2020屆四川省綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三10月月考數(shù)學(xué)（理）試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解絕對值不等式得集合，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法，交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（    ）A．7 B．10 C．14 D．21【答案】C【解析】由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)解得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得出．【詳解】，，解得．則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3．已知正方形的邊長為1，設(shè)，，，則等于（    ）A．0 B． C．2 D．【答案】C【解析】利用向量的三角形法則、向量加法的運(yùn)算律及向量減法的運(yùn)算律，即可得解.【詳解】如圖，，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的三角形法則、向量加法的運(yùn)算律、向量減法的運(yùn)算律及向量的模，考查學(xué)對這些知識的掌握能力，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)，，則的值是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用二倍角公式將展開，即可求的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得及，然后利用二倍角公式求得.【詳解】由，，得，所以，則，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，6l，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為(    )A．99 B．131 C．139 D．141【答案】D【解析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，尋找數(shù)列的一般規(guī)律，即可求得該數(shù)列的第8項(xiàng)；【詳解】所給數(shù)列為高階等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的第8項(xiàng)為根據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)新數(shù)列，得到的新數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)新數(shù)列即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：根據(jù)圖象可得：，解得解得：故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的新定義，解題關(guān)鍵是理解題意和掌握等差數(shù)列定義，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則值域?yàn)?/span>；因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)有最小值時(shí)，需滿足，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有指數(shù)函數(shù)的值域，以及根據(jù)分段函數(shù)有最值求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題目.7．已知，，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．. C．. D．.【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于基礎(chǔ)題.解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(    )A．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的D．函數(shù)圖象的對稱中心為【答案】D【解析】根據(jù)題意求出解析式，利用正弦函數(shù)的對稱性及單調(diào)性依次判斷選項(xiàng).【詳解】由圖象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且，∴，∴f（x）＝2sin（ωx），∵f（）＝0且為單調(diào)遞減時(shí)的零點(diǎn)，∴，k∈Z，∴，k∈Z，由圖象知，∴ω，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），∵函數(shù)f（x）的圖象可由y＝Asinωx的圖象向左平移個(gè)單位得，∴A錯，令2x，k∈Z，對稱軸為x，則B錯，令2x,則x，則C錯，令2xkπ，k∈Z，則x＝，則D對，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)，考查了正弦函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，屬于中檔題．9．已知命題：，，命題：恒成立，則.下列命題為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先利用函數(shù)圖象交點(diǎn)、不等式恒成立判斷，的真假，再利用復(fù)合命題的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】因?yàn)?/span>有交點(diǎn)，所以，，即為真命題，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，也恒成立；故為假命題；所以、、為假命題，為真命題；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了簡易邏輯的有關(guān)判定以及一元二次不等式恒成立問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．在數(shù)列中，已知，，，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知兩邊取倒數(shù)，求出 的通項(xiàng)公式即可.【詳解】  ， 所以是以 為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列， ，故選:B【點(diǎn)睛】當(dāng)遞推關(guān)系不能直接表達(dá)為等差或等比數(shù)列時(shí)，通過將所給遞推關(guān)系變形，顯現(xiàn)出一個(gè)相關(guān)數(shù)列為等差或等比數(shù)列，間接求出原數(shù)列得通項(xiàng)公式.11．已知函數(shù)（且），則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】很明顯函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.函數(shù)有意義，則：恒成立，即：.結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即若在上是單調(diào)函數(shù)，則或，“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的必要不充分條件.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減)，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡稱：同增異減．12．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若存在一次函數(shù)，使得對于任意的，都有恒成立，則稱函數(shù)是函數(shù)在上的弱漸進(jìn)函數(shù).下列結(jié)論正確的是（    ）①是在上的弱漸進(jìn)函數(shù)；②是在上的弱漸進(jìn)函數(shù)；③是在上的弱漸進(jìn)函數(shù)；④是在上的弱漸進(jìn)函數(shù).A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】根據(jù)弱漸進(jìn)函數(shù)的新定義，對4個(gè)命題分別構(gòu)建①由構(gòu)建關(guān)系，并分子有理化，由不等式性質(zhì)可知符合題意，正確；②由構(gòu)建關(guān)系，由雙勾函數(shù)值域可知不符合題意，錯誤；③由構(gòu)建關(guān)系，取特值，不符合題意，錯誤；④構(gòu)建關(guān)系，求導(dǎo)分析單調(diào)性，求得值域，符合題意，正確.【詳解】①由于，因?yàn)?/span>，所以，所以①正確；②設(shè)，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以②錯誤；③設(shè)取特值， 不符合，所以③錯誤；④設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以；又時(shí)，，，即，所以，④正確.綜上，①④正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問題，需根據(jù)定義精準(zhǔn)對應(yīng)定義要求，屬于難題.  二、填空題13．數(shù)列滿足且，則的值是___________【答案】11【解析】由遞推式可得數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，由得的值，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，代入即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，由得，所以，即，故答案為：11.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的判定與性質(zhì)，對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14．曲線在點(diǎn)處的切線方程與直線垂直，則______．【答案】【解析】由點(diǎn)在曲線上，即可求出，再求出曲線在點(diǎn)的切線，根據(jù)兩直線垂直兩直線斜率乘積為，求出，即可得解；【詳解】解：∵是的點(diǎn)，則，，顯然在點(diǎn)處的斜率，則切線方程為，∵直線與直線垂直，則，顯然，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，主要考查考生對相關(guān)概念、知識的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題．15．已知, ,則 _________.【答案】2【解析】推導(dǎo)出，再由求的值.【詳解】∵ ，∴，∵， ∴  故填：2.【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)解析式求函數(shù)值，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)的關(guān)系.16．如圖，在中，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則的最小值為__________. 【答案】【解析】設(shè)，由，可得：再由，可得：，則，最后由可得解.【詳解】設(shè)的面積為，為中點(diǎn)，又C、P、Q三點(diǎn)共線，，即則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算及三角形的面積公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題. 三、解答題17．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)；（2）．【解析】試題分析：（1）利用等差等比基本公式，計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.試題解析：(1)設(shè)公差為，因?yàn)?/span>，，成等數(shù)列，所以，即，解得，或(舍去)，所以.(2)由(1)知，所以，，所以.18．在中，角，，的對邊分別是、、，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化為角,再由正弦的和角公式化簡即可求得角的大?。?/span>（2）根據(jù)三角形面積公式先求得，再代入余弦定理即可求得的值．【詳解】（1）∵，由正弦定理代入化簡可得，                       即，，即，，，即，又，， （2） ，由（1）知，結(jié)合三角形面積公式可知，，由余弦定理有，.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理邊角轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，三角形面積公式的簡單應(yīng)用，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19．已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若把向右平移個(gè)單位，圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到函數(shù)，求在區(qū)間上的最值.【答案】（1）；（2）最小值為，最大值為.【解析】（1）利用二倍角公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)平移求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求出在區(qū)間上的最值.【詳解】（1）， 令，，得，， 又，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為. （2）由（1）知，把向右平移個(gè)單位，圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到，因?yàn)?/span> ，所以故的最小值為，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了兩角和正弦公式、二倍角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后按和分類討論確定的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間；（2）問題變形為方程有兩解，【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>    當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，由得：，由得：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減綜上可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩解令， 令，在上恒成立在單調(diào)遞減又，則，，，所以在單增，在單減，，時(shí)，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．零點(diǎn)個(gè)數(shù)總是常常轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，又可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．本題中在確定出函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）后還必須確定函數(shù)值的變化趨勢才可得出正確答案，否則易出現(xiàn)擴(kuò)大了的范圍．21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最值；（2）若，是方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證：.【答案】（1）最小值為，無最大值；（2）證明見解析.【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值；（2）由題意可得得到，把要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，不妨令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明在上為減函數(shù)，可得，則結(jié)論得證.【詳解】（1）依題意，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，∴單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，故最小值等于，無最大值.（2）因?yàn)?/span>，是方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴，兩式相減得，解得 ，要證：，即證：，即證：，即證，不妨設(shè)，令，只需證， 設(shè)，∴，令，∴， ∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在為減函數(shù)，         ∴.即在恒成立，∴原不等式成立，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明恒成立問題，屬于難題.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若曲線與相交于A、B兩點(diǎn).（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程;（2）求點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之積.【答案】（1），；（2）2.【解析】（1）給曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同乘，然后利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化.曲線的參數(shù)方程兩式相加消去，得直角方程；（2）將曲線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，然后利用直線參數(shù)方程中的幾何意義求解.【詳解】（1）由曲線的極坐標(biāo)方程可得曲線的直角坐標(biāo)方程為, 由曲線的參數(shù)方程可得曲線的普通方程為, （2）將曲線的參數(shù)方程 (t為參數(shù)),代入曲線的普通方程得：, 設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為、，∴,  ， 可得.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程中的幾何意義的應(yīng)用，難度一般.23．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先通過分類討論去掉絕對值符號，再分段求出的解，從而得到原不等式的解.（2）根據(jù)給定的范圍可把轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，可得關(guān)于的不等式組，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，不等式等價(jià)于或或，解得或，不等式解集為.（2）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，整理得，記，則，解得.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，一般有零點(diǎn)分段討論法、數(shù)形結(jié)合法、平方法等，對于不等式的恒成立問題，應(yīng)該根據(jù)不等式的特點(diǎn)合理構(gòu)建新函數(shù)，得到關(guān)于參數(shù)的不等式或不等式組，本題屬于中檔題. 

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