2021北京一零一中學(xué)高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則　　A． B． C． D．2．可化簡為　　A． B． C． D．3．向量“，不共線”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)，，的值域?yàn)?/span>　　A． B． C． D．5．已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若（1），（2），，則，，的大小關(guān)系為　　)A． B． C． D．6．甲、乙兩人解關(guān)于的方程：，甲寫錯(cuò)了常數(shù)，得到根為，；乙寫錯(cuò)了常數(shù)，得到根為，．那么原方程的根正確的是　　A． B． C．或 D．或7．已知，，，那么的值為　　A．2 B． C． D．8．如圖是函數(shù)的圖象，是圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交其圖象于另一點(diǎn)，可重合）．設(shè)線段的長為，則函數(shù)的圖象是　　A． B． C． D．9．已知，則的取值可以為　　A． B． C． D．10．如圖，一個(gè)摩天輪的半徑為，輪子的最低處距離地面．如果此摩天輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每30分鐘轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)（點(diǎn)與摩天輪天輪中心的高度相同）時(shí)開始計(jì)時(shí)，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，此人相對(duì)于地面的高度不小于的時(shí)間大約是　　A．8分鐘 B．10分鐘 C．12分鐘 D．14分鐘二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11．（5分）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)　　．12．（5分）若角與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則角的終邊上的所有角的集合可以寫為　　13．（5分）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為　　14．（5分）在如圖所示的方格紙中，向量，，的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正方形頂點(diǎn)）上，若與，為非零實(shí)數(shù)）共線，則的值為　　．15．（5分）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測得空氣中一氧化碳的含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修后恢復(fù)正常．排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)一氧化碳濃度為為濃度單位，表示百萬分之一），經(jīng)檢驗(yàn)知，該地下車庫一氧化碳濃度與排氣時(shí)間（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系為常數(shù)）．求得　　；若空氣中一氧化碳濃度不高于為正常，那么至少需要排氣　　分鐘才能使這個(gè)地下車庫中一氧化碳含量達(dá)到正常狀態(tài)．16．（5分）已知，點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，且，給出以下命題：①若，，則為的內(nèi)心；②若，則直線經(jīng)過的重心；③若，且，則點(diǎn)在線段上；④若，則點(diǎn)在外；⑤若，則點(diǎn)在內(nèi)．其中真命題為　　．三、解答題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域：（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，請直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知關(guān)于的方程的兩根為和，．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的值．19．已知函數(shù)，．（1）①直接寫出函數(shù)的奇偶性；②寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并用定義證明；（2）計(jì)算：　　；（4）（2）（2）　　；（9）（3）（3）　　；（3）由（2）中的各式概括出和對(duì)所有不等于0的實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)等式，并加以證明．20．設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組，記作，，，，，．其中，2，，稱為數(shù)組的“元”， 稱為數(shù)組的“元” 的下標(biāo)，如果數(shù)組，，，，中的每個(gè)“元”都是來自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的“子數(shù)組”．定義兩個(gè)數(shù)組，，，，，，，的“關(guān)系數(shù)”為．（1）若，，，，，且中的任意兩個(gè)“元”互不相等，的含有兩個(gè)“元”的不同“子數(shù)組”共有個(gè)，分別記為，，，．①　　；②若，，2，3，，記，求的最大值與最小值；（2）若，，，，，且，為的含有三個(gè)“元”的“子數(shù)組”，求的最大值．
參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．【分析】可求出函數(shù)和的定義域，從而得出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)定義域及其求法，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡即可．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)向量三角形的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)向量“，不共線”時(shí)，由向量三角形性質(zhì)得“”成立，即充分性成立，反之當(dāng)向量“，方向相反時(shí)，滿足“”，但此時(shí)兩個(gè)向量共線，即必要性不成立，即向量“，不共線”是“”的充分不必要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題、4．【分析】利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求值域．【解答】解：，因?yàn)?/span>，，所以，，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>（1），（2），，又，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查利用函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】先將原方程進(jìn)行變形得到，然后利用甲和乙寫錯(cuò)后得到的根求出和，再求解對(duì)數(shù)方程即可．【解答】解：原方程可變形為：，因?yàn)榧讓戝e(cuò)了常數(shù)，得到根為，，所以，又因?yàn)橐覍戝e(cuò)了常數(shù)，得到根為，，所以，所以原方程為，解得或3，所以或8．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)方程的求解，涉及了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算法則的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分別利用甲和乙先求出和．7．【分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求解．【解答】解：因?yàn)?/span>，可得，，因?yàn)?/span>，，所以，，可得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)線段的長和之間的關(guān)系，通過取特殊點(diǎn)及某一段上的的值，得出相應(yīng)的函數(shù)值，從而判斷出正確選項(xiàng)即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，兩點(diǎn)重合，此時(shí)，故排除，；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次函數(shù)，其圖象是一條線段，故選：．【點(diǎn)評(píng)】考查導(dǎo)函數(shù)的圖象與圖象變化，以及識(shí)圖能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬基礎(chǔ)題．9．【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?/span>，所以，整理得，所以，①當(dāng)時(shí)，，則②當(dāng)時(shí)，，則故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)題意求出此人相對(duì)于地面的高度函數(shù)，利用，求出此人相對(duì)于地面的高度不小于17的時(shí)間即可．【解答】解：由題意知，，解得，所以在時(shí)摩天輪上某人所轉(zhuǎn)過的角為，所以在時(shí)此人相對(duì)于地面的高度為，由，得，解得，所以，且，所以此人有10分鐘相對(duì)于地面的高度不小于17 ．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11．【分析】由向量的平行可得，解之即可．【解答】解：由已知，且，所以，解得，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量平行的充要條件，屬基礎(chǔ)題．12．【分析】由已知利用終邊相同的角的概念即可求解．【解答】解：角的取值集合是，，角與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，可得，，可得角的取值集合是，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查終邊相同的角的定義和表示方法，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及函數(shù)的單調(diào)性求出的值即可．【解答】解：由題意得：，解得：或，時(shí)，在遞增，符合題意，時(shí)，，是常函數(shù)，不合題意，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．14．【分析】由題意易得每個(gè)向量的坐標(biāo)，由向量共線可得和的關(guān)系式，變形可得答案．【解答】解：設(shè)圖中每個(gè)小正方形的邊長為1，則，，，，與共線，，，即故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行向量與共線向量，屬基礎(chǔ)題．15．【分析】（1）直接把點(diǎn)代入，即可求得的值；（2）由題意，構(gòu)造不等式，求解得答案．【解答】解：（1）函數(shù)為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，，解得；（2）由（1）得，由，解得．故至少排氣32分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)．故答案為：（1）；（2）32．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)平面向量線性表示概念及對(duì)三角形內(nèi)心、重心的理解，逐一分析四個(gè)答案結(jié)論的真假，可得答案【解答】解：對(duì)于①，，此時(shí)點(diǎn)在平分線上，但未必在的內(nèi)心，則①錯(cuò)；對(duì)于②，由知，，由向量加法法則知中點(diǎn)，經(jīng)過的重心，則②對(duì)；對(duì)于③，，當(dāng)，點(diǎn)在延長線上，不在邊上，則③錯(cuò)；對(duì)于④，令，，，由向量加法法則知，點(diǎn)在外，則④對(duì)；對(duì)于⑤，取，，，，但點(diǎn)在外，則⑤錯(cuò)；故答案為：②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量線性表示概念及對(duì)三角形內(nèi)心、重心的理解，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．三、解答題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．【分析】（1）分段去掉絕對(duì)值，即可求解值域；（2）對(duì)進(jìn)行討論，根據(jù)圖象有交點(diǎn)，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)．則，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，可得值域?yàn)?/span>，．（2）當(dāng)，當(dāng)時(shí)，的圖象與函數(shù)的圖象恒有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，則，可得．則．故得實(shí)數(shù)的取值范圍是或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，是中檔題．18．【分析】（1）根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理列出關(guān)系式，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求出的值即可；（2）由的值，利用完全平方公式求出的值，原式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，即可求出值．【解答】解：（1）方程的兩根為、，，，，，，即，，解得：（負(fù)值舍去），則；（2），，，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）①由冪函數(shù)的奇偶性及奇偶性的性質(zhì)可直接判斷；②利用增函數(shù)的定義即可證明；（2）代入計(jì)算即可得結(jié)論；（3）由（2）歸納出等式，代入即可證明．【解答】解：（1）①函數(shù)為奇函數(shù)．②的單調(diào)遞增區(qū)間為，，證明：任取，，且，則因?yàn)?/span>，，且，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）經(jīng)過代入計(jì)算可得，（4）（2）（2），（9）（3）（3）．（3）由（2）中的各式概括出和對(duì)所有不等于0的實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)等式為，證明：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．20．【分析】（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得；②不妨設(shè)，則，根據(jù)，2，3，可得最值；（2）分為中含0和不含0兩種情況進(jìn)行分類討論，再結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求出的最大值．【解答】解：（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得，的含有兩個(gè)“元”的不同“子數(shù)組”有，，，，，，，，，，，共6個(gè)，；②不妨設(shè)，，，2，3，，則當(dāng)，，，時(shí)，取得最大值為，當(dāng)，，，是連續(xù)的四個(gè)整數(shù)時(shí)，取得最小值為；（2）由，，，，且可知，實(shí)數(shù)，，具有對(duì)稱性，故分為中含0和不含0兩種情況進(jìn)行分類討論，①當(dāng)0是中的“元”時(shí)，由于中的三個(gè)“元”都相等及中三個(gè)“元” ，，的對(duì)稱性，可只計(jì)算的最大值，，則，可得，故當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值，故；②當(dāng)0不是中的“元”時(shí)，，又，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故，綜上，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義問題，解題的關(guān)鍵是正確理解子數(shù)組的定義以及“關(guān)系數(shù)”的定義，巧妙利用不等式的性質(zhì)求解，屬難題．

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