理科數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 已知集合，集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A,再求交集.【詳解】由題意知，，所以，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求分式不等式和集合求交集，屬于基礎(chǔ)題.2. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1748年得到復(fù)數(shù)的三角方程：（i為虛數(shù)單位），根據(jù)此公式可知，若，則的一個(gè)可能值為（    ）A. 0 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件由可得，即且，可得答案.【詳解】根據(jù)條件由則，所以且所以故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相等，考查新定義，屬于基礎(chǔ)題.3. （    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】 由兩角差的余弦函數(shù)，可得，故選．4. 已知雙曲線的方程為，雙曲線右焦點(diǎn)F到雙曲線漸近線的距離為（    ）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程求得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點(diǎn)到漸近線的距離，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“一個(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，知長(zhǎng)排來(lái)爭(zhēng)三歲，其年二百七歲期借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推”大致意思是：一個(gè)公公九個(gè)兒子，若問(wèn)他們的生年是不知道的，但從老大的開(kāi)始排列，后面兒子比前面兒子小3歲，九個(gè)兒子共207歲，問(wèn)老大是多少歲? （    ）A. 38 B. 35 C. 32 D. 29【答案】B【解析】【分析】由題意，將九個(gè)兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，九個(gè)兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.6. 為了更好地配合我市“文明城市”的創(chuàng)建工作，我校開(kāi)展了”文明行為進(jìn)班級(jí)”的評(píng)比活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)甲.乙兩個(gè)年級(jí)進(jìn)行評(píng)比，從甲.乙兩個(gè)年級(jí)中隨機(jī)選出10個(gè)班級(jí)進(jìn)行評(píng)比打分，每個(gè)班級(jí)成績(jī)滿分為100分，評(píng)分后得到如圖所示的莖葉圖，通過(guò)基葉圖比較甲、乙兩個(gè)年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)及方差大?。?/span>    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可分別計(jì)算求得平均數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分散程度可確定方差大小.【詳解】，，；由莖葉圖可知，甲年級(jí)的成績(jī)集中在多分，即集中在平均分附近，而乙年級(jí)的成績(jī)比較分散，所以.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)莖葉圖比較平均數(shù)和方差的大小關(guān)系問(wèn)題；比較方差大小的關(guān)鍵是明確數(shù)據(jù)越集中，則方差越小，屬于基礎(chǔ)題.7. 若是以O為圓心，半徑為1圓的直徑，C為圓外一點(diǎn)，且.則（    ）A. 3 B. C. 0 D. 不確定，隨著直徑的變化而變化【答案】A【解析】【分析】將通過(guò)向量加法的三角形法則用表示出來(lái)即可.【詳解】如圖，，故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵是將用知道模的向量來(lái)表示，是基礎(chǔ)題.8. 已知圓M的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線l與圓M相交的所有弦中，弦長(zhǎng)最短的弦為，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)的弦為，則四邊形的面積為（    ）A. 30 B. 40 C. 60 D. 80【答案】B【解析】【分析】由題可知點(diǎn)在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點(diǎn)的弦，過(guò)最長(zhǎng)的弦為直徑，求出后即可求出四邊形面積.【詳解】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓是以為圓心，5為半徑的圓，且由，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點(diǎn)的弦，所以，所以，過(guò)最長(zhǎng)的弦為直徑，所以，且，故而.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9. 正四面體的俯視圖為邊長(zhǎng)為1的正方形，則正四面體的外接球的表面積為（    ）A  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，該正四面體可以看成邊長(zhǎng)為1的正方體六個(gè)面對(duì)角線組成的正四面體，則正四面體的外接球，即為邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球，從而可求出球的半徑，得出球的表面積.【詳解】如圖，該正四面體可以看成棱長(zhǎng)為1的正方體六個(gè)面對(duì)角線組成的正四面體，所以正四面體的外接球，即為邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球，所以外接球的半徑為，則該外接球的表面積為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求幾何體外接球的表面積，屬于?？碱}型.10. 已知，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（    ）A. 即是奇函數(shù)也是周期函數(shù) B. 的最大值為C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義及判定，可判定A是正確的；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可判定C、D是正確的；由，令，利用求導(dǎo)方法求函數(shù)的最值，即可判定B選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以是奇函數(shù)；且，所以又是周期函數(shù)，所以A是正確的；由，即，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以C是正確的；由，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以D是正確的；由，令，，令，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，的極大值為，所以的最大值為，即函數(shù)的最大值為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的函數(shù)的基本性質(zhì)的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的周期性、對(duì)稱性，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.11. 已知拋物線C：，為的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于、兩點(diǎn)，則下面陳述不正確的為（    ）A.  B. C.  D. 記原點(diǎn)為，則【答案】D【解析】【分析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，代入選項(xiàng)中進(jìn)行整理可知正確；，知錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)直線，，，由得：，，，，，故正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)亦成立，故正確；，故正確；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)亦成立，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到拋物線焦半徑公式的應(yīng)用、拋物線中三角形面積問(wèn)題的求解等知識(shí)；本題中的各個(gè)選項(xiàng)屬于拋物線問(wèn)題中與過(guò)焦點(diǎn)的直線有關(guān)的常用結(jié)論，熟記結(jié)論可減少計(jì)算證明時(shí)間.12. 下列四個(gè)命題：①②③④，其中真命題為（    ）A. ①②③個(gè) B. ①③個(gè) C. ①②④個(gè) D. ③④個(gè)【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)比較①③④即可，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷②的正誤.【詳解】由，故①正確；由，考察函數(shù)，，所以當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，故②錯(cuò)誤；令，，所以，所以，即，故③正確；由，所以，由，所以，即，故④錯(cuò)誤，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 若x，y滿足約束條件，則的最大值為______【答案】【解析】【分析】先由約束條件，畫(huà)出可行域，根據(jù)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線斜率，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)果.【詳解】畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域如下，由表示平面區(qū)域中的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線斜率，由圖像可得，的斜率即為的最大值，由，解得則的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求分式型目標(biāo)函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.14. 二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和，求出，由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，可得，解得，則二項(xiàng)式為，其展開(kāi)式的第項(xiàng)為，令，則故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，考查由二項(xiàng)式系數(shù)之和求參數(shù)，屬于常考題型.15. 邊長(zhǎng)為1的正方體，點(diǎn)P為面對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值為______【答案】【解析】【分析】將對(duì)角面與平面放到同一個(gè)平面，化曲為直，連接，取的中點(diǎn)I，在利用勾股定理即得．【詳解】如圖甲，將等邊沿向后旋轉(zhuǎn)到與面共面，得到等邊，則的最小值即為圖乙中線段的長(zhǎng)，取的中點(diǎn)I，由題意知：等邊的邊長(zhǎng)為，四邊形是以，的矩形，所以.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．16. 中，，則的最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的概念代入可得，由余弦定理和基本不等式結(jié)合可得的最小值，由三角恒等式即可得結(jié)果.【詳解】由題意知，，同理，，故由已知，，即，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的概念、余弦定理的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的以值求值，屬于中檔題.三、解答題（共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17. 為了調(diào)查高中生文理科偏向情況是否與性別有關(guān)，設(shè)計(jì)了“更擅長(zhǎng)理科，理科文科無(wú)差異，更擅長(zhǎng)文科三個(gè)選項(xiàng)的調(diào)查問(wèn)卷"，并從我校隨機(jī)選擇了55名男生，45名女生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.問(wèn)卷調(diào)查的統(tǒng)計(jì)情況為：男生選擇更擅長(zhǎng)理科的人數(shù)占，選擇文科理科無(wú)顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長(zhǎng)文科的人數(shù)占：女生選擇更擅長(zhǎng)理科的人數(shù)占，選擇文科理科無(wú)顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長(zhǎng)文科的人數(shù)占.根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下列聯(lián)表. 更擅長(zhǎng)理科其他合計(jì)男生   女生   合計(jì)   附：，其中.P（）0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828（1）請(qǐng)將的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為文理科偏向與性別有關(guān)；（2）從55名男生中，根據(jù)問(wèn)卷答題結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，采取分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選取2人，若所選的2人中更擅長(zhǎng)理科的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.【答案】（1）表格見(jiàn)解析，有的把握；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）由題意列出的列聯(lián)表，計(jì)算出，結(jié)合臨界值得出結(jié)論；（2）由題意可知，選取的5人中，有2人更擅長(zhǎng)理科，3人不更擅長(zhǎng)理科，所以X的可能取值為0，1，2，利用古典概型概率公式計(jì)算，并列出分布列求出期望．【詳解】（1）補(bǔ)充的列聯(lián)表如下： 更擅長(zhǎng)理科其他合計(jì)男生223355女生93645合計(jì)3169100所以，所以有的把握認(rèn)為文理科偏向與性別有關(guān).（2）由題意可知，選取的5人中，有2人更擅長(zhǎng)理科，3人不更擅長(zhǎng)理科，所以X的可能取值為0，1，2，故，，，所以X的分布列為X012P所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型分布列和期望的應(yīng)用，考查古典概型，屬于中檔題．18. 如圖，在等腰梯形中，，，將沿著翻折，使得點(diǎn)D到點(diǎn)P，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過(guò)證明和可證平面，即可得證；（2）取的中點(diǎn)E，連接，，，以，，為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出.【詳解】（1）證明：由等腰梯形，則，又，所以，又，，則，所以，又，所以平面，所以平面平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)E，連接，，，則為菱形，且，則，記垂足為O，由（1）知，平面平面，又，所以平面，同理，平面，所以，，兩兩垂直，如圖，建立分別以，，為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以即，令，得所以平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平面的法向量為，所以即令，得所以平面的一個(gè)法向量為；令二面角為，由題意知為鈍角，所以，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查向量法求二面角，屬于中檔題.19. 設(shè)數(shù)列滿足，，當(dāng).（1）計(jì)算，，猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明.（2）求證：.【答案】（1），，，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系可直接計(jì)算出，，根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律可猜想出通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）根據(jù)，再利用裂項(xiàng)相消求和即可證明.【詳解】（1）解：由，，所以，.猜想：，證明：當(dāng)時(shí)，由，，故成立；假設(shè)（）時(shí)成立，即，所以，即當(dāng)時(shí)成立，綜上所述，.（2）證明：由（1）知，，所以 ，證畢.點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.20. 已知點(diǎn)，，點(diǎn)P滿足：直線的斜率為，直線的斜率為，且（1）求點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得為定值?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）由點(diǎn)，運(yùn)用直線的斜率公式，結(jié)合，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)，使得為定值，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，令，，表示出，代入韋達(dá)定理計(jì)算可得定值，并檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)也成立．【詳解】（1）由題意知：，，由，即，整理得點(diǎn)的軌跡C的方程為：.（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)，使得為定值.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程消去y得，令，，則，，由，，所以，將看成常數(shù)，要使得上式為定值，需滿足，即，此時(shí)；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得，，，所以，，，綜上所述，存在，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定值問(wèn)題的應(yīng)用，考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．21. 已知，（1）若，求的最大值；（2）若恒成立，求b的取值范圍【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)并根據(jù)其正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求其最值即可；（2）先化簡(jiǎn)原不等式即，再對(duì)求導(dǎo)研究其單調(diào)性，得到最值即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意知，，，所以，，易見(jiàn)在上遞增，且，所以，當(dāng)，，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，，即在上單調(diào)遞增，故，所以的最小值為0；（2）原不等式等價(jià)于，即，在上恒成立等價(jià)于，在上恒成立.令，，所以，令，則為上的增函數(shù)，又當(dāng)，，所以在存在唯一的零點(diǎn)，即，由，又有函數(shù)在上單調(diào)遞增，上式即所以，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，屬于難題.22. 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線l與曲線C有不同的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由，可得曲線C直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)t可得直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，的幾何意義可求得答案．【詳解】（1）由，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為，由（t為參數(shù)），消去t得直線l的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意知，過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得，又，所以方程有兩個(gè)不同的解，，又，，所以，，有，的幾何意義可知，.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與普通方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．23. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值M；（2）若，，且，證明：.【答案】（1）2；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由絕對(duì)值三角不等式，即可求解的最小值.（2）由（1）知，得出，化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由絕對(duì)值三角不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式同時(shí)取等號(hào)，所以的最小值.（2）由（1）知，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，不等式取等號(hào)，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，以及不等式的證明，其中解答中熟記絕對(duì)值的三角不等式，以及合理應(yīng)用基本不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力，屬于中檔試題.  

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