2023年廣東省深圳市龍崗區(qū)坪地中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列互為倒數(shù)的是(    )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2.  式子與的公因式是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  一年之中地球與太陽(yáng)之間的距離隨時(shí)間而變化，個(gè)天文單位是地球與太陽(yáng)之間的平均距離，即億，用科學(xué)記數(shù)法表示億是(    )A.  B.  C.  D. 5.  在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 7.  將拋物線向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到拋物線的表達(dá)式為(    )A.  B.  C.  D. 8.  由個(gè)形狀相同、大小相等的菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，，則(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若的面積為，則函數(shù)的圖象為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按的方向在邊和上移動(dòng)，記，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值是(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  已知，則______．12.  在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是        ．13.  攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡的坡比是，壩高，則坡面的長(zhǎng)度是______
14.  如圖，點(diǎn)在正方形內(nèi)，滿足，，，則陰影部分的面積是______．
 15.  如圖，直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，且，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為        ．
 三、解答題（本大題共7小題，共55.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.  本小題分
計(jì)算．17.  本小題分
為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，某校組織學(xué)生到技師學(xué)院開(kāi)展了為期一周的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)每位同學(xué)可以在“機(jī)器人，面塑，電烙畫(huà)，攝影”四門課程中選擇一門為公平起見(jiàn)，學(xué)校制作了如圖所示的轉(zhuǎn)盤，學(xué)生轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，指針指到的課程即自己參加的實(shí)踐課程．
樂(lè)樂(lè)是該校的一名學(xué)生，樂(lè)樂(lè)參加“攝影”實(shí)踐課程的概率是        ；
果果和貝貝是好朋友，他們想?yún)⒓酉嗤膶?shí)踐課程，請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求他們參加相同實(shí)踐課程的概率四門課程用所對(duì)應(yīng)的字母表示
18.  本小題分
為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)海里的速度向正東方向航行，在處測(cè)得燈塔在北偏東方向上，繼續(xù)航行分鐘后到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得燈塔在北偏東方向上．
求的度數(shù)；
已知在燈塔的周圍海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？參考數(shù)據(jù)：，
19.  本小題分
海安賓館有個(gè)房間供游客居住當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為元時(shí)，房間會(huì)全部住滿；當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)每增加元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空著設(shè)房?jī)r(jià)為元．
求賓館每天的營(yíng)業(yè)額與房?jī)r(jià)的函數(shù)關(guān)系式；
若有游客居住時(shí)，賓館需要對(duì)每個(gè)房間支出元的各種費(fèi)用房?jī)r(jià)定為多少時(shí)，賓館利潤(rùn)最大？利潤(rùn)營(yíng)業(yè)額支出20.  本小題分
如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，．
求證：是的切線；
若，，求的長(zhǎng)．
21.  本小題分
如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線的表達(dá)式為．
求拋物線的表達(dá)式；
動(dòng)點(diǎn)在直線上方的二次函數(shù)圖象上，連接，，設(shè)四邊形的面積為，求的最大值；
當(dāng)點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
 22.  本小題分
綜合與探究
在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．

如圖，若，求的度數(shù)；
如圖，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)；
如圖，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，
和互為倒數(shù)，符合題意；
B、，
和不互為倒數(shù)，不符合題意；
C、，
和不互為倒數(shù)，不符合題意；
D、，
和不互為倒數(shù)，不符合題意．
故選：．
根據(jù)倒數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
本題考查的是倒數(shù)的定義，熟知乘積是的兩個(gè)數(shù)叫互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，，
與的公因式是．
故選：．
把式子與分別進(jìn)行因式分解后，根據(jù)公因式的確定方法，即可得到答案．
本題考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是確定公因式的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：，
沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)不符合題意；
B.，
有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)符合題意；
C.，
有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)不符合題意；
D.，
有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
分別計(jì)算的值，并判斷結(jié)果與的關(guān)系，即可得到答案．
此題考查了一元二次方程根的判別式，準(zhǔn)確計(jì)算并作出判斷是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】【分析】
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法解答即可．
【解答】
解：數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法表示為，
故選D．  5.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．
設(shè)袋子中紅球有個(gè)，根據(jù)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右列出關(guān)于的方程，求出的值，從而得出答案．
【解答】
解：設(shè)袋子中紅球有個(gè)，
根據(jù)題意，得：，
解得，
袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是個(gè)，
故選：．  6.【答案】 【解析】解：連接，

，
，
是的直徑，
，
，
故選：．
連接，根據(jù)圓周角定理求出和，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
本題考查了圓周角定理，能熟記圓周角定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，即可得出平移后拋物線的解析式．
此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：將拋物線先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到新拋物線的表達(dá)式是．
故選：．  8.【答案】 【解析】解：如圖，連接，，

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，由題意得，，
，，
，
，
，
、、共線，
在中，．
故選：．
如圖，連接、，先證明，、、共線，再根據(jù)，求出、即可解決問(wèn)題．
本題考查菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)、特殊三角形邊角關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)在第一象限且在函數(shù)的圖象上，
，即．
一次函數(shù)的解析式為：，
一次函數(shù)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線．
故選：．
先根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，求出的值等于，然后求出一次函數(shù)的解析式，再確定一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可確定選項(xiàng)．
考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及一次函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求出的值，再根據(jù)一次函數(shù)解析式確定一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．
 10.【答案】 【解析】解：當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值恒為，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，
四邊形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，，，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故選：．
根據(jù)題意和圖形可知，當(dāng)點(diǎn)在段時(shí)，的值是定值，當(dāng)點(diǎn)在段時(shí)，隨的變化而變化，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到和的關(guān)系，再根據(jù)題意，可以得到的取值范圍，從而可以得到的最小值．
本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
則．
故答案是：．
由得到，代入所求的解析式，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．
本題考查了代數(shù)式的求值，以及完全平方公式，正確理解公式是關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，
拋物線向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后所得拋物線的解析式為，
得到的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
故答案為：．
根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：迎水坡的坡比是：，壩高，
，
解得，
則．
故答案為：．
利用坡比的定義得出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出的長(zhǎng)．
此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確利用坡比的定義求出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
正方形的面積是，
的面積是，
陰影部分的面積是，
故答案是：．
根據(jù)勾股定理求出，分別求出和正方形的面積，即可求出答案．
本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能力．
 15.【答案】 【解析】解：連接，作于，

，
，
是斜邊上的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
故答案為：．
連接，作于，易證得，，解直角三角形求得，然后根據(jù)三角形相似證得，即可得到，利用勾股定理求得的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求得的值．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：


． 【解析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．
此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
 17.【答案】 【解析】解：共有四門課程，分別是機(jī)器人、面塑、電烙畫(huà)、攝影，
樂(lè)樂(lè)參加“攝影”實(shí)踐課程的概率是，
故答案為：；
根據(jù)題意列表如下： 共有種等可能的結(jié)果，其中他們參加相同實(shí)踐課程的有種，
則他們參加相同實(shí)踐課程的概率是．
直接根據(jù)概率公式求解即可；
根據(jù)題意先列出圖表得出所有等可能的情況數(shù)和他們參加相同實(shí)踐課程的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．掌握概率公式：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：由題意得，，，
．
作于，如圖．
則是等腰直角三角形，
．
設(shè)海里，
由題意得：海里，
在中，，
即，
解得：，且符合題意，
海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全． 【解析】由題意得，，，由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；
作于，則是等腰直角三角形，，設(shè)海里，求出海里，在中，由三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可．
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：由題意得：，
賓館每天的營(yíng)業(yè)額與房?jī)r(jià)的函數(shù)關(guān)系式為；
由題意得：


，
，
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
答：房?jī)r(jià)定為元時(shí)，賓館利潤(rùn)最大． 【解析】根據(jù)營(yíng)業(yè)額房?jī)r(jià)房間數(shù)列出函數(shù)解析式即可；
根據(jù)利潤(rùn)營(yíng)業(yè)額支出列出函數(shù)解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
 20.【答案】證明：是的直徑，
。
，，
，
．
是的半徑，且，
是的切線．
解：，，
．
設(shè)，則，
，
，解得，
．
，
，
．
，
，
或不符合題意，舍去，
的長(zhǎng)是． 【解析】由是的直徑，得，由，得，即可證明是的切線．
由，，得，設(shè)，則，，所以，則，所以，由，得，則，即可求得．
此題重點(diǎn)考查切線的判定、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：把代入得：，
．
把代入得：，
，
將，代入得：
，解得：，
拋物線的表達(dá)式為；

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

設(shè)，則，，，
則，

，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．

存在，理由：
，
．
又，，
，，，
，
．
如圖所示：連接．

，，
，．
，
又，
∽．
當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，∽．
過(guò)點(diǎn)作，交軸與點(diǎn)．
為直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，
解得：．
．
過(guò)點(diǎn)作，交軸與點(diǎn)．
為直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，
解得：．
，
綜上所述：當(dāng)的坐標(biāo)為或或時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似． 【解析】用待定系數(shù)法即可求解；
由，即可求解；
分∽、∽、∽三種情況，分別求解即可．
本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．
 22.【答案】解：四邊形是矩形，
，
將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，
，，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
；

將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，
，，
又矩形中，，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
，
；

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，
，
，
，
，，
∽，
，
設(shè)，
平分，，，
，，
設(shè)，則，
，
，
解得

． 【解析】由折疊的性質(zhì)得出，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，可求出答案；
證明∽，由相似三角形的性質(zhì)得出，可求出，求出，由勾股定理求出，則可求出，即可求出的長(zhǎng)；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明∽，，設(shè)，設(shè)，則，由勾股定理得出，解出，則可求出答案．
本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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