（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 ，，求面積的最大值；
（3）在（2）中面積取最大值的條件下，將拋物線（ ）沿射線平移個(gè)單位，得到新的拋物線，點(diǎn) 為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)為 的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在確定一點(diǎn) ，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．
【答案】（1）；（2）8；（3）或或．
【解題思路分析】（1）直接代入點(diǎn)，坐標(biāo)即可；
（2）作軸交直線于，于，通過點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線的函數(shù)關(guān)系式，，可得直線與軸正方向夾角為，可得，設(shè)，則，根據(jù)可求解；
（3）通過平移距離為，轉(zhuǎn)化為向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得出平移后的拋物線關(guān)系式和的坐標(biāo)，從而平行四邊形中，根據(jù)線段，分別為平行四邊形的邊，或者是對(duì)角線，分類討論，通過點(diǎn)的平移得出 的橫坐標(biāo)所在的直線，然后代入拋物線得函數(shù)關(guān)系式，即可求得坐標(biāo)．
【解析】解：（1）將，代入 得
，
，
，
（2）如圖示，
作軸交直線于，于 ，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，
∴
∴（取非零值）
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴直線的函數(shù)關(guān)系式為：，且
∴，
∴直線與軸正方向夾角為，
∴，
則有：，
∴，
設(shè)，
，
，
，
∴當(dāng)時(shí)，最大為8，
（3）直線與軸正方向夾角為，
沿方向平移，實(shí)際可看成向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，
由（2）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)是，且
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴平移后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵拋物線
∴平移后，
拋物線的對(duì)稱軸為：直線：，
當(dāng)時(shí)，在拋物線中，，
即點(diǎn)在拋物線上，
當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)：
如圖1所示，
若點(diǎn)平移到對(duì)稱軸上點(diǎn)，即點(diǎn)往右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，到對(duì)稱軸上點(diǎn)，
則，點(diǎn)往右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)在直線上，
又∵點(diǎn)在拋物線上，
代入得，
點(diǎn)的坐標(biāo)是；
如圖2所示，
若平移到對(duì)稱軸上點(diǎn)，即點(diǎn)往右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，到對(duì)稱軸上 點(diǎn)，
則，點(diǎn)往右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)在直線上，
又∵點(diǎn)在拋物線上，
代入得，
點(diǎn)的坐標(biāo)是；
如圖3示，
若為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
若平移到對(duì)稱軸上點(diǎn)，即點(diǎn)往右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，到對(duì)稱軸上 點(diǎn)，
則，點(diǎn)往左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)在直線上，
又∵點(diǎn)在拋物線上，
代入得，
點(diǎn)的坐標(biāo)是；
∴綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是或 或．
2．（2021·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)一模）已知一次函數(shù)：與x軸交于點(diǎn)A，與y交于點(diǎn)C． 拋物線（a、m為常數(shù)）過定點(diǎn)B，連接BC，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過D作DP⊥AC于點(diǎn)P，DQ⊥x于點(diǎn)Q，設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，DP長(zhǎng)度為d，試求d關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）①當(dāng)m＝0，a＞0時(shí)，該拋物線上存在唯一的點(diǎn)H使∠CAH＝45°，求此時(shí)拋物線的解析式；
②過點(diǎn)D作DE⊥BC交線段OB于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交△OBC的外接圓于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D在BC上移動(dòng)時(shí)，求的最大值．
【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)；（2）=；；（3）①；②
【解題思路分析】（1）根據(jù)圖形知拋物線過(0，0)，求得m=0，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）延長(zhǎng)QD交AC于點(diǎn)E，先求得直線BC的解析式為y=x?3，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為 (t，t?3)，利用sin∠DEA=sin∠OCA即可求解；
（3）①作出輔助線，求得AG所在直線的函數(shù)解析式為y=-x?，根據(jù)該拋物線上存在唯一的點(diǎn)H，利用根的判別式求解即可；
②由題意得O、C、D、E四點(diǎn)共圓，且CE為直徑，證明△ODB∽△CEB和△FBE∽△OCE，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解析】解：（1）由圖可得拋物線過(0，0)，a≠0 ，則有4ma=0，
∴m=0，
∴y=ax2?4ax=a(x2?4x)=ax(x?4)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)；
（2）延長(zhǎng)QD交AC于點(diǎn)E，
∵DQ⊥x軸，且Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，E點(diǎn)在一次函數(shù)y=3x?3上，
則有E點(diǎn)坐標(biāo)為(t，?3t?3)，
由（1）得， B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)，
又∵A、C兩點(diǎn)在y=?3x?3上，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，
∴AC=，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx?3，
把點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)代入得0=4k?3，
解得，
∴直線BC的解析式為y=x?3，
又∵D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為 (t，t?3)，
∴DE=t?3-(?3t?3)=t，
∵∠DEA=∠OCA，
∴sin∠DEA=sin∠OCA=，
在Rt△DPE中，sin∠DEA=，
∴=；
（3）①過點(diǎn)A作∠CAH=45°，交拋物線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作MN//x軸，
過點(diǎn)A作AM⊥MN于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CG⊥AC交直線AH于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥MN于點(diǎn)N，如圖：
∵∠ACG=∠AMC=90°，
∴∠ACM+∠MAC=∠NCG+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCG，
∴Rt△AMC≌Rt△GNC(AAS)，
∴AM=NC=3，MC=NG=1，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為 (3，?2)．
同理可得AG所在直線的函數(shù)解析式為y=-x?，
∵m=0，
∴拋物線的解析式為，
因?yàn)樵搾佄锞€上存在唯一的點(diǎn)H，
聯(lián)立，得，則有，
即，
解得，
又因?yàn)椋?br>∴，
∴此時(shí)拋物線的解析式為；
②∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，
∴BC=，
∵∠EDC=∠COE=90°，
∴O、C、D、E四點(diǎn)共圓，且CE為直徑，
則有∠BOD=∠DCE，
又∵∠OBC=∠CBO，
∴△ODB∽△CEB，
∴，
∴OD=CE，
連接BF，
∠BEF=∠CEO，∠FBE=∠OCE，
∴△FBE∽△OCE，
∴，即，
設(shè)，則，
∴
∴當(dāng)時(shí)，原式取最大值，此時(shí)．
3．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，，D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【解題思路分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將，代入，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，由得∽，再根據(jù)與的面積相等，可得，故點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，設(shè)，，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；
（3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，以為圓心，為半徑作⊙，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．
【解析】解：（1）拋物線交x軸于點(diǎn)，，
將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，
解得：，
拋物線的表達(dá)式為：；
（2）如圖，
D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：，
，
交直線l：于點(diǎn)E，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，
∽，設(shè)，，
又的面積為，的面積為，，
，
，，即點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，
又，，，，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：（與“”不符，應(yīng)舍去），，
，
，；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，
以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，
則，，
以為圓心，為半徑作⊙，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，則，，，
，
，
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，
連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，
，
⊙經(jīng)過點(diǎn)C，
連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，
則，，
，
，
，
綜上所述，．
4．（2021·遼寧錦州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x＋1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)C的拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋1的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②如圖2，點(diǎn)M在直線CD下方，直線OM（OM∥CD的情況除外）交直線CD于點(diǎn)B，作直線BD關(guān)于直線OM對(duì)稱的直線B，當(dāng)直線B與坐標(biāo)軸平行時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝；（2）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）；②點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或或
【解題思路分析】（1）先由直線解析式求出A，C，D的坐標(biāo)，再由C，D坐標(biāo)求出拋物線解析式；
（2）①設(shè)N（n，0），由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式求解即可；②因?yàn)橹本€B與坐標(biāo)軸平行，所以B∥x軸和B∥y軸分類討論，以B∥x軸為例，畫出草圖，由于BM平分∠DB，又∠AOB＝∠BM，等量代換，可以證得△AOB是等腰三角形，求出AB的長(zhǎng)度，并且有A和D點(diǎn)坐標(biāo)，求出∠DAO的三角函數(shù)值，過B作BH⊥x軸于H，在直角△ABH中，利用AB的長(zhǎng)度，和∠BAH的三角函數(shù)值，求出AH和BH的長(zhǎng)度，得到B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線OB的解析式，聯(lián)立直線OB和拋物線解析式，求得交點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)B∥y軸，用同樣的方法解決．
【解析】解：（1）令x＝0，則y＝x＋1＝1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
令y＝0，則，①
∴，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
令x＝6，則y＝，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（），
將C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到拋物線解析式中得，
，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝；
（2）①設(shè)N（n，0），
∵四邊形CDMN為平行四邊形，
∴ ，
∴由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得M（n＋6，），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
∴n2＋9n+4＝0，
∴，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）；
②第一種情況：如圖1，當(dāng)B∥x軸時(shí)，分別過B，D作x軸的垂線，垂足分別為H，Q，
在直角△ADQ中，AQ＝6＋＝，DQ＝，
∴由勾股定理得： ，
∴tan∠DAQ＝＝，
∴cs∠DAQ＝，
∵∠BAH＝∠DAQ，
∴cs∠BAH＝，
∵直線BD與直線B關(guān)于直線OM對(duì)稱，
∴∠DBM＝∠BM，
∵B∥x軸，
∴∠HOB＝∠BM＝∠DBM，
∴AB＝AO＝，
∴，
∴AH＝，
∴OH＝AH＋AO＝，
令x＝﹣，則y＝＝，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），
設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，代入點(diǎn)B得，k＝，
∴直線OB的解析式為y＝x，
聯(lián)立，
解得，，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或，
第二種情況，如圖2，當(dāng)B∥y軸時(shí)，設(shè)B交x軸于G，
∴∠COB＝∠OBG，
∵直線BD與直線B關(guān)于直線OM對(duì)稱，
∴∠CBO＝∠OBG＝∠COB，
∴CB＝CO＝1，
過C作CE⊥BG于E，
∴CE//x軸，
∴∠BCE＝∠CAO，
∵tan∠CAO＝＝，
∴cs∠CAO＝，
∴cs∠BCE＝＝，
∴CE＝＝，
∴＝，
∵CE⊥BG，BG⊥x軸，
∴∠CEG＝∠BGO＝∠COG＝90°，
∴四邊形CEGO為矩形，
∴EG＝CO＝1，CE＝OG＝，
∴BG＝BE＋EG＝，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（），
∴直線OB的解析式為y＝2x，
聯(lián)立，
化簡(jiǎn)得，x2－11x＋4＝0，
∴，
∵點(diǎn)M在直線CD下方，
∴x＜6，
∴x＝，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，
即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或或．
5．（2021·江蘇鹽城·中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)繞著某定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，能得到一個(gè)新的點(diǎn)．經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)在某函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形．
試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)的坐標(biāo)和角度的大小來解決相關(guān)問題．
（初步感知）
如圖1，設(shè)，，點(diǎn)是一次函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．
（1）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為________；
（2）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過點(diǎn)，求原一次函數(shù)的表達(dá)式．
（深入感悟）
（3）如圖2，設(shè)，，點(diǎn)反比例函數(shù)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作二、四象限角平分線的垂線，垂足為，求的面積．
（靈活運(yùn)用）
（4）如圖3，設(shè)A，，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)、，試探究的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，
【解題思路分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得，觀察點(diǎn)和在同一直線上即可直接得出結(jié)果．
（2）根據(jù)題意得出的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出原一次函數(shù)表達(dá)式即可．
（3）先根據(jù)計(jì)算出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分類討論①當(dāng)時(shí)，先證明再計(jì)算面積．②當(dāng)-時(shí)，證，再計(jì)算即可．
（4）先證明為等邊三角形，再證明，根據(jù)在中，，寫出，從而得出的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)取最小值，得出，由計(jì)算得出的面積最小值．
【解析】（1）由題意可得:
∴的坐標(biāo)為
故答案為：；
（2）∵，由題意得
坐標(biāo)為
∵，在原一次函數(shù)上，
∴設(shè)原一次函數(shù)解析式為
則
∴
∴原一次函數(shù)表達(dá)式為；
（3）設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于點(diǎn)，則
解得
①當(dāng)時(shí)
作軸于
∵
∴
∵
∴
∴在和中
∴
即；
②當(dāng)-時(shí)
作于軸于點(diǎn)
∵
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴；
（4）連接，，將，繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，作軸于
∵，
∴
∴
∴為等邊三角形，此時(shí)與重合，即
連接，∵
∴
∴在和中
∴
∴，
∴作軸于
在中，
∴
∴，即，此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式為：
設(shè)過且與平行 的直線解析式為
∵
∴當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)取最小值
則
即
∴
當(dāng)時(shí)，得
∴
設(shè)與軸交于點(diǎn)
∵
∴
6．（2021·浙江義烏·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為C，其中，與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)M坐標(biāo)為．
（1）當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，求a的值．
（2）當(dāng)時(shí)，
①若點(diǎn)M、點(diǎn)D、點(diǎn)C三點(diǎn)組成的三角形是直角三角形，求此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)．
②設(shè)反比例函數(shù)與拋物線相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍．
【答案】（1）；（2）①，②或
【解題思路分析】（1）把和原點(diǎn)代入，直接解方程即可，
（2）①過C點(diǎn)作CN⊥y軸，首先表示出C,D的坐標(biāo)，再利用相似構(gòu)造方程解出m即可求出D的坐標(biāo)，②求出交點(diǎn)，再根據(jù)交點(diǎn)的情況確定m取值范圍；
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，拋物線
∵經(jīng)過原點(diǎn)
∴得，
解得：
（2）①過C點(diǎn)作CN⊥y軸，

；
點(diǎn)，點(diǎn)
∴點(diǎn)C在直線上，M(0，4)，
過作軸于
∵△MDC是直角三角形
∴∠MCD=90°
∴∠MCD=∠CND=∠CNM=90°
∴∠CDM=∠MCN
∴△CDN∽△MCN
∴
即，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，
∴此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為
②∵，
∴當(dāng)P=2時(shí)，可得
當(dāng)P=4時(shí)，可得
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，
，解得
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)
，解得
當(dāng)交點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左邊時(shí)，即m＜2時(shí)，
可得
又
∴
當(dāng)交點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，即m＞2時(shí)，
可得
∴m的取值范圍為
或
7．（2021·河北九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交雙曲線于點(diǎn)拋物線過點(diǎn)B，且與該雙曲線交于點(diǎn)D，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．
（1）求雙曲線與拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為該雙曲線上一點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為，求線段的長(zhǎng)．
（3）若點(diǎn)M沿直線從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，再沿雙曲線從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)線段的長(zhǎng)度為d，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d的最大值，以及d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．
【答案】（1），；（2）或；（3）的最大值是，，，時(shí)，隨的增大而減?。?br>【解題思路分析】（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線和雙曲線解析式求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行于軸的直線上兩點(diǎn)間的距離的求法求解即可；
（3）分點(diǎn)在、、上三種情況，根據(jù)直線、拋物線和雙曲線的解析式表示出，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．
【解析】解：（1）令，則，
解得，
令，則，
所以，點(diǎn)，，
時(shí)，，
所以，點(diǎn)，
設(shè)雙曲線解析式為，
則，
解得，
所以，雙曲線解析式為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
解得，
點(diǎn)，
拋物線過點(diǎn)、，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
整理得，，
解得，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
或；
（3）①點(diǎn)在上時(shí)，，
，
隨的增大而減小，
②點(diǎn)在上時(shí)，，
，
時(shí)，有最大值為，
時(shí)，隨的增大而減小，
③點(diǎn)在上時(shí)，，
，
由圖可知，隨的增大而減小，
綜上所述，的最大值是，，，時(shí)，隨的增大而減?。?br>8．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，直線分別交軸、軸于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A的拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交于E，連接交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線解析式；
（2）求證：；
（3）P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以A，O，M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為或±．
【解題思路分析】（1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線AD的解析式為y=-x+3，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2），運(yùn)用三角函數(shù)定義可得即∠OAB=∠OEG=90°即可證得結(jié)論；
（3）先求出直線CD解析式為y=3x+3，再根據(jù)以A，O，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，分兩種情況：①當(dāng)△AOM ∽△ACD時(shí)，∠AOM=∠ACD，從而得出OM//CD，進(jìn)而得出直線OM的解析式為y=3x，再結(jié)合拋物線的解析式即可確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；②當(dāng)△AMO∽△ACD時(shí)，利用，求出AM，進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，求得直線AM的解析式，進(jìn)而完成解答．
【解析】解：（1）∵直線分別交軸、軸于點(diǎn)A，B
∴A（3,0），B（0，），
∵拋物線經(jīng)過A（3，0），D（0，3），
∴，解得
∴該拋物線的解析式為；
（2）∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+a，
將A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得
∴直線AD的解析式為y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在.
∵A（3，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴，
設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，則：
，解得
∴直線CD解析式為y=3x+3，
①當(dāng)△AOM∽△ACD時(shí)，∠AOM=∠ACD，如圖2所示，
∴OM//CD，
∴直線OM的解析式為y=3x，
∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，
∴3x=-x2+2x+3，解得：；
②當(dāng)△AMO∽△ACD時(shí)，如圖3所示，
∴
∴，
過點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，則∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
設(shè)直線OM解析式為y=m1x，將M（1，2）代入，得：m1=2，
∴直線OM解析式為y=2x，
∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3
∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．
綜上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或±．
9．（2021·湖北宜昌·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)記為．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)記為．
（1）寫出點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求，的值（用含的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)時(shí)，探究與的大小關(guān)系；
（4）經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線，的公共點(diǎn)恰好為3個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；（4），，，
【解題思路分析】（1）令，解出x即可，
（2）把函數(shù)頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)論，
（3）令，結(jié)合函數(shù)圖像分類討論即可，
（4）由題意可得：直線的解析式為：，再根據(jù)已知條件畫出函數(shù)圖像分三類情況討論，進(jìn)而得出n的值；
【解析】（1）∵，令，，
∴，，
∴．
（2），
∴，
∵，
∴．
（3）∵，，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)或，
．
由如圖1圖象可知：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，．
（4）設(shè)直線的解析式為：，
則，
由（1）-（2）得，，
∴，
直線的解析式為：．
第一種情況：如圖3，
當(dāng)直線經(jīng)過拋物線，的交點(diǎn)時(shí)，
聯(lián)立拋物線與的解析式可得：
①
聯(lián)立直線與拋物線的解析式可得：
，
則，②
當(dāng)時(shí)，把代入得：，
把，代入直線的解析式得：
，
∴，
∴．
此時(shí)直線與拋物線，的公共點(diǎn)恰好為三個(gè)不同點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，把代入①得：
，
該方程判別式，所以該方程沒有實(shí)數(shù)根．
第二種情況：如圖4，
當(dāng)直線與拋物線或者與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)．
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
聯(lián)立直線與拋物線可得，
∴，
此時(shí)，即，
∴，
∴．
由第一種情況而知直線與拋物線公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，
當(dāng)時(shí)，，∴．
所以此時(shí)直線與拋物線，的公共點(diǎn)恰好為三個(gè)不同點(diǎn)．
如圖5，
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∵，，
∴，
聯(lián)立直線與拋物線，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)直線與拋物線，的公共點(diǎn)只有一個(gè)，
∴．
綜上所述：∴，，，．
10．（2021·湖北武漢·九年級(jí)模擬預(yù)測(cè)）已知：拋物線y＝a（x＋m）（x－3m）（a＞0，m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，直線l：y＝kx＋b經(jīng)過點(diǎn)B，且與該拋物線有唯一公共點(diǎn)，平移直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M、N分別位于x軸下方和上方）
（1）若
①直接寫出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
②如圖1，連接AM、AN，取MN的中點(diǎn)P，連接PB，求證：PB⊥AB；
（2）如圖2，連接MC．若MC∥x軸，求的值．
【答案】（1）①A(3，0)，B(－1，0)，；②見解析；（2）
【解題思路分析】（1）①分別將a=、代入求得m，再令y=0，確定A、B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
②聯(lián)立，由直線l與該拋物線有唯一公共點(diǎn)，則△=0，可得，即，設(shè)MN的解析式為，則，即，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可證明；
（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸、A、B的坐標(biāo)，可得，即，由直線與拋物線有唯一的公共點(diǎn)可得，則，設(shè)MN的直線解析式為y＝－4amx＋t
則，可得，過N作NGLx軸于G，過N作NG⊥x軸于G，過M作MH⊥x軸交x軸于H，交AN于P，設(shè)AN的直線解析式為，將點(diǎn)A與N代入可得，解得，即AN的解析式為，則PH=HM，再證明△AHM≌△AHP（SAS），進(jìn)一步證得△AGN∽△AHM，則；
【解析】解：（1）由題意得：，解得m=1
∴y＝（x＋1）（x－3）
令y=0，解得x=-1或x=3
∴A（3，0），B（－1，0），拋物線的解析式；
②證明：設(shè)l：y＝k（x＋1）＝kx＋k（k＜0）
即
∴△=，解得
又∵M(jìn)N∥l，
∴設(shè)MN：
即
；
（2）解：
對(duì)稱軸：
∵M(jìn)C∥x軸
當(dāng)y＝0時(shí)，，即
，得，即，
由于直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)B，
所以△=，且，解得
∴
又∵M(jìn)N∥l，
∴設(shè)MN：y＝－4amx＋t
，即
∴，
過N作NG⊥x軸于G，過M作MH⊥x軸交x軸于H，交AN于P
設(shè)AN：，
∴，
∴
當(dāng)x＝2m時(shí)，
當(dāng)x＝0時(shí)，，
∴PH＝HM
在△AHM和△AHP中
∴△AHM≌△AHP（SAS），
∴∠HAP＝∠HAM
又∵∠AGN＝∠AHM＝90°，
∴△AGN∽△AHM
∴．
11．（2021·廣州市第十六中學(xué)九年級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，：二次函數(shù)（）的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）且，與軸交于點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將拋物線向上平移個(gè)單位，得到拋物線，當(dāng)時(shí)，拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求出的取值范圍；
（3）將繞的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)．
①求的值如何變化？請(qǐng)說明理由；
②求點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，直接寫出點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）或；（3）①不變，理由見解析；②
【解題思路分析】（1）將二次函數(shù)解析式變?yōu)榻稽c(diǎn)式，可求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，可得拋物線對(duì)稱軸為：，根據(jù)對(duì)稱軸公式可求．即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，代入可求的值，計(jì)算此時(shí)在時(shí)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，代入可求的值，再計(jì)算拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的值，從而求解；
（3）①先求得四邊形是矩形，證明，列比例式并結(jié)合三角函數(shù)定義可得結(jié)論；
②首先證明點(diǎn)經(jīng)過的路徑是線段的長(zhǎng)，如圖2，根據(jù)三角形中位線定理即可求得．
【解析】解：（1），
當(dāng)時(shí)，，
，
，，
拋物線對(duì)稱軸為：，
，
，
拋物線的表達(dá)式為；
（2）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，得，此時(shí)拋物線：在時(shí)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，得，
若，
解得：，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，此公共點(diǎn)為，
綜上所述，的取值范圍是或；
（3）①的值為定值，不發(fā)生變化；
如圖1中，
中，，，
，，
中，，
，
，，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，，，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，，四點(diǎn)共圓，
，
，
，
，
的值為定值，不發(fā)生變化；
②如圖2，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，與重合，當(dāng)與重合時(shí)，在直線上，
點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，
中，，，
，，
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
即點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)是．
12．（2021·廣東華僑中學(xué)九年級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸是直線，拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或或或．
【解題思路分析】（1）由直線可得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可得；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出的值最小時(shí)，點(diǎn)為BC的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，求得BC垂直平分線的解析式，聯(lián)立直線即可求得點(diǎn)；
（3）分四種情況進(jìn)行討論，設(shè)出N的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，求得N的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，然后聯(lián)立拋物線解析式即可求解．
【解析】解：（1）∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時(shí)，即，解得：x=4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
當(dāng)x=0時(shí)，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為；
（2）如圖1，連結(jié)CM、BM，作線段BC的垂直平分線分別交BC、直線于點(diǎn)，則N為BC中點(diǎn)；
由絕對(duì)值的性質(zhì)可得：，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，即，則此時(shí)，
∴點(diǎn)M為與直線的交點(diǎn)，此時(shí)與重合，
設(shè)的解析式為：，
∵直線BC的解析式為：，
∴，解得：，
則的解析式可化為：，
由得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
將代入得：，解得：，
∴，
將代入，得，即，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
（3）拋物線上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似；
∵
∴，，，
∴，，
∵，
∴為直角三角形，，
∵軸，
∴，則，
如圖2所示，分四種情況，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①當(dāng)點(diǎn)在x軸的上方，要使，則，
則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)C重合，則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)O重合，
則，滿足題意，
∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)點(diǎn)在x軸的上方，要使，則，
∴，即，代入拋物線的解析式得：
，化簡(jiǎn)得：，
解得：，（不符合題意，故舍去），
將代入拋物線解析式得：，
∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③當(dāng)點(diǎn)在x軸的下方，要使，則，
∴，即，代入拋物線的解析式得：
，化簡(jiǎn)得：，
解得：，（不符合題意，故舍去），
將代入拋物線解析式得：，
∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
④當(dāng)點(diǎn)在x軸的下方，要使，則，
∴，即，代入拋物線的解析式得：
，化簡(jiǎn)得：，
解得：，（不符合題意，故舍去），
將代入拋物線解析式得：，
∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上，拋物線存在點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或或，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似．
13．如圖，直線：與軸，軸分別相交于、兩點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)．
（1）該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)并且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)相應(yīng)的位置記為點(diǎn)．
①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
②將直線繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線，當(dāng)直線與直線重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與線段交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，當(dāng)最大時(shí)，求直線旋轉(zhuǎn)的角度（即的度數(shù)）．
【答案】（1）；（2），S的最大值為；（3）①，；②45°
【解題思路分析】（1）利用直線的解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出的值；
（2）設(shè)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)面積關(guān)系將的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（3）①由（2）可知，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；
②可將求最大值轉(zhuǎn)化為求的最小值．
【解析】解：（1）令代入，
，
，
把代入并解得：，
二次函數(shù)解析式為：；
（2）令代入，
，
或3，
拋物線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和3，
在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，
，
令代入，
，
的坐標(biāo)為，
由題意知：的坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值．
（3）①由（2）可知：的坐標(biāo)為，；
②過點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
根據(jù)題意知：，
此時(shí)只要求出的最大值即可，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，
設(shè)直線與該圓相交于點(diǎn)，
點(diǎn)在線段上，
在上，
當(dāng)與重合時(shí)，
可取得最大值，
此時(shí)，
，，，，
由勾股定理可求得：，，，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，
由勾股定理可得：，
，
，
，
，，
，
∴．
14．（2021·鹽城市初級(jí)中學(xué)九年級(jí)二模）將拋物線y＝ax2的圖像（如圖1）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線圖像（如圖2），記為C：y2＝x．
（概念與理解）
將拋物線y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的拋物線圖像，記為：C1：_____________；C2：____________．
（猜想與證明）
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，0）在x軸正半軸上，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C1于點(diǎn)A、B，交拋物線C2于點(diǎn)C、D，如圖3所示．
（1）填空：當(dāng)x=1時(shí)，=______；當(dāng)x=2時(shí)，=_______；
（2）猜想：對(duì)任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的猜想；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（探究與應(yīng)用）
①利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為 ；
②若△AOB和△COD中有一個(gè)是直角三角形時(shí)，求△COD與△AOB面積之差；
（聯(lián)想與拓展）
若拋物線C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0

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