四川省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題04 數(shù)列（文科）解答題30題專項(xiàng)提分計劃

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專題4 數(shù)列（文科）解答題30題專項(xiàng)提分計劃

1．（2022·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測）已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)基本量與等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.
（1）
設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，則，
即，，解得，（舍），
所以；
（2）
，，所以是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以．
2．（2022·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知為等差數(shù)列，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足：，的前n項(xiàng)和為，求成立的n的最大值.
【答案】(1)
(2)7

【分析】（1）代入公式求出公差即可求通項(xiàng)公式；
（2）代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為：，
，
，
.
，
即.
（2），，
，
數(shù)列為等比數(shù)列，所以
由，即，
化簡得：，解得，，
所以，要使成立的n的最大值為：7.
3．（2022·四川廣安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證．
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，再根據(jù)題意列基本量的關(guān)系式求解即可；
（2）代入可得，再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合的單調(diào)性證明即可
（1）
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，
∵，∴，解得，
∴．
（2）
∵，
∴
因?yàn)椋?，故，即得證
4．（2022·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析，
(2)

【分析】(1) 要證明數(shù)列是等比數(shù)列，需要把已知遞推公式變形為等于非零常數(shù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用累加法求的通項(xiàng)公式.
(2) 求出，不等式等價于恒成立，令，利用單調(diào)性求的最大值即可.
【詳解】（1）由，得，則，
又，則，
所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
則，則時，
．
當(dāng)時，滿足上式，所以，的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）可知，數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，
由，即恒成立．
令，則，
則時，，即數(shù)列遞增；
當(dāng)時，，即數(shù)列遞減，
則的最大值為，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
5．（2022·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡條件，求出等比數(shù)列的公比，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，利用裂項(xiàng)相消法和組合求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，，
可得，即得，解得或（舍去），
故 ，所以的通項(xiàng)公式為；
（2）若，則，故，即，
即
所以
.
6．（2022·四川綿陽·?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足：
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和 .
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用“基本量”法，即可求解.
（2）利用裂項(xiàng)相消,即可求和.
【詳解】（1）解：由題意得：
，解得：，
所以，
（2）解：，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和

.
7．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．
(1)求，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，證明見解析；
(2).

【分析】（1）由與的關(guān)系可得，從而可得，
可知是一個以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列；
（2）利用錯位相減法即可求得的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，①，
②，
由②①得，
，
，
∴是一個以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
（2），,
①
②　
由①②，得
，
.
8．（2022·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列，滿足，且．
(1)若數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q，，求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1) 或.
(2)

【分析】(1)由已知條件求出等比數(shù)列的公比和通項(xiàng)，得到數(shù)列為等比數(shù)列，可求出通項(xiàng)公式；
(2)由等差數(shù)列的通項(xiàng)利用累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)，再用裂項(xiàng)相消求的前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q，且， ， 或，
由 ， 或 ，
由，所以 ，又 ，
即數(shù)列是以1為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列
故 或.
（2）依題意得等差數(shù)列公差，則，
由，所以 ，
從而
，
.
9．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用與的關(guān)系求解即可；（2）先求出，然后利用錯位相減法求出即可.
【詳解】（1）由已知，，則時，，
兩式相減，得，即，
所以，為公比為2的等比數(shù)列．
由，得，
則．
所以的通項(xiàng)公式．
（2）由已知，得，①
則時，，得﹔
時，，②
①–②得，，即，又符合該式，
所以．
所以，，
同乘以，得，
兩式相減，得，
所以，
10．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差d≠0，前n項(xiàng)和為，且為常數(shù)．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)條件知 ，據(jù)此求出d；
（2）運(yùn)用錯位相減法求和.
【詳解】（1）由題意知：，即 ， ，
化簡得： ， ；
經(jīng)檢驗(yàn)，成立.
（2）由（1）知： ， …①，
…② ，
①-②得：
，
；
綜上，，.
11．（2022·四川遂寧·校考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，是公差不為的等差數(shù)列，，是與的等比中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）令可得的值，當(dāng)時，與已知條件兩式相減可得，由等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)的公差為，將整理成關(guān)于的方程，解出的值，即可得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：在中，令得，，
當(dāng)時，，
，即，
，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，
設(shè)的公差為，由題意可得，即，
整理得，
解得或舍去，
．
（2）解：由題意可得，



．
12．（2022·四川成都·雙流中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用與的關(guān)系可將題設(shè)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推關(guān)系，從而可求其通項(xiàng).
（2）利用錯位相減法可求.
【詳解】（1）因?yàn)椋剩?br /> 故即.
而，故，故，
故，且，故，
所以為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，從而.
（2）,
故，
故，
所以，
所以.
13．（2022·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由遞推關(guān)系取可求，當(dāng)時，取遞推關(guān)系中的可求，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)由(1)可得，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）
當(dāng)時，，
當(dāng)時，①
②
由①-②得，即.
當(dāng)時也成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以.
14．（2022·四川綿陽·綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
(1)求的通項(xiàng)公式．
(2)若，是的前項(xiàng)和，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由求通項(xiàng)公式，注意；
（2）從第2項(xiàng)向后用裂項(xiàng)相消法求和．
（1）
時，，
，
所以；
（2）
時，，，
所以，
所以.
15．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和中插入個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列，，，，，，，，，，，的項(xiàng)數(shù)，可得出當(dāng)時，，由此可求得的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，?dāng)時，，
當(dāng)時，，
也滿足，所以，對任意的，.
（2）解；在和中插入個相同的數(shù)，
構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，，
其項(xiàng)數(shù)為，
因?yàn)?，即?dāng)時，，
因此，.
16．（2022·四川雅安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列，滿足，；正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且，，，成等比數(shù)列.
(1)求和的通項(xiàng)公式：
(2)證明：.
【答案】(1)，
(2)證明見解析

【分析】（1）利用等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通過基本量法計算即可；
（2）寫出通項(xiàng)，可得其為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求和后比較即可得證.
(1)
∵，∴，即.
又當(dāng)時，有，且，∴，而也符合上式
∴數(shù)列是首項(xiàng)?公比均為的等比數(shù)列，∴；
設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，∵，且，，成等比數(shù)列，
∴，即，解得：或（舍），
∴，故，;
(2)
證明：由（1）可得，，
∴

17．（2022·四川成都·石室中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求使得成立的最小正整數(shù)n的值.
【答案】(1)，，；
(2)63.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，令n=1，2可求出、，n≥2時，用n-1替換已知式子的n得到式子與已知式子作差即可得，再根據(jù)與的關(guān)系即可求出的通項(xiàng)公式；
(2)求出，根據(jù)等差數(shù)列求和公式求出，解不等式即可．
(1)
∵①，
∴當(dāng)n=1時，，即，；
當(dāng)n=2時，，即，將代入并整理得，．
當(dāng)時，②，
由①－②得，，∴，
因此，當(dāng)時，，
當(dāng)n=2時，，∴在n=2時不成立，
故
(2)
由(1)可得，，
則，
由，得．
注意到隨著n的增大而增大，且，，因此所求n的最小值為63．
18．（2022·四川廣安·廣安二中?？级＃┮阎瘮?shù)，數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）易得，再根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，求解；
（2）由（1）得到，再利用分組求和法求解.
(1)
解：由題意得：，
，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
；
，，
等差數(shù)列的公差，
；
(2)
由（1）得：；
，
，
，
.
19．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）在①，②是，的等差中項(xiàng)，③．這三個條件中任選一個作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．
已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且滿足______（只需填序號）．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由①②利用等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算可得，即得；由③利用與的關(guān)系即求：
（2）由題可得，利用分組求和法即得.
(1)
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
選①，由，得，
∴，又，
∴，
解得或（舍去），
∴；
選②，是，的等差中項(xiàng)，
∴，又，
∴，即，
∴，
∴；
選③，，
當(dāng)時，，
∴或（舍去），
∴，
當(dāng)時，，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴

.
20．（2022·四川眉山·仁壽一中?？级＃?shù)列與滿足：，是與的等差中項(xiàng)，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由題意，，轉(zhuǎn)化可得，即，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即得解；
（2）代入可得，分組求和即可
(1)
∵是與的等差中項(xiàng)，
∴.∴.
∴，即.
∴.
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)
由（1）知：.
∴.
∴.
∴

.
21．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考二模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且滿足___________.給出下列三個條件：①，；②；③.請從其中任選一個將題目補(bǔ)充完整，并求解以下問題.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求n的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）選①：先利用對數(shù)運(yùn)算和等比中項(xiàng)判定數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)；選②：先利用及求出，再利用和的關(guān)系進(jìn)行求解；選③：先利用求出，再類似利用和的關(guān)系進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)上一問結(jié)論先化簡，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求解.
(1)
解：選①：由得：
， 所以，
又因?yàn)椋虼藬?shù)列為等比數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公比為，則，由，
解得或（舍去），
所以；???????????????????????????????????????????????
選②：因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時，，又，
所以，即，所以，
所以當(dāng)時，，
兩式相減得，
即，
所以數(shù)列是，公比為2的等比數(shù)列，
所以；
選③：因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時，，
所以，即，
當(dāng)時，，
兩式相減，得，
即，
當(dāng)時，滿足上式．
所以；
(2)
解：因?yàn)?
，
設(shè)，
則；
令，得.
22．（2022·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，且是與的等比中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)從下面兩個條件中任選一個作答，多答按第一個給分．
①若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍；
②若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．
【答案】(1)
(2)答案見解析

【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)列方程組求得和公差后可得通項(xiàng)公式；
（2）選①，用裂項(xiàng)相消法求得和，結(jié)合單調(diào)性可得范圍；
選②，由錯位相減法求得和后可得證不等式成立．
(1)
∵是遞增的等差數(shù)列，∴數(shù)列的公差，
由題意得：，解得：，，
∴．
(2)
選①時，
∴
∵，∴
又∵單調(diào)遞增，∴
∴
選②時，，
，
，
兩式作差得：


∴
∵，∴，∴．
23．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）在①，②，③這三個條件中任選一個作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．
設(shè)首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足______（只需填序號）
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和項(xiàng)和．
【答案】(1)條件選擇見解析，；
(2).

【分析】（1）選①：令，由可得出，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
選②：利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
選③：令可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得，利用錯位相減法可求得.
(1)
解：選①：當(dāng)時，由可得出，
上述兩個等式作差得，可得，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故；
選②：由已知可得，
所以，，，，，，
上述個等式相加得，
；
選③：當(dāng)時，，可得，
當(dāng)時，由可得，
上述兩個等式作差得且，
所以，數(shù)列數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故.
(2)
解：，，
所以，，
上述兩個等式作差得，
因此，.
24．（2023·四川·石室中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①且，②且，③正項(xiàng)數(shù)列滿足這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.問題:已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______?
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）選擇條件①或選擇條件③，根據(jù)與的關(guān)系，得遞推關(guān)系式，再求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；選擇條件②，根據(jù)條件得是隔項(xiàng)等差數(shù)列，按照等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；
（2）由（1）得，按照裂項(xiàng)求和之和即可證明不等式成立.
【詳解】（1）解：（1）選擇①
當(dāng)時，，
，
兩式作差得：，
整理得，
所以為常數(shù)列，因此，
所以.
選擇②
得，

兩式相減得，即數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，且公差為，
當(dāng)時，，又，則，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
綜合得：；
選擇③
又，得.
當(dāng)時，，

兩式相減得：，即.
又因?yàn)?，所以，故為公差?的等差數(shù)列，
得.
（2）證明：由（1）可得
所以



因?yàn)?br /> 所以
因此.
25．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）數(shù)列滿足：，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)或

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系得，再驗(yàn)證滿足條件即可求得答案；
（2）由（1）知，，再結(jié)合裂項(xiàng)求和與數(shù)列的單調(diào)性得，再解不等式即可.
【詳解】（1）解：當(dāng)，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也滿足（*），所以，，
（2）解：由（1）知，，
故，
于是，
因?yàn)殡Sn的增大而增大，
所以，解得或
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.
26．（2023春·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求的前n項(xiàng)和
【答案】(1)證明見解析，
(2)

【分析】（1）由，兩式相除可得數(shù)列的遞推公式，然后由遞推公式變形可證，再由是等差數(shù)列可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由裂項(xiàng)相消法可得.
【詳解】（1）當(dāng)時，，得，
當(dāng)時，有，，
相除得
整理為：，
即，
∴為等差數(shù)列，公差，首項(xiàng)為；
所以，整理為：.
（2），


27．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求的前項(xiàng)和取最小值時的值；
(3)證明：
【答案】(1)
(2)或
(3)證明見解析

【分析】（1）利用遞推關(guān)系，當(dāng)時，，兩式相減得，再用構(gòu)造法得：，即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）先求出的通項(xiàng)公式，由二次函數(shù)求最值即可求出答案.
（3）對進(jìn)行放縮得：，再求的前項(xiàng)和即可證明此題.
（1）
因?yàn)?，?
時，，
時，②
①-②得，所以，，
所以數(shù)列是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
故
（2）
，所以，
于是當(dāng)時，；；當(dāng)時，.所以當(dāng)或時，取最小值.
（3）
．故
28．（2022秋·四川攀枝花·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列單調(diào)遞增,其前n項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,且,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由,可得當(dāng)時,,兩式相減得,再利用數(shù)列單調(diào)遞增,確定數(shù)列是等差數(shù)列即可得到結(jié)果;
(2)先用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用裂項(xiàng)相消法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【詳解】（1）因?yàn)?當(dāng)時,.
所以當(dāng)時,.
兩式相減得,
因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增,且,
所以當(dāng)時,,,
所以當(dāng)時,,即.
即數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,
所以.
（2）由,,可得.
由,
可得
,
上式對也成立.
所以.
則.
29．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或；

【分析】（1）由題設(shè)且，應(yīng)用關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，構(gòu)造且并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性判斷是否存在最大值，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題設(shè)且，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，則；
由，故，
所以是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，則，
若，即，則，
在上，遞增，上，遞減，
所以在有最大值，又，
對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
綜上，，故存在或使恒成立.
30．（2022·四川樂山·統(tǒng)考三模）將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.
已知是數(shù)列前n項(xiàng)和，___________.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：對一切，能被3整除.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）若選①，類比作差證明數(shù)列是隔項(xiàng)等差數(shù)列即可；
若選②，利用類比作差和階差法可以求解；
若選③，利用公式作差后因式分解，找出與的關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求出.
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可.
【詳解】（1）若選①：
因?yàn)?br /> 所以，
兩式相減得，
所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列，
且，
所以為奇數(shù)，
為偶數(shù)，
所以.
若選②：，
所以，
兩式相減得，，
所以，
所以.
若選③：
因?yàn)棰伲?br /> 所以②，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br /> 所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
所以的通項(xiàng)公式.
（2）當(dāng)時，，能夠被3整除；
假設(shè)當(dāng)時，能被3整除，則有,所以，
則當(dāng)時，，所以當(dāng)時能被3整除.
綜上所述，對一切，能被3整除.