2020屆四川省綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三10月月考數(shù)學(xué)（文）試題  一、單選題1．已知集合，集合，則集合（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用一元二次不等式以及指數(shù)不等式的解法化簡集合A、B，再根據(jù)并集的定義求解即可．【詳解】集合，集合，集合．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查并集的求法，考查指數(shù)不等式、一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．設(shè)，若，則下列不等式中正確的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解析】利用賦值法:令排除A,B,C,選D.3．設(shè)一元二次不等式的解集為，則ab的值為（    ）A．-6 B．-5 C．6 D．5【答案】C【解析】由題意可得，且為的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可計(jì)算得到a，b.【詳解】由題意，，且為的兩根，所以，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查已知一元二次不等式的解集求參數(shù)的問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.4．下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】直接利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷.【詳解】A. 定義域?yàn)?/span>R， ，故不是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；B. 定義域?yàn)?/span>R，，是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；C. 定義域?yàn)?/span>R，是偶函數(shù)，故正確；D. 由，解得，所以的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知向量，，且，則（    ）A． B． C．4 D．5【答案】A【解析】先根據(jù)向量共線求出，再計(jì)算出向量，再根據(jù)模的公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以由，解得，所以，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量的模的計(jì)算，是中檔題.6．設(shè)，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)冪函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.7．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得出，可求得的值，可得出函數(shù)的解析式，并求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可求得的值.【詳解】，，由題意可知，得.，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查裂項(xiàng)求和法，同時(shí)也考查了利用切線斜率求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8．函數(shù)的最小正周期為，若其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（    ）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．在上單調(diào)遞增C．關(guān)于直線對稱 D．在處取最大值【答案】A【解析】由最小正周期為得出，由的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)為奇函數(shù)得出，進(jìn)而得出，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一對選型進(jìn)行判斷即可得出答案.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期為，可得，向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為，因?yàn)榇撕瘮?shù)為奇函數(shù)，又，所以.故函數(shù)，對于選項(xiàng)：正確；對于選項(xiàng)：當(dāng)，不具有單調(diào)性，故B錯(cuò)；對于選項(xiàng)：，故C錯(cuò)；對于選項(xiàng)：，沒有取到最大值，，故D錯(cuò).故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于中檔題.9．如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離.已知山高，，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°，山頂C的仰角為45°，，則兩山頂A、C之間的距離為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】過作，垂足為，在中，利用余弦定理求出，即得，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得.【詳解】過作，垂足為，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在中，，在直角三角形中，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.，10．已知菱形的邊長為2，，點(diǎn)，分別在邊，上，，，若，則的值為（    ）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】由題意利用向量數(shù)量積的定義和平面向量基本定理整理計(jì)算即可確定的值.【詳解】由題意可得：，且：，故，解得：.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則，平面向量基本定理及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11．已知函數(shù)，則方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)與的圖象,討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)可求出的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象,見下圖.若與相切,求導(dǎo)得,設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率為,即切線方程為:,該切線過原點(diǎn),則,解得,此時(shí),顯然與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),即方程只有一個(gè)實(shí)根;若,直線與的圖象在時(shí)無交點(diǎn),在時(shí)有2個(gè)交點(diǎn),符合題意;若,直線與的圖象在時(shí)有1個(gè)交點(diǎn),在時(shí)有2個(gè)交點(diǎn),不符合題意;若,直線與的圖象在時(shí)有1個(gè)交點(diǎn),在時(shí)無交點(diǎn),不符合題意;若,,直線與的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意.所以只有符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的關(guān)系,考查了曲線的切線方程的求法,利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題. 二、多選題12．命題，；命題，.則下列是真命題的（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】判斷出命題、的真假，利用復(fù)合命題的真假性與簡單命題之間的關(guān)系可判斷各選項(xiàng)中命題的真假.【詳解】對于命題，，命題為假命題；對于命題，，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，但，等號不成立，所以，，命題為真命題.所以，為假命題，為真命題，為真命題，為真命題.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，同時(shí)也考查了全稱命題和特稱命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.  三、填空題13．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是___________.【答案】【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)最小值，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14．函數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】將函數(shù)的解析式變形為，由結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二次型正弦函數(shù)最值的求解，同時(shí)也考查了二倍角公式以及誘導(dǎo)公式的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15．已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化簡為，再利用函數(shù)在上的單調(diào)性即可轉(zhuǎn)化為，然后求得的范圍.【詳解】因?yàn)?/span>為R上偶函數(shù)，則，所以，所以，即，因?yàn)?/span>為上的減函數(shù)，，所以，解得，所以，的范圍為.【點(diǎn)睛】1.函數(shù)值不等式的求法：（1）利用函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)將函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為與大小比較的形式：；（2）利用函數(shù)單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為自變量大小比較的形式，再求解不等式即可.2.偶函數(shù)的性質(zhì)：；奇函數(shù)性質(zhì)：；3.若在D上為增函數(shù)，對于任意，都有；若在D上為減函數(shù)，對于任意，都有.16．已知函數(shù)，，對一切，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】通過分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得a的取值范圍．【詳解】因?yàn)?/span>，代入解析式可得 分離參數(shù)a可得 令（ ）則，令解得 所以當(dāng)0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減當(dāng)1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）在x=1時(shí)取得極小值，也即最小值．所以h（x）≥h（1）=4．因?yàn)閷σ磺?/span>x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4．所以a的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題． 四、解答題17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，，求.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）利用二倍角公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）由得到，再根據(jù)，利用平方關(guān)系得到，然后利用角的變換，由求解.【詳解】（1），，函數(shù)的最小正周期為；由，  得，所以的減區(qū)間為（2）由可得，，，，又，，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的的最大值．【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）根據(jù)，可得 是等比數(shù)列，根據(jù)，可得的值，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由的通項(xiàng)公式，可得的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列求和得，令，解得的范圍，即可得的最大值.【詳解】（1）由已知，有，兩式相減得，即，即，又因?yàn)?/span>，所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，所以，因?yàn)?/span>，所以即，解得，所以使得不等式成立的的最大值為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，解指數(shù)不等式，屬于中檔題.19．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若為銳角，，邊上的中線長，求的面積.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式計(jì)算可得；（2）由（1）可知，再根據(jù)二倍角公式求出，從而得到，在中，設(shè)，在中，利用余弦定理即可求出，最后根據(jù)面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）在中，因?yàn)?/span>，由正弦定理得，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>是三角形的內(nèi)角，所以或（2）由（1）知，因?yàn)?/span>，所以為等腰三角形，且，在中，設(shè)，在中，由余弦定理得，解得所以，所以，所以三角形的面積為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題；20．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【答案】（1）答案見解析；（2）存在，.【解析】（1）求得，令，解得或，對分類討論，判斷的符號即可得出單調(diào)性．（2）由（1）知時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增，對分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分別利用在區(qū)間的最小值為且最大值為1列方程求解即可．【詳解】(1)對求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)由（1）知時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.①若，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為即解得.②若，即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為，最大值為或當(dāng)時(shí)，，故所以區(qū)間上最大值為. 即相減得，即，又因?yàn)?/span>，所以無解.當(dāng)若時(shí)，，故所以區(qū)間上最大值為. 即相減得，解得，又因?yàn)?/span>，所以無解.綜上得.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了方程與不等式的解法，同時(shí)考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21．已知函數(shù)，(是自然對數(shù)的底數(shù)).（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)，證明：有極大值，且滿足.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)可得，結(jié)合，利用點(diǎn)斜式可求在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，兩次求導(dǎo)，由零點(diǎn)存在性定理可得，使得，則在， 單調(diào)遞減；在， 單調(diào)遞增，有極大值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】（1），所以，又故，在點(diǎn)處的切線方程為（2）因?yàn)?/span>，設(shè)，令，解得. 在時(shí)，，單調(diào)遞減，在時(shí)，，單調(diào)遞增；又，. 由零點(diǎn)存在性定理：設(shè)，使得：，即.   又 即∵在，，∴單調(diào)遞增； 在，，∴單調(diào)遞減；在，，∴單調(diào)遞增； ∴有極大值.∵有.  又∵，∴，    .綜上可得：函數(shù)有極大值，且滿足.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于綜合題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線（）與直線和曲線分別交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（），；（2）.【解析】（1）將直線的參數(shù)方程消參，即可得直線的普通方程，要注意；將曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同乘，再將，代入，即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）先將直線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，再將（）代入直線和曲線的極坐標(biāo)方程中，可得點(diǎn)，對應(yīng)的極徑，利用計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）由得，將（為參數(shù)）消去參數(shù)，得直線的普通方程為（）.由得，將，代入上式，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可知直線的普通方程為（），化為極坐標(biāo)方程得（），當(dāng)（）時(shí)，設(shè)，兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，則，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化及參數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，屬于?？碱}.23．已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為m，正實(shí)數(shù)a，b滿足，試求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）化簡函數(shù)，分段求解不等式，即可求出答案.（2）利用絕對值三角不等式求出最小值，再利用基本不等式，即可求出最小值.【詳解】（1）依題意得，因?yàn)?/span>，所以，或，或，解得，或，或.所以，即不等式的解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.則，，因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)取等號，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記含絕對值不等式的解法，以及合理應(yīng)用絕對值的三角不等式求解最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題. 

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