2020屆貴州省凱里市第一中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題  一、單選題1．已知集合，，則（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【解析】求出集合的元素，根據(jù)交集定義計算．【詳解】解：； ∴． 故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的求模公式可求出.【詳解】，故，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計算，同時也考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查計算能力，比較基礎(chǔ)．3．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“”模式，即“”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“”指在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，“”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，則一名學(xué)生的不同選科組合有多少種？（    ）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析該學(xué)生在“語文、數(shù)學(xué)、外語三門”、“化學(xué)、生物、政治、地理四門”、“物理、歷史兩門”中的選法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，有1種選法；②在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，有種選法；③在物理、歷史兩門科目中必選一門，有種選法；則這名學(xué)生的不同選科組合有種.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．已知是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有以下結(jié)論：①   ②③   ④.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，即可作出判定得到結(jié)論.詳解：由題意，對于①中，若，則兩平面可能是平行的，所以不正確；對于②中，若，只有當(dāng)與相交時，才能得到，所以不正確；對于③中，若，根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正確的；對于④中，若，所以是不正確的，綜上可知，正確命題的個數(shù)只有一個，故選B.點(diǎn)睛：本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．5．（2018屆河北省衡水中學(xué)三輪）已知等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，則的值為（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：根據(jù)成等比數(shù)列求得首項(xiàng)，然后再根據(jù)通項(xiàng)公式求即可．詳解：∵成等比數(shù)列，∴，即，解得,∴.故選C.6．若二項(xiàng)式的展開式的第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則自然數(shù)的值為A．6    B．10    C．12    D．15【答案】C【解析】,因?yàn)槠錇槌?shù)項(xiàng)，所以.7．已如非零向量、，滿足，，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)平面向量、的夾角為，由平面向量的數(shù)量積與夾角公式，結(jié)合特殊角的余弦函數(shù)，即可求出與的夾角．【詳解】非零向量、滿足，所以.又，所以，即.設(shè)平面向量、的夾角為，所以，又，所以，即與的夾角為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角的計算問題，是基礎(chǔ)題．8．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令， 因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)?/span>時，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．9．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，，若，，，則、、的大小關(guān)系（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判定出函數(shù)為偶函數(shù)，利用不等式的性質(zhì)可判斷出函數(shù)在上為增函數(shù)，比較、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，且，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，由于函數(shù)是增函數(shù)，且當(dāng)時，，任取，則，所以，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，且，，所以，，則，因此，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，同時也考查了利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小關(guān)系，考查推理能力，屬于中等題.10．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則（   ）A．為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減 B．為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增C．周期為，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．最大值為1，圖象關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】，值域?yàn)?/span>，為偶函數(shù)，選項(xiàng)A排除；周期，令，，故單調(diào)增區(qū)間為，令，，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)在上無單調(diào)性，選項(xiàng)B排除；令，，所以對稱中心為，當(dāng)，不符合，排除C選項(xiàng)；令，當(dāng)是函數(shù)的一條對稱軸，選項(xiàng)D正確。點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，包括最值，單調(diào)性，周期性，奇偶性，對稱性等，屬于中檔題。11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】作OA⊥于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，可得，，，結(jié)合雙曲線定義可得從而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】如圖，作OA⊥于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，∵與圓相切，∴，，又點(diǎn)M在雙曲線上，∴整理，得，∴∴雙曲線的漸近線方程為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線漸近線方程的求法，解題關(guān)鍵建立關(guān)于a，b的方程，充分利用平面幾何性質(zhì)，屬于中檔題.12．定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，不等式恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為　　A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由不等式在上恒成立，得到函數(shù)在時是增函數(shù)，再由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)得到為偶函數(shù)，結(jié)合，作出兩個函數(shù)與的大致圖象，即可得出答案．【詳解】解：定義在R的奇函數(shù)滿足：，且，又時，，即， ，函數(shù)在時是增函數(shù)，又，是偶函數(shù)；時，是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，且，可得函數(shù)與的大致圖象如圖所示，由圖象知，函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為3個．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷問題，是中檔題目．  二、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出所求切線的方程.【詳解】依題意得，因此曲線在處的切線的斜率等于，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．14．已知，則______．【答案】【解析】將所求代數(shù)式變形為，然后利用二倍角的余弦公式可計算出所求代數(shù)式的值.【詳解】，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式，找出所求角與已知角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為______．【答案】【解析】利用拋物線的定義，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出三角形的面積．【詳解】由拋物線定義，，所以，，所以，的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，同時也考查了三角形的面積的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16．已知三角形所在平面與矩形所在平面互相垂直，，，若點(diǎn)、、、、都在同一球面上，則此球的表面積等于______．【答案】【解析】利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出平面，由三棱錐與四棱錐的外接球?yàn)橥粋€球，并設(shè)此球的半徑為，的外接圓半徑為，利用正弦定理計算出的外接圓直徑，然后利用公式可求出，最后利用球體的表面積公式可計算出該球的表面積.【詳解】如下圖所示，由題意可知，三棱錐與四棱錐的外接球?yàn)橥粋€球，并設(shè)此球的半徑為，的外接圓半徑為，四邊形為矩形，則，平面平面，平面平面，平面，平面，設(shè)的外接圓半徑為，由，，則為等腰三角形，且，由正弦定理得，，因此，該球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球，同時也考查了球體表面積的計算，解題的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出線面垂直，轉(zhuǎn)化為直棱錐的外接球來進(jìn)行計算，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題. 三、解答題17．商品的銷售價格與銷售量密切相關(guān)，為更精準(zhǔn)地為商品確定最終售價，商家對商品A按以下單價進(jìn)行試售，得到部分的數(shù)據(jù)如下：單價（元）銷量（件）  （1）求銷量關(guān)于的線性回歸方程；（2）預(yù)計今后的銷售中，銷量與單價服從（1）中的線性回歸方程，已知每件商品的成本是元，為了獲得最大利潤，商品的單價應(yīng)定為多少元？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，）（參考公式：，）【答案】（1）；（2）元.【解析】（1）求出和的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求出和的值，即可求出回歸直線方程；（2）設(shè)商品的單價應(yīng)定為元，可得出利潤關(guān)于的函數(shù)解析式為，再由二次函數(shù)的基本性質(zhì)求最值．【詳解】（1），，，.銷量關(guān)于的線性回歸方程為；（2）設(shè)商品的單價應(yīng)定為元，則利潤，當(dāng)時，獲得的利潤最大．【點(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求最值，考查計算能力，是中檔題．18．在中，設(shè)角的對邊分別為，已知.（1）求角的大?。?/span>（2）若，求周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由三角函數(shù)的平方關(guān)系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域即可得出.【詳解】（1）由題意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），則的周長.，，周長的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的平方關(guān)系，正余弦定理，兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.19．如圖所示，四棱錐中，底面，，，，，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）由已知求解三角形證明，再由，可得，由線面平行的判定可得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，利用空間向量求解直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：在中，，，，則，在中，由，，得，，又，，平面，平面，平面；（2）由底面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，得、、、，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則．因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．20．設(shè)橢圓，離心率，短軸，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)為，（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，為橢圓是一點(diǎn)，且有，當(dāng)線段的中點(diǎn)在軸上時，求直線的方程．【答案】（1） , ;(2)【解析】（1）根據(jù)條件列方程組解得a,b，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)所在位置可設(shè)拋物線方程形式，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）利用斜率設(shè)直線、OB方程，分別與拋物線、橢圓方程聯(lián)立方程組解得A,B橫坐標(biāo)，再根據(jù)A,B橫坐標(biāo)和為0解斜率得A,B坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)式求直線AB 方程.【詳解】(1) 由得，又有，代入，解得 所以橢圓方程為 由拋物線的焦點(diǎn)為得，拋物線焦點(diǎn)在軸，且，拋物線的方程為： (2)由題意點(diǎn)位于第一象限，可知直線的斜率一定存在且大于設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程得：，可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即因?yàn)?/span>，可設(shè)直線方程為：連立方程得：，從而得若線段的中點(diǎn)在軸上，可知，即有，且，解得 從而得， 直線的方程：【點(diǎn)睛】直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達(dá)定理或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.21．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（2）【解析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．，其中，由題意知在上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求出≥0，記，再利用導(dǎo)數(shù)求得所以，即=0，所以a=1.【詳解】（1）依題意，，令，解得，故， 故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為． （2），其中，由題意知在上恒成立，，由（1）可知，∴ ， ∴，記，則，令，得． 當(dāng)變化時，，的變化情況列表如下：+0-極大值  ∴，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，從而得到．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線的交點(diǎn)為，，與曲線的交點(diǎn)為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】（1）首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用普通方程與極坐標(biāo)方程互化的公式即可得到曲線的極坐標(biāo)方程；（2）分別聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程、與的極坐標(biāo)方程，得到、兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，即可求出的長，再計算出到直線的距離，由此即可得到的面積。【詳解】解：（1），其普通方程為，化為極坐標(biāo)方程為（2）聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程：，解得點(diǎn)極坐標(biāo)為            聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程：，解得點(diǎn)極坐標(biāo)為，所以，又點(diǎn)到直線的距離，                                            故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化，利用極徑的幾何意義求三角形面積是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。23．已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時，，即故不等式的解集為．（2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立．若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果. 

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