?天津一中 2020-2021-1 高三年級 數(shù)學(xué)學(xué)零月考試卷

本試卷分為第 I 卷（選擇題）、第 II 卷（非選擇題）兩部分，共 100 分，考試用時
90 分鐘。第 I 卷 1 頁，第 II 卷 至 2 頁?？忌鷦?wù)必將答案涂寫在規(guī)定的位置上，答在 試卷上的無效。

一．選擇題

1．已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5} , A = {1, 2, 4} ， B = {2, 5} ，則 (CU A) è B = ( ) A． {3, 4, 5} B． {2, 3, 5} C． {5} D． {3}
x0

2.命題“存在 x0 ? R， 2
￡ 0”的否定是 （ ）



A.不存在 x0 ? R,
2x0
>0 B.存在 x0 ? R,
2x0 3 0


C.對任意的 x ? R, 2x ￡ 0 D.對任意的 x ? R, 2x >0



3．已知條件 p : ( x 2 + 1)( x - 5) > 0 .條件 q :
x - 2
x 2 + 1

> 0 ，則 p 是 q 的 （ ）


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

7 1 1 1

5
4.已知 a = log , b = ( ) 3 , c = log
3
3 2 4 1
，則 a, b, c 的大小關(guān)系為 ( )




A． a > b > c
B． b > a > c
C． b > c > a
D． c > a > b



1 = 2 -
1 (n 3 2, n ? N * ) ，則數(shù)列

的第 項為

5.數(shù)列 {an } 滿足 a1 = 2, a2 = 1 ， a a a
{an }
100


( )

A． 1
100




B． 1
50
n -1



C．
n n +1



1
2100




D． 1
250







uuur

6.在矩形 ABCD 中， AB =
uuur uuur uuur
3, AD = 2 ， P 為矩形內(nèi)一點，且 | AP |= 1 ，若

AP = lAB + mAD (l,m? R ) ，則 3l+ 2m 的最大值為 ( )


A． 6
2
B． 2 C． 3
2
D． 6 + 3 2
4


ìx2 - x + 3, x ￡ 1,
? x

7.已知函數(shù) f (x) = í
?x +
?
2 , x > 1.
x
設(shè) a ? R ，若關(guān)于 x的不等式 f ( x) 3|
+ a | 在 R 上恒成
2

立，則 a的取值范圍是 （ ）


A． [- 47 , 2]
16
B． [- 47 , 39 ]
16 16
C． [-2 3, 2]
D． [-2 3, 39 ]
16



二．填空題

8． i 是虛數(shù)單位，則 | 8 - i |= .
2 + i


9.在 ( x -
2 )5 的展開式中， x2 的系數(shù)是 .
x2


10. 為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計了 n 名學(xué)生的課外閱讀時
間，所得數(shù)據(jù)都在 [50,150] 中，其頻率分布直方圖如圖所示，已知 在 [50,100) 中的頻數(shù)為160 ，則 n 的值為 ．




11.現(xiàn)有 6 位機(jī)關(guān)干部被選調(diào)到 4 個貧困自然村進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧，要求每位機(jī)關(guān)干部只能參 加一個自然村的扶貧工作，且每個自然村至少有 1 位機(jī)關(guān)干部扶貧，則不同的分配方案有
種．。



12.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天 7 : 30 之前到校的概率均為 2 .假定甲、乙兩位同學(xué)到
3
校情況互不影響，且任一位同學(xué)每天到校情況互相獨立.用 X 表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中
7 : 30 之前到校的天數(shù)，則隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望為 ；設(shè) M 為事件“上學(xué)期間的 三天中，甲同學(xué)在 7 : 30 之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在 7 : 30 之前到校的天數(shù)恰好多 1 ”，則事 件 M 發(fā)生的概率為 ．





ì x2 , x 3 t
13. 已知函數(shù) f ( x) = í
? x, x < t
，若存在實數(shù) a ，使得函數(shù) y = f (x) - a 有兩個零點，則 t 的

取值范圍是 ．

三．解答題


14．在 DABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c .已知
a = 2 2, b = 5, c =
13.


（1）求角 C 的大??；

（2）求 sin A 的值；


（3）求 sin(2 A +
p
) 的值.
4



















15. 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐 P - ABCD 中， AD / / BC ， DABC = 90o ， PA ^ 平
面 ABCD ， PA = AB = BC = 2, AD = 1 若 M 為 PC 的中點，

（1）求證： DM / / 平面 PAB ；

（2）求直線 MD 與平面 PBD 成角的正弦值大?。?br />
（3）求二面角 P - BD - M 的余弦值大小.

16.已知數(shù)列 {an } 的前 n 項和為 Sn , 數(shù)列 {bn } 為等差數(shù)列， b1 = -1, bn > 0(n 3 2) ，
b2 Sn + an = 2 且 3a2 = 2a3 + a1 .

（1）求 {an } ， {bn } 的通項公式；


（2）設(shè) cn =
1
,Tn = b1c1 + b2c2 + L + bn cn ，求 Tn .
an

























17．已知函數(shù) f ( x) = (ax 2 + x - 1)e x + f ￠(0) .

（1）求 f ￠(0) 的值；

（2）討論函數(shù) f ( x) 的單調(diào)性；

（3）若 g ( x) = e- x f ( x) + ln x, h( x) = e x ，過原點 (0, 0) 分別作曲線 y = g (x) 與 y = h(x) 的切線


l1 , l2 ，且 l1 , l2 關(guān)于 x 軸對稱，求證： -
(e + 1)3
2e2

< a < -
e + 2 .
2

18．已知函數(shù) f ( x) = ln x - ax + 1, g ( x) = x(e x - x) ，
（1）若直線 y = 2x 與函數(shù) f ( x) 的圖像相切，求實數(shù) a 的值；
（2）若存在 x1 ? (0, +￥), x2 ? (-￥, +￥) ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) = 0 ，且 x1 - x2 > 1, 求實數(shù) a 的取 值范圍；
（3）當(dāng) a = -1 時，求證： f ( x) ￡ g ( x) + x 2

參考答案：

1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A

8. 13

9.-10

10. 400

11. 1560

58

12. 2

243

13.t∈(0,1)∪(-∞,0)

14.


（1） cosC=
a 2 + b2 + c 2 8 + 25 - 13 2
= =


C = p
4
2ab
20 2 2


（2）sin A= a sin C
c
= 2 2 × 2 = 2 13 = 2

13

a < c
2 13 13

Q A為銳角
cosA= 3
13
sin 2 A = 2 sin A × cos A = 12
13
cos 2 A = 2 cos 2 A -1 = 5
13
p


sin(2 A + ) =
2 (sin 2 A + cos 2 A)

4 2
= 2 ′ 17 = 17 2
2 13 26

uuur
（1）MD =（0，-1，-1）
r
平面PBD的法向量為u = (2,1,1)

設(shè)直線D與平面PBD
或因為a


uur r
sina|cos=
ur r
2



=
3
2 ×

6

3

u
D × u
r r |=
| D | × | u |
r

(3)平面MBD的法向量為t = (2, +1, -1)
平面P - BD - M 所成角為b，且b 為銳角


r r
cos b =| cos < u × t >|=

uur
PB = (0, 2, -2)
uuur
PD = (1, 0, -2)
r r
r
u × t
r
| u | × | t |

= 4 = 2
6 3


ì y - z = 0
í
? x - 2z = 0
uuur
ì x = 2
í
?
T ? y = 1
? z = 1

BD = (1, -2, 0)
uuur
MD = (0, -1, -1)


ìb2 Sn + an = 2 ①
當(dāng)n 3 2時 í + =

?b2 Sn -1
an -1 2 ②

由①-②可得：b2 × an + an - an -1 = 0

(b2 + 1) × an = an -1
(b2 > 0)

an = 1 = 1 = 1 = 1

an -1
1 + b2
b2 - (-1)
b2 - b1 d

\{an }GP, 且公比為q > 0
Q 3a2 = 2a3 + a1

3a q = 2a q 2 + a
(a 1 0)

1 1 1 1
2q2 - 3q + 1 = 0


ìq = 1

?
ìq = 1

í 或 í 2

?d = 1（舍）
??d = 2


Q an
= ( 1 )n -1
2

bn = 2n - 3

(2)Cn
= 2n -1

b × C
= (2n - 3) × 2n -1

n n


bnCn


\Tn
= (n - 3 ) × 2n
2
= (n - 5 ) × 2n +1 + 5 (n ? N * )
2


（1）f / ( x) = (ax2 + 2ax + x)e x
f / (0) = 0
(2) f / ( x) = x × (ax + 2a +1)e x × x ? R

1°當(dāng)a = 0時

f / ( x) = x × e x

x (-￥0) (0 + ￥)





2°當(dāng)a = - 1 時

f / ( x)

f ( x)
f / ( x) = - 1 x 2e x ￡ 0

- +
ˉ -

f ( x) 在(-￥, +￥) ˉ

2 2

3°當(dāng)a < - 1 時
2
x (-￥, -2 1 ) (-2 - 1 , 0) (0, +￥)
a a

f / ( x)

f ( x)
- + -
ˉ - ˉ

4° 當(dāng) - 1 < a < 0時 x
2

(-￥, 0)
(0, -2 × 1 ) (-2 - 1 , +￥)
a R

f / ( x)

f ( x)
- + -
ˉ - ˉ


5°當(dāng)a > 0時 x
(-￥, -2 - 1) (-2 - 1 , 0) (0, +￥)
a a

f / ( x)

f ( x)
+ - +
- ˉ -


2
(3) g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x 過(0, 0)作h( x) = e x 切線l : y = ex Q l1與l2關(guān)于x軸對稱
ì y = -ex
\ l1 : í
? g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x
設(shè)切點P（x0 ,g (x0 )）

ì2ax
+1 + 1

= -e( x

> 0) ①

í
? 0 x2 0

?ax2 + x
- 1+ ln x
= -a x0 ②

? 0 0 0

由①可知 : a =
1 - e +1由①②可知x

- 3 + 2 ln x

= -ex

2 x2 2x
0 0 0

0 0

(e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3 = 0
t ( x0 ) = (e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3
t ( x0 )在(0, +10) -
t (1) = e + 1 - 3 > 0

t ( e
) = e - 3 + ln e < 0

e + 1 2
x ? ( e ,1)
0 e + 1
1 ? (1,1 + 1 )
e + 1

x0 e
a = - 1 ( 1 )2 - e +1 ( 1 )

2 x2
2 x0

在(1,1+ 1 ) ˉ
e
-(e + 1)3




-e - 2

a ? ( , )
2e2 2


18.

（1）f / ( x) = 1 - a( x > 0)
x
設(shè)切點P（x0 2x0）

\ 切線方程為：y = ( 1 - a)x x0








0 + ln x0

ì 1
?
í x0

- a = 2

ìa = -1
T í =

?ln x = 0
? x0 1

? 0


（2）g(x )=x
(ex2 - x ) = 0 (e x > x)


\ x2 = 0
2 2 2

欲想$x1 > 1, f (x1 ) = 0
只需 : ax1 = ln x1 +1
只需 : a = ln x1 +1
x1
h( x) = ln x + 1 ( x > 1)
x
h/ ( x) = - ln x < 0
x2
且h(1) = 1 lim h( x) = 0
只需：0 < a < 1

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