2021屆湖南省長郡、雅禮、一中、附中聯(lián)合編審名校卷（全國卷）高三月考數(shù)學(xué)（文）試題（九）  一、單選題1．設(shè)集合，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：集合，集合，所以,故選D.【解析】1、一元二次不等式；2、集合的運算. 2．若，則A．1 B．-1 C．i D．-i【答案】C【詳解】試題分析：，故選C．【解析】復(fù)數(shù)的運算、共軛復(fù)數(shù)．【舉一反三】復(fù)數(shù)的加、減法運算中，可以從形式上理解為關(guān)于虛數(shù)單位“”的多項式合并同類項，復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法相類似，只是在結(jié)果中把換成?1.復(fù)數(shù)除法可類比實數(shù)運算的分母有理化．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可依照平面向量的加、減法的幾何意義進行理解． 3．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】B【分析】分別判斷a，b，c與0,1的大小關(guān)系得到答案.【詳解】故答案選B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)值大小，01分界是一個常用的方法.4．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】利用排除法：由函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤，本題選擇A選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．5．某人在同一群體中調(diào)查了人們對6杯飲品口感的看法，得到數(shù)據(jù)如表：飲品第1杯第2杯第3杯第4杯第5杯第6杯好評率0.130.520.220.450.980.30差評率0.870.480.780.550.020.70根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可知這一群體意見分歧較大的兩杯飲品是（    ）A．第1杯與第3杯 B．第2杯與第4杯C．第1杯與第5杯 D．第3杯與第5杯【答案】B【分析】分歧大，意味著好評率與差評率的差值小，以此為依據(jù)可得出答案.【詳解】第1杯飲品好評率與差評率的差值為，第2杯飲品好評率與差評率的差值為，第3杯飲品好評率與差評率的差值為，第4杯飲品好評率與差評率的差值為，第5杯飲品好評率與差評率的差值為，第6杯飲品好評率與差評率的差值為，其中較小的差值為第2杯與第4杯.故選：B.6．已知為長方形，，，為的中點，在長方形內(nèi)隨機取一點，取到的點到的距離大于1的概率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)幾何概型得：取到的點到O的距離大于1的概率：，故選B. 7．《擲鐵餅者》取材于古希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂及肩近似看成一張“弓”，擲鐵餅者的肩寬約為米，一只手臂長約為米，“弓”所在圓的半徑約為米，則擲鐵餅者雙手之間的直線距離約為（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用弧長公式可求圓心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦長.【詳解】擲鐵餅者張開的雙臂及肩近似看成一張“弓”即如圖中的及弦，取的中點，連接.由題設(shè)可得的弧長為，而，故，故的長度為，故選：C.8．新聞出版業(yè)不斷推進供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出版產(chǎn)品供給，實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展．下面是2017年至2021年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收情況，則下列說法錯誤的是（    ）A．2017年至2021年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B．2021年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2017年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C．2021年我國新聞出版業(yè)營收超過2017年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D．2021年我國數(shù)字出版業(yè)營收占新聞出版業(yè)營收的比例未超過三分之一【答案】C【分析】通過條形圖中的數(shù)據(jù)信息，對四個選項進行逐一分析判斷，即可得到答案.【詳解】對于A中，由條形圖可以看出，條形的高一次在增高，所以2017年至2021年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收逐年增加，所以A正確；對于B中，2021年我國數(shù)字出版業(yè)營收為5720.9億元，2017年我國新聞出版業(yè)營收為1935.3億元，因為，所以B正確；對于C中，2021年我國新聞出版業(yè)營收為23595.8億元，2017年我國新聞出版業(yè)營收為16635.5億元，因為，所以C錯誤；對于D中，因為，所以2021年我國數(shù)字出版業(yè)營收占新聞出版業(yè)營收為超過三分之一，所以D正確.故選：C.9．若，則下列結(jié)論不正確的是　　A． B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法證明A、B正確，根據(jù)不等式證明C正確，D錯誤【詳解】由題意，對于A中，因為，，故A正確，對于B中國，因為，，故B正確，對于C中，因為，兩邊同除以ab，可得，故C正確，對于D中，因為，故D錯誤，故選D．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用，以及作差法比較大小關(guān)系，其中解答中熟記不等關(guān)系與不等式，熟練應(yīng)用作出比較法進行比較是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，著重考查推理與運算能力．10．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)，由函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立問題求解．【詳解】函數(shù)在上為減函數(shù),f’(x)＝，則f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，∴lnx≥1-lna=恒成立，∴，即≤1，∴a≥e故選D．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，基本思路是，當函數(shù)是增函數(shù)時，則f′（x）≥0在D上恒成立；當函數(shù)是減函數(shù)時，則f′（x）≤0在D上恒成立．11．如圖，是圓為圓心的一條弦，由下列一個條件能確定值的有（    ）A．已知圓的半徑長B．已知弦長C．已知大小D．已知點到弦的距離【答案】B【分析】作出弦心距，利用數(shù)量積表示出，結(jié)合選項可得答案.【詳解】作于，則，設(shè)，則；.故選：B.12．已知函數(shù)，點，，是直線與函數(shù)的圖象自左至右的某三個相鄰交點，且.若對，以，，的值為邊長可以構(gòu)成一個三角形，那么實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)求出周期，得到，結(jié)合的范圍求出，，的范圍，最后利用構(gòu)成三角形的條件求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，由，解得，∴，∴.∴，當時，，∴，∴，由題意可得對任意的恒成立，∴，∵，，∴，解得.【點睛】求解三角函數(shù)值域的步驟：（1）先化簡目標式為標準型;（2）根據(jù)的范圍求解的范圍，結(jié)合簡圖可得的范圍；（3）根據(jù)的范圍可得的值域.  二、填空題13．設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比等于___________.【答案】2【分析】由，得可得的值.【詳解】因為，，，所以，即，可得，因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以.故答案為：2.14．若拋物線上一點到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為___________.【答案】【分析】先由拋物線的方程求出準線的方程，然后根據(jù)點到準線的距離可求，進而可得拋物線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，點到其準線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標準方程為.故答案為：.15．已知直線是雙曲線的兩條漸近線，點是雙曲線上一點，若點到漸近線的距離的取值范圍是，則點到漸近線的距離的取值范圍是__________．【答案】【分析】設(shè)點P（x0，y0），由雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式，結(jié)合P的坐標滿足雙曲線的方程，可得P到兩漸近線的距離之積為定值，由反比例的性質(zhì)，可得所求范圍．【詳解】設(shè)點，由題可設(shè)漸近線，漸近線，由點到直線的距離，點到直線的距離，有，又，即，則，則，由與成反比，且，所以故答案為：. 三、雙空題16．如圖，在平面四邊形中，，，.將該平面圖形沿線折成一個直二面角，三棱錐的體積為___________；三棱錐的外接球的體積為___________.【答案】        【分析】由平面平面，，得平面，由棱錐的體積公式可得的體積；由已知得平面，得，又，得平面，從而，可得是外接球的直徑，求得球的體積.【詳解】因為平面平面，，則平面，四面體的體積；由平面可得，因為，且，則平面，從而，取的中點，則，所以是外接球的球心，是外接球的直徑，在中，，則球半徑，所以外接球的體積，故答案為：①；②.【點睛】本題考查了球的內(nèi)接問題，關(guān)鍵點是確定球心的位置，考查了學(xué)生的空間想象能力和計算能力. 四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）令，由計算出的值，再令，由計算出，再驗證是否滿足的表達式，由此可得出數(shù)列的通項公式；（2）由題意得出，然后在等式兩邊同時除以可得出，可知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，由此求出數(shù)列的通項公式，可解出數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，；當時，.也適合，因此，數(shù)列的通項公式為；（2），在等式兩邊同時除以得，且.所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，.，得，上式下式得，因此，.【點睛】本題考查由前項和求數(shù)列通項，同時也考查了構(gòu)造法求數(shù)列的通項以及錯位相減法求和，在利用前項和求數(shù)列通項時，一般利用公式來計算，但需對是否滿足的表達式進行驗證，考查運算求解能力，屬于中等題.18．如圖，在底面是菱形的四棱柱中，，，點在上．（1）求證：平面；（2）當為線段的中點時，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由得，由得可得答案；（2）當時得點為的中點時，可得平面，轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離，設(shè)的中點為，則，得平面，利用可求得，利用可得答案．【詳解】（1）證明：因為底面為菱形，，所以，由知，由知，又因為，所以平面．（2）當時，平面．證明如下：連結(jié)交于，當時，即點為的中點時，連結(jié)，則，平面，平面，所以平面，所以直線與平面之間的距離等于點到平面的距離，因為點為的中點，可轉(zhuǎn)化為到平面的距離，，設(shè)的中點為，連結(jié)，則，所以平面，且，可求得，所以，又，，，，所以（表示點到平面的距離），，所以直線與平面之間的距離為． 19．網(wǎng)購是當前民眾購物的新方式，某公司為改進營銷方式，隨機調(diào)查了100名市民，統(tǒng)計其周平均網(wǎng)購的次數(shù)，并整理得到如圖的頻數(shù)直方圖．將周平均網(wǎng)購次數(shù)不小于4次的民眾稱為網(wǎng)購迷．這100名市民中，年齡不超過40歲的有65人，且網(wǎng)購迷中有5名市民的年齡超過40歲．（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提條件下認為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關(guān)？ 網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計年齡不超過40歲   年齡超過40歲   合計   （2）現(xiàn)從網(wǎng)購迷中按分層抽樣選5人代表進一步進行調(diào)查，若從5人代表中任意挑選2人，求挑選的2人中有年齡超過40歲的概率．附： 【答案】（1）填表見解析；能；（2）．【分析】（1）根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并求得卡方值，與3.297進行比較，判斷相關(guān)性；（2）由頻數(shù)分布直方圖知，網(wǎng)購迷共有25人，現(xiàn)從網(wǎng)購迷中按分層抽樣選5人代表，記其中年齡超過40歲的1名市民為A，其余4名年齡不超過40歲的市民為，現(xiàn)從5人中任取2人，列舉出所有的情況，找到滿足情況的種類數(shù)，從而求得概率.【詳解】（1）根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，如下： 網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計年齡不超過40歲204565年齡超過40歲53035合計2575100計算因為3．，所以據(jù)此列聯(lián)表判斷，能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關(guān)．（2）由頻數(shù)分布直方圖知，網(wǎng)購迷共有25人，現(xiàn)從網(wǎng)購迷中按分層抽樣選5人代表，記其中年齡超過40歲的1名市民為A，其余4名年齡不超過40歲的市民為，現(xiàn)從5人中任取2人，基本事件是、Ae、Af、cd、ce、cf、de、df，ef共有10種，其中有市民年齡超過40歲的基本事件是共4種，故所求的概率為．20．已知函數(shù).（1）曲線在點處的切線方程為，求，的值；（2）若，時，，都有，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【分析】(1)對f(x)求導(dǎo)，由給定的切點、切線方程列出關(guān)于a，b的方程而得解；(2)將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)建新函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得.【詳解】（1）由題意，，切線斜率為-1，切點，即，得，又，，即，；（2）當，，時，，在上單調(diào)遞減，不妨令，則，原不等式即為，即，即，令，則在上為單調(diào)增函數(shù)，∴有在上恒成立，即，，令，，，令，，∴在上單調(diào)遞減，，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，∴，即，綜上，.【點睛】含雙變量且具有斜率意義的函數(shù)不等式恒成立問題，分離變量，構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵，再研究函數(shù)單調(diào)性是方法.21．已知橢圓：，連接橢圓上任意兩點的線段叫作橢圓的弦，過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.若橢圓的兩直徑的斜率之積為，則稱這兩直徑為橢圓的共軛直徑.特別地，若一條直徑所在的斜率為0，另一條直徑的斜率不存在時，也稱這兩直徑為共軛直徑.現(xiàn)已知橢圓：.（1）已知點，為橢圓上兩定點，求的共軛直徑的端點坐標.（2）過點作直線與橢圓交于?兩點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.當的面積最大時，直徑與直徑是否共軛，請說明理由.（3）設(shè)和為橢圓的一對共軛直徑，且線段的中點為.已知點滿足：，若點在橢圓的外部，求的取值范圍.【答案】（1）和；（2）直徑與直徑共軛，理由見解析；（3）或.【分析】（1）設(shè)所求直線方程為：依題意可得，即可得到直線方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點坐標即可；（2）設(shè)：，?，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，則，再利用基本不等式求出面積最大值，即可求出參數(shù)的值，即可判斷；（3）設(shè)點，，設(shè)：，則：，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點坐標，從而得到點坐標，再由在橢圓內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：（1）由題設(shè)知，設(shè)所求直線方程為：，則，則.故共軛直徑所在直線方程為：.聯(lián)立橢圓與，即可得：，.故端點坐標為和.（2）由題設(shè)知，不與軸重合，故設(shè)：，?聯(lián)立方程：，則，，，.當且僅當，即時取等號，此時，故直徑與直徑共軛.（3）設(shè)點，，當不與坐標軸重合時，設(shè)：，則：.聯(lián)立.同理可得：，.由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，則必在第二象限或第四象限，則，，若在第二象限，則，，從而，則.又在橢圓外，則，化簡可得：，即，或.若在第四象限，同理可得，即，或.當與軸垂直或重合時，由橢圓的對稱性，不妨取，，則.又在橢圓外，則，即，或，綜上：或.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．在以原點O為極點；x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C1的極坐標方程為，曲線C2的極坐標方程為（1）求曲線C2的直角坐標方程；（2）過原點O且傾斜角為 的射線l與曲線C1，C2分別相交于A，B兩點（A，B異于原點），求?的取值范圍【答案】（1）；（2）.【分析】（1）等式兩邊同時乘以，由即可得到直角方程；（2）寫出直線l的極坐標方程，與曲線C1，C2聯(lián)立，可得與，利用正切函數(shù)圖像的性質(zhì)即可得到取值范圍.【詳解】（1）由曲線的極坐標方程為，兩邊同乘以，得，故曲線的直角坐標方程為．（2）射線的極坐標方程為，把射線的極坐標方程代入曲線的極坐標方程得，把射線的極坐標方程代入曲線的極坐標方程得．，，的取值范圍是．【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)化，考查極坐標方程的應(yīng)用，以及利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和正切函數(shù)圖像的性質(zhì)求范圍問題，屬于基礎(chǔ)題.23．選修4－5：不等式選講已知定義在R上的函數(shù)的最小值為a．（1）求a的值；（2）若p，q是正實數(shù)，且滿足，求證：【答案】(1) (2)見證明【分析】（1）利用絕對值三角不等式即可得到函數(shù)的最小值；（2）由（1）得，則，展開利用基本不等式即可得到證明.【詳解】（1）因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值等于3，即．（2）證明：由（1）知，又因為是正實數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立．【點睛】本題考查利用絕對值三角不等式求函數(shù)的最值，考查利用基本不等式證明不等式，屬于基礎(chǔ)題. 

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