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形APBQ面積的最大值與此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，直線EQ交x軸于點(diǎn)F，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．18．（2022?成都模擬）如圖1所示，直線y＝x+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，2）在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象上．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為線段AB上（不與端點(diǎn)重合）的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交拋物線于點(diǎn)Q，求PQ+PB取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接BC并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)D，E為第三象限拋物線上一點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)G為x軸上一點(diǎn)，且G（﹣1，0），直線CG與DE交于點(diǎn)F，點(diǎn)H在線段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，連接BH交OA于點(diǎn)M，已知∠GDF＝∠HBO，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．19．（2022秋?甘井子區(qū)校級(jí)月考）拋物線y＝x2+bx+c過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．（1）拋物線的解析式是 　   　，△ABD的面積為 　   　；（2）在直線AD下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使△APD的面積最大，求出最大面積．（3）當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，函數(shù)y＝x2+bx+c的最小值為5，求t的值．（4）若點(diǎn)M在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)D、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（2021秋?沙坪壩區(qū)月考）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G．（1）求直線AE的解析式及△ACE的面積．（2）如圖1，連接AE，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線AE上方拋物線一點(diǎn)，連接PD、PE，直線l過(guò)點(diǎn)B且平行于AE，點(diǎn)F為直線l上一點(diǎn)，連接FD、FE，當(dāng)四邊形PDFE面積最大時(shí)，在y軸上有一點(diǎn)N，連接PN，過(guò)點(diǎn)N作NM垂直于拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，求的最小值．（3）連接AC，將△AOC向右平移得△A'O'C'，當(dāng)A'C'的中點(diǎn)恰好落在∠CAB的平分線上時(shí)，將△A'O'C'繞點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A″O′C″，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線A″C″與y軸交于點(diǎn)K，與直線AC交于點(diǎn)H，在平面中是否存在一點(diǎn)Q，使得以C、K、H、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以KH為邊的菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
 

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蘇科版九年級(jí)下冊(cè)5.1 二次函數(shù)鞏固練習(xí)：

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