銀川一中2021屆高三年級第二次月考理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 若集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定義計算即可．【詳解】解：由已知，則．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，考查對數(shù)不等式，是基礎(chǔ)題．2. 如果，那么下列不等式成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分別作出角的正弦線、余弦線和正切線，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很容易地觀察出，即.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)線的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的正弦線、余弦線和正切線，合理作出圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3. 要將函數(shù)變成，下列方法中可行的有（    ）①將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮一半        ②將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長一倍③將函數(shù)的圖象向下平移一個單位            ④將函數(shù)的圖象向上平移一個單位（    ）A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】B【解析】【分析】由于的解析式有和兩種形式，可知如何變換得到以上兩種形式，即可確定選項【詳解】由，其函數(shù)還可寫成：∴(1)變成：將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮一半(2) 變成：將函數(shù)的圖象向上平移一個單位故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了通過函數(shù)解析式判斷函數(shù)平移伸縮變換的方式，注意：自變量前有系數(shù)：a、大于1：橫向壓縮；b、小于1：橫向伸長；系數(shù)為1的自變量后加上一個正數(shù)：向左平移；減去一個正數(shù)：向右平移；函數(shù)式前有系數(shù)：a、大于1：縱向伸長；b、小于1：縱向壓縮；函數(shù)式后加上一個正數(shù)：向上平移；減去一個正數(shù)：向下平移4. 1626年，阿貝爾特格洛德最早推出簡寫的三角符號: （正割），1675年，英國人奧屈特最早推出余下的簡寫三角符號: （余割），但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，其中若，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】依題意可得，再利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，求出，最后根據(jù)二倍角的正切公式計算可得；【詳解】解：因?yàn)?/span>，即，所以，所以，解得或因?yàn)?/span>，所以，所以所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.5. 已知角和角的終邊垂直，角的終邊在第一象限，且角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知得，，所以，所以由任意角的三角函數(shù)定義可知，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了任意角的三角函數(shù)定義，考查了誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.6. 設(shè)函數(shù)（e為自然底數(shù)），則使成立的一個充分不必要條件是（    ）A.  B.   C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)，得到，解得，再根據(jù)充分不必要條件要求滿足真包含關(guān)系，從而求得結(jié)果.【詳解】，解得：，觀察選項，只有是的真子集，又“”可以推出“”所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)充分不必要條件的判斷，在解題的過程中，要掌握利用集合間的真包含關(guān)系求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.7. 已知，且，則（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)，求得，結(jié)合角的范圍，利用平方關(guān)系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進(jìn)行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，，所以，所以 ，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦函數(shù)的和角公式，在解題的過程中，注意時刻關(guān)注角的范圍.8. 已知定義在上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】分析】先求出函數(shù)的周期為，求出的值即得解.【詳解】由題得，所以函數(shù)的周期為.由題得，，，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期的判斷和應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9. 已知函數(shù)，則以下結(jié)論錯誤的是（    ）A. 為偶函數(shù) B. 的最小正周期為C. 的最大值為2 D. 在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】利用證得為偶函數(shù)，由此判斷A選項正確.利用求得的最小正周期，由此判斷B選項正確.利用的解析式，求得的最大值，由此判斷C選項錯誤.利用三角函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，判斷D選項正確.【詳解】由題知，①，則A選項，A選項正確.B選項，，所以的最小正周期為，B選項正確.C選項，由①知，所以選項C不正確.D選項，當(dāng)時，，由解得（），令可得，所以上單調(diào)遞增，所以D選項正確.綜上所述，不正確的選項為C.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等知識，屬于中檔題.10. 已知函數(shù)，曲線在處的切線的方程為，則切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（    ）.A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，由此可得，再根據(jù)切點(diǎn)即在曲線上，又在切線上，可得，可得，求出切線方程，再分別令，，求出切線在軸和軸上的截距，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由得，則，得，由得加，即，∴切線的方程為，令，得到，令，得到，所求三角形面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值可能是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時，，，得到，得到答案.【詳解】當(dāng)時，，，函數(shù)為偶函數(shù)，故，即，即，，對比選項知C滿足.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.12. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】把不等式只有一個整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為只有一個整數(shù)解，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>只有一個整數(shù)解，即只有一個整數(shù)解，令，則的圖象在直線的上方只有一個整數(shù)解，又由，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；且，作出的圖象，由圖象可知a的取值范圍為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象及應(yīng)用，其中解答中把不等式的解轉(zhuǎn)化為只有一個整數(shù)解，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 正弦函數(shù)在上的圖象與軸所圍成曲邊梯形的面積為______.【答案】【解析】【分析】由題意可知，，再根據(jù)定積分的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查定積分在求不規(guī)則圖形面積上的應(yīng)用，熟練掌握定積分的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14. 已知扇形面積為，圓心角為，則該扇形半徑為__________．【答案】2【解析】【分析】將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡單題.15. 在處取得極值，則______.【答案】【解析】【分析】對求導(dǎo)，代入，使得，變形整理得到，利用三角函數(shù)的有界性，可得，再利用倍角公式可求．【詳解】解：由已知，因?yàn)樵?/span>處取得極值，，即，因?yàn)?/span>，，，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考察三角公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是對的整理變形，考查了學(xué)生的因式分解的能力，是一道中檔題．16. 對于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，再利用導(dǎo)數(shù)可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時， 恒成立等價于恒成立，等價于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)楫?dāng)時，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為（1）求的值； （2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義可得 與的值，進(jìn)而可得出與的值，從而可求與的值就，結(jié)合兩角和正切公式可得答案；（2）由兩角和的正切公式，可得出 的值，再根據(jù)的取值范圍，可得出的取值范圍，進(jìn)而可得出的值.由條件得cosα＝，cosβ＝.∵ α，β為銳角，∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.(2) ∵ tan2β＝＝＝，∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵ α，β為銳角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝ 18. 某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元，當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬件時，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬件時，（萬元）.已知每件產(chǎn)品售價為6元，假若該同學(xué)生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤（萬年）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（取）.【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬件，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大，最大利潤為11萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本，分和兩種情況，得到與x的關(guān)系式即可；（2）求出兩種情況的最大值，作比較即可得到本題答案.【詳解】（1）產(chǎn)品售價為6元，則萬件產(chǎn)品銷售收入為萬元.依題意得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，.（2）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，的最大值為（萬元），當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)時，取最大值（萬元），，當(dāng)時，取得最大值11萬元，即當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬件，該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大，最大利潤為11萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用分段函數(shù)解決實(shí)際問題，其中涉及到二次函數(shù)的值域問題以及用導(dǎo)數(shù)求最值問題.19. 已知函數(shù).（1）求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若α∈(0，π)，且f(－)＝，求tan(α＋)的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡，即可求出最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)條件可以求出，代入即可計算tan(α＋).【詳解】（1）f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin(4x＋)，∴f(x)的最小正周期T＝，令，得，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），，∵α∈(0，π)，，，故，因此.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.20. 已知函數(shù)（，為常數(shù)），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，曲線在點(diǎn)處的切線方程為（1）求，的值及函數(shù)的極值；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1），，極小值為；無極大值（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，，再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由已知代入切線方程得，，∴，∴∴，，令得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，即為極小值；無極大值（2）令，則，由（1）知∴在上為增函數(shù)∴，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．屬于中檔題.21. 已知函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，且（1）證明：在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)；（2）證明：對任意，都有【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用求導(dǎo)運(yùn)算法則求得的函數(shù)表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明；（2）移項，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明恒成立，求得其導(dǎo)函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定的零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而確定的正負(fù)情況，從而得到的單調(diào)性，進(jìn)而得到的最小值關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，然后利用基本不等式即可證明，從而證得原不等式.【詳解】證明：，則，∵，∴，，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減又∵，所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)（2）要證，即證，令，則令，所以在單調(diào)遞增∵，，所以存在唯一，使得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增故因?yàn)?/span>，所以，所以即恒成立，綜上所述對任意，都有.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，關(guān)鍵在于導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理的綜合應(yīng)用.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22. 已知曲線C的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是，（t為參數(shù)）（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值【答案】（1）曲線C的普通方程為，l的普通方程為；（2）.【解析】【分析】（1）把曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，然后結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程，直接把直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到直線的普通方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用此時的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系求解．【詳解】解：（1）由有，，代入得：，曲線C的普通方程為，即：由l的參數(shù)方程，（t為參數(shù)），消去參數(shù)t得：．（2）當(dāng)時，得，在直線l上，將l參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得：化簡得：．設(shè)以上方程兩根為，，由解得：．由參數(shù)t的幾何意義知，得或，解得（舍去）或，【點(diǎn)睛】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，關(guān)鍵是參數(shù)方程中此時的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．23. 已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求的值．【答案】（1）；（2）1或2．【解析】【分析】（1），即可得的取值范圍是；（2）對分類討論，由單調(diào)性即可得的單調(diào)性．【詳解】解：（1），得．即，故的取值范圍（2）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則，得，，得．當(dāng)時，則，得，，得．綜上所述，值是1或2．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式，屬于中檔題．  

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