天津市耀華中學(xué)2021屆高三年級第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的4個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案涂在答題卡上.1. 若為實數(shù),且 ,則（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】由題意可得 ,故選D.考點：本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運算,及復(fù)數(shù)相等的概念. 2. 設(shè)命題，則為（ ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項為C. 3. 條件是條件的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】先將、解出，比較其解集的包含關(guān)系，就可以做出判斷．【詳解】條件的解集為，條件的解集為，，，顯然，故條件是的充分不必要條件，故選：．【點睛】本題是集合與命題的綜合題，考查了絕對值不等式與一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．4. 已知，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由不等式的基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：對于，若，則，故錯誤；對于，若，則，故錯誤；對于，若，則，無意義，故錯誤；對于，函數(shù)為減函數(shù)，若，則，即，故正確．故選：．【點睛】本題主要考查不等式基本性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5. 三個數(shù)的大小順序是 （    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】由題意得，，故選D.6. 若實數(shù)是方程的解，則屬于區(qū)間（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則方程的根，即為函數(shù)的零點，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，判斷各區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值的符號，即可得到答案．詳解】令，則方程的解，即為函數(shù)的零點（1）（2）故函數(shù)的零點位于區(qū)間上，即方程的根屬于區(qū)間故選：．【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)的零點，其中根據(jù)方程根與函數(shù)零點之間的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題是解答的關(guān)鍵．7. 函數(shù)的大致圖像為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】函數(shù)是由函數(shù)向左平移1個單位得到的，而是偶函數(shù)，所以得的圖像關(guān)于直線對稱，再取值可判斷出結(jié)果.【詳解】解：因為是由向左平移一個單位得到的，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，所以的圖像關(guān)于對稱，故可排除A，D選項；又當(dāng)或時，，，所以，故可排除C選項.故選：B.【點睛】此題考查函數(shù)圖像的識別，利用了平移、奇偶性，函數(shù)值的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.8. 已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為和的圖象在內(nèi)有交點，求出的范圍即可．【詳解】，若在內(nèi)不單調(diào)，則在內(nèi)有實根，即和的圖象在內(nèi)有交點，顯然在遞增，故，故，故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．9. 若，且，則下列不等式成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件有，且，，，結(jié)合指對冪函數(shù)的性質(zhì)比較的大小.【詳解】由，且知：，∴，，，∴，而，即，綜上，有.故選：C【點睛】本題考查了由不等關(guān)系比較大小，結(jié)合基本不等式、的關(guān)系比較大小，屬于基礎(chǔ)題.10. 設(shè)，若，，則的最大值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先解出，再根據(jù)對數(shù)性質(zhì)化簡，最后根據(jù)基本不等式求最值.詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）因此即的最大值為2，故選：C【點睛】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式轉(zhuǎn)換、對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.11. 設(shè)實數(shù)，函數(shù)對任意的實數(shù)都滿足，當(dāng)時，，若，則（    ）A. 4 B.  C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的周期性，再利用得令，得，求出即可.【詳解】因為，所以 ，因為，可得，所以，所以周期為，所以，令，則，所以，故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，利用周期性求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.12. 已知函數(shù)，若方程恰有個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分別作出和的圖象，根據(jù)圖象觀察，找到臨界直線、和，聯(lián)立直線和曲線方程，找到交點坐標(biāo)，可得實數(shù)的取值范圍．【詳解】，其圖象是一個倒V形的兩條射線，且互相垂直, 作出的圖象如圖， 直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程為：，聯(lián)立直線線l的方程為：，把代入中，得，，令即此時直線l和有且只有一個交點，直線l的方程聯(lián)立恒過定點顯然實數(shù)的取值范圍是時，和圖象恰有兩個交點，即恰有2個不同的實數(shù)根，故選：D【點睛】考查函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，將答案填寫在答題紙上. 13. 已知集合，，若，則實數(shù)的值為____.【答案】【解析】【分析】由可得出或，并驗證是否成立，由此可求得實數(shù)的值.【詳解】集合，，，則或，解得或.當(dāng)時，，則，合乎題意；當(dāng)時，，則，不合乎題意.綜上所述，.故答案為：.【點睛】本題考查利用交集的運算結(jié)果求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14. 在的二項展開式中，常數(shù)項為______.【答案】【解析】【分析】由二項式的通項有，當(dāng)時為常數(shù)項.【詳解】由二項式通項知：，∴當(dāng)時，有常數(shù)項為，故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理，利用二項式的通項找到對應(yīng)，進而求常數(shù)項，屬于基礎(chǔ)題.15. 函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)增減性和二次函數(shù)單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)真數(shù)的定義域列出不等式組，即可求解【詳解】由在上單調(diào)遞增可知，即設(shè)，則，即，解得綜上所述，故答案為：【點睛】本題考查由復(fù)合函數(shù)在定區(qū)間的單調(diào)性求解參數(shù)取值范圍，易錯點為忽略對數(shù)函數(shù)中真數(shù)的取值范圍，屬于中檔題16. 定義在上的奇函數(shù)單調(diào)遞減，且滿足，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為自變量大小關(guān)系，再考慮到函數(shù)定義域可得的不等式組，從而求解即可．【詳解】，即為，又是定義在，上的奇函數(shù)，，又定義在上函數(shù)單調(diào)遞減，解得，實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，【點睛】本題考查函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，考查轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．17. 已知定義在上的函數(shù)滿足，， 且當(dāng)時，，則=_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的已知關(guān)系可得，即有，結(jié)合時，有時，且，即可求的值.【詳解】由，即有，由，即有，∴，即的周期為2，則，而，即，若令，則，當(dāng)時，知：，結(jié)合，∴時，，∴，故答案為：.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性及已知區(qū)間的解析式求函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)出函數(shù)的周期，并由已知區(qū)間解析式求目標(biāo)區(qū)間解析式，進而求函數(shù)值.18. 已知αR，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則 的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)時，，分，和討論求解.【詳解】因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的最大值，（舍去）；當(dāng)時，，此時命題成立；當(dāng)時，，則或，解得或，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.三.解答題：本大題共4個小題，共計60分　請在解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.19. 在中，角，，所對邊分別是，，，已知，.（1）若，求的值；（2）的面積為，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可得 ，由正弦定理可得，求得，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式可得結(jié)果；（2）由，可得，再利用余弦定理，配方后化簡可得.【詳解】（1）由，則，且 ，由正弦定理，因為，所以，所以， （2），∴， ，∴， ，∴.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑．20. 如圖，多面體中，兩兩垂直，且，，，.（1）若點在線段上，且，求證：面；（2）若點在線段上，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求線段的長；（3）求銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】構(gòu)建以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，的坐標(biāo)，求面的法向量，（1）應(yīng)用向量數(shù)量的坐標(biāo)公式求數(shù)量積，即可證面；（2）設(shè)，應(yīng)用向量夾角與線面角的關(guān)系得到求，再求向量的模即為的長；（3）根據(jù)平面法向量的夾角與二面角關(guān)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值即可.【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，則有，，設(shè)平面的一個法向量，則：，化簡得，令，得，（1），即，又平面，∴面（2）設(shè)點，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則有， ，（舍），即有，的長等于.（3）由已知平面的法向量，而，，設(shè)平面的一個法向量，∴即，令，則，設(shè)銳二面角的平面角為，則，∴銳二面角的余弦值為．【點睛】本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式證明線面平行，由線面角、面面角與向量間夾角的關(guān)系求線段長度、二面角余弦值.21. 已知數(shù)列滿足:，，N*且≥.（1）求證: 數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由遞推式得，進而有，由等差數(shù)列定義即可證明為等差數(shù)列；（2）由（1）的結(jié)論即可求的通項公式；（3）根據(jù)新數(shù)列與關(guān)系得，用裂項相消法求的前項和.【詳解】（1）證明：又∴數(shù)列是以首項為，公差為的等差數(shù)列（2）由（1）得，（3）解：【點睛】本題考查了根據(jù)遞推關(guān)系證明等差數(shù)列，由所得數(shù)列求原數(shù)列的通項公式，最后由新數(shù)列與已知數(shù)列的關(guān)系求新數(shù)列通項，結(jié)合裂項相消法求新數(shù)列的前n項和.22. 已知函數(shù)，(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若，關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對任意，，不等式均成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值即可;(2)若,關(guān)于x的方程f(x)=k?g(x)有且僅有一個根,即,有且只有一個根,令,可得h(x)極大=h(2)=,h(x)極小=h(1)=,進而可得當(dāng)k＞或0＜k＜時,k=h(x)有且只有一個根;(3)設(shè),因為在[0,2]單調(diào)遞增,故原不等式等價于在x1、x2∈[0,2],且x1＜x2恒成立,當(dāng)恒成立時,;當(dāng)恒成立時, ,綜合討論結(jié)果,可得實數(shù)a取值范圍【詳解】（1）當(dāng)時,, 故在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增, 當(dāng)時,, 當(dāng)時,, 故在區(qū)間上．（2）當(dāng)時, 關(guān)于的方程為有且僅有一個實根, 則有且僅有一個實根, 設(shè),則,因此在和上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增,, 如圖所示, 實數(shù)的取值范圍是．（3）不妨設(shè),則恒成立．因此恒成立, 即恒成立,且恒成立, 因此和均在上單調(diào)遞增,設(shè),則在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上單調(diào)遞減, 因此時,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,設(shè),則．當(dāng)時,, 因此在內(nèi)單調(diào)遞減, 在內(nèi)單調(diào)遞增,因此．綜上述,．【點睛】本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值，運算量大，綜合性強，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．  

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