全國(guó)甲卷+全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題12 導(dǎo)數(shù)（文科）解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃

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專題12 導(dǎo)數(shù)（文科）解答題30題專項(xiàng)提分計(jì)劃

1．（新疆兵團(tuán)地州學(xué)校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值與最小值．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)最大值為，最小值為.

【分析】（1）求得，對(duì)參數(shù)的值分類討論，在不同情況下根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可容易判斷對(duì)應(yīng)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求得函數(shù)最值.
【詳解】（1），定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，令，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)，，
故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，
故在上的最大值為，最小值為.
2．（寧夏青銅峽市寧朔中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期未考試數(shù)學(xué) (文) 試題）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 ，
(2)

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)在上是減函數(shù)，可知知恒成立，利用參數(shù)分離法,求的最大值即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，

，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是
（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，則，
設(shè)，則，
由，知，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，
∴，∴．
3．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期三模文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)
(1)若在時(shí)取得極小值，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若過(guò)點(diǎn)可以作出函數(shù)的兩條切線，求證：
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)的概念可知，可求出的值，并進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)是否取得極小值，由此即可求出結(jié)果.
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合點(diǎn)斜式可求出在切點(diǎn)處的切線方程，將點(diǎn)代入，可得，再令，求出的單調(diào)性，并結(jié)合過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線，可知方程有兩解，由此可知，即可求證結(jié)果.
(1)
解：
∴，
∴
當(dāng)時(shí)，令，得
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以在時(shí)取得極小值，
∴
(2)
證明：設(shè)切點(diǎn)為，
∴切線為，
又切線過(guò)點(diǎn)，
∴
∴，(*)
設(shè)
則
∴在單詞遞減，在單調(diào)遞增.
∵過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線，
∴方程(*)有兩解
∴，
由，得
∴，即.
4．（江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)鞏固卷文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
(1)若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，且，求的取值范圍．
【答案】(1)1
(2)．

【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)切點(diǎn)既在曲線上又在切線上列方程組解決即可；（2）是的兩個(gè)不同的正根，得，又，令，討論單調(diào)性得即可解決.
【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為．
因?yàn)椋c曲線相切，
所以，
得．
令，則．
令，解得，
令，解得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故．
所以的解為．
所以．
（2）因?yàn)?，?br /> 所以是的兩個(gè)不同的正根，
即，
故，且，
所以．
因?yàn)椋?br /> 令，
則單調(diào)遞增，且，
所以在單調(diào)遞增，
故．
綜上所述，的取值范圍是．
5．（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
(1)若，求c的取值范圍；
(2)設(shè)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】(1)；
(2)函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒(méi)有遞增區(qū)間.

【分析】（1）由題意知，用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可；
（2）對(duì)求導(dǎo)得，設(shè) ，再用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定的正負(fù)，從而知的單調(diào)性.
【詳解】（1）等價(jià)于．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
故，所以，即，
所以的取值范圍是；
（2）且 ，
因此，
設(shè) ，
則有，
當(dāng)時(shí)，，所以， 單調(diào)遞減，因此有，
即，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以， 單調(diào)遞增，因此有，
即 ，所以單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間和 上單調(diào)遞減，沒(méi)有遞增區(qū)間.
6．（河南省濮陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2).

【分析】（1）求導(dǎo)后，解不等式可得增區(qū)間，解不等式可得減區(qū)間；
（2）先由時(shí)不等式成立，得，再將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，代入可解得結(jié)果.
【詳解】（1），，
令，得或，
令，得或，令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）關(guān)于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，得，即，
令，
，
因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)，則，
令，得,令，得，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，即，
所以，所以在上為增函數(shù)，
所以，即.
7．（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三階段性測(cè)試（四）文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，．
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為－4，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在唯一的，滿足，求a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)

【分析】（1）求出可得，由、解不等式可得答案；
（2）由得，可得方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)函數(shù)，由或，再解不等式組可得答案．
【詳解】（1），由題意知，
所以，則當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由，得，
即，
根據(jù)已知，可得方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根，
設(shè)函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為，
所以只需或，
解得或，即a的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根，設(shè)函數(shù)，然后利用根的分布求解，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
8．（青海省海東市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)已知條件及函數(shù)值的定義，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式即可求解.
（2）利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值及基本不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線平行的條件及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.
【詳解】（1），
，則，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）設(shè)，令，則.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在時(shí)取得最大值2，即.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值2.
因?yàn)?，所以，?
即，
所以直線的方程為，即.
9．（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)若直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)極大值為；極小值為；
(2).

【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)可構(gòu)造方程組，消元得到；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，則可確定的唯一解為，代回方程組可求得的值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
的極大值為；極小值為.
（2）假設(shè)與相切于點(diǎn)，
，
，即，
又，
，即；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即有唯一解：，
，解得：.
10．（甘肅省天水市田家炳中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（文科）試題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.
(2).

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；
（2）利用分離參數(shù)法得到恒成立. 令，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出a的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)a=1時(shí)，.
導(dǎo)函數(shù).
令，解得：；令，解得：.
所以函數(shù)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.
（2）因?yàn)樵诙x域內(nèi)恒成立，所以恒成立.
令，只需.
的導(dǎo)函數(shù).
令，解得：.
列表得：


1


+

-

單增
極大值
單減

所以.
所以.
解得：.
所以a的取值范圍為.
11．（甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué) (文科)試題）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上最小值.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知單調(diào)性，分別在、和三種情況下，根據(jù)單調(diào)性確定最小值點(diǎn)，由此求得最小值.
【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，?br /> ①當(dāng)時(shí)，，，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
；
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
.
，，
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解在上的最小值的基本思路是通過(guò)分類討論的方式，確定在上的單調(diào)性，由此確定最小值點(diǎn).
12．（甘肅省蘭州市第五十七中學(xué)2022-2023學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué) (文科)試題）設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；
（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)2;(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（2）令g（x）＝0，得到；設(shè)，通過(guò)討論m的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的草圖求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)m＝e時(shí)，，∴
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；
∴當(dāng)x＝e時(shí)，f（x）取最小值．
（2）∵函數(shù)，
令g（x）＝0，得；
設(shè)，則′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＝1是（x）的極值點(diǎn)，且是唯一極大值點(diǎn)，∴x＝1是（x）的最大值點(diǎn)；
∴（x）的最大值為，又（0）＝0結(jié)合y＝（x）的圖象，

可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)或m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，是一道中檔題．
13．（陜西省聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的值.
【答案】(1)函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為
(2)

【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，結(jié)合題意，求得a的值.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，，，
令得，；令得，或，結(jié)合定義域得，
∴函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（2）
①當(dāng)時(shí)，，∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，
∴，∴，∴符合題意；
②當(dāng)且時(shí)，令得，





+
0
-

增函數(shù)
極大值
減函數(shù)

∴，∴，∴不符合題意，舍去；
③若，即時(shí)，在上，
∴在上是增函數(shù)，故在上的最大值為，
∴不符合題意，舍去，
綜合以上可得.
14．（2022屆普通高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一模擬招生考試4月份聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)的最大值為m，證明：.
【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間.
（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
∴，令，得.
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
故函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）由，令，得.
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
∴.
令，則.
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
∴，即.
15．（全國(guó)“星云”大聯(lián)考2022屆高三第三次線上聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若至少有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
附：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
(2).

【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)分五種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析得解.
【詳解】（1）解：由可得．
列表如下：
區(qū)間



的符號(hào)
負(fù)
正
負(fù)
的單調(diào)性
遞減
遞增
遞減

綜上所述：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
（2）解：
由題意，，
（?。┊?dāng)時(shí)，在上，故只可能在上存在零點(diǎn)．又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，在上．因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，所以恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故符合題意；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，且在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以恰好有三個(gè)零點(diǎn)，故符合題意；
（ⅳ）當(dāng)時(shí)，和（ⅱ）理由類似，恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故符合題意；
（ⅴ）當(dāng)時(shí)，和（?。├碛深愃疲疃嘀挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，故不符合題意．
綜上所述，a的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，常用的方法有：1、方程法（直接解方程分析得解）；2、圖象法（直接作出函數(shù)的圖象分析得解）；3、方程+圖象法（令得到，再分析函數(shù)的圖象得解）.要根據(jù)已知條件，靈活選擇方法求解.
16．（山西省晉城市2022屆高三第三次模擬文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線經(jīng)過(guò)第二?四象限且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求a的值.
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)或
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程，可得曲線在處的切線方程，結(jié)合題意可知，再根據(jù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，建立方程，即可求出結(jié)果；
（2）因?yàn)?，所以，令，求出，?dāng)時(shí)，可知，即可判斷此時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，可知此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和最值中的應(yīng)用可知在上單調(diào)遞增，可得，由此可知恒成立，由此即可證明結(jié)果.
【詳解】（1）解：由題意可知，
，所以，
所以曲線在處的切線方程為.
因?yàn)榻?jīng)過(guò)第二、四象限，所以，即，
令，則，令，則，
又與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以，
又，，解得或.
（2）證明：因?yàn)?，所以?br /> 令，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
則在上單調(diào)遞減，則，即成立；
當(dāng)時(shí)，令，則，
因?yàn)?，所以，所以在上遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
綜上所述，恒成立，即當(dāng)時(shí)，成立.
17．（內(nèi)蒙古2023屆高三仿真模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)值等于切線斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式求切線方程即可；
（2）分，，兩種情況解決，當(dāng)時(shí)，參數(shù)分離得，設(shè)，得，設(shè)，求導(dǎo)討論單調(diào)性，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即可解決.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，，
所以所求切線方程為，即.
（2）對(duì)任意的，恒成立，
等價(jià)于對(duì)任意的，恒成立.
①當(dāng)時(shí)，顯然成立.
②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.
設(shè)，
所以.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br /> 所以，
又因?yàn)樵谥?，?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即的取值范圍為.
18．（四川省內(nèi)江市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文科）試題）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)對(duì)給定的，函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍；
【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為
(2)

【分析】（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間.
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到只需滿足，解得答案.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
故函數(shù)在減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）對(duì)給定的，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)取得最小值，
故函數(shù)要有零點(diǎn)，則需有，即，故.
所以對(duì)給定的，函數(shù)有零點(diǎn)，的取值范圍為.
19．（寧夏銀川市賀蘭縣景博中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)
(1)若在處有極值，求實(shí)數(shù)的值和極值；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】(1)，極大值為0；
(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由解出實(shí)數(shù)a的值，并代入求出單調(diào)性檢驗(yàn)求出極值即可；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)即可研究函數(shù)的單調(diào)性．
【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?br /> ，
在x=1處取到極值，∴，解得a=1，
.
當(dāng)00，，
當(dāng)a≤0時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)a>0時(shí)，令，令，
在(0,a)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
20．（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）已知在處的切線方程為．
(1)求函數(shù)的解析式：
(2)是的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意，都有．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，令，然后求導(dǎo)得到其在上的最大值，即可得證.
【詳解】（1）由題意可得，，且，則，
即，即，所以
（2）由（1）可知，，
所以，
令，
則，
所以時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，即
21．（四川省成都石室中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一診模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)①若，求實(shí)數(shù)的值；
②設(shè)，求證：.
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,
單調(diào)減區(qū)間為.
(2)①； ②見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
（2）①首先根據(jù)題意得到,從而將題意等價(jià)為,再結(jié)合的單調(diào)性分類討論求解即可;
②根據(jù)（1）知:,從而得到,再化簡(jiǎn)得到,累加即可證明.
【詳解】（1）由已知的定義域?yàn)?

令,
有兩根,
因?yàn)椋?br /> 時(shí),單調(diào)遞減;
,時(shí),單調(diào)遞增，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，
單調(diào)減區(qū)間為.
（2）①因?yàn)?所以等價(jià)于.
由（1）知:,
當(dāng)時(shí),,故滿足題意.
當(dāng)時(shí),時(shí)，單調(diào)遞減，故不滿足題意.
當(dāng)時(shí),時(shí), 單調(diào)遞增，故不滿足題意.
綜上可知：.
②證明:由（1）可知:時(shí),,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故當(dāng)時(shí),可得

即，
即.
故

故
22．（江西省撫州市金溪縣第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期11月段考數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，．
(1)設(shè)，當(dāng)a＝3，b＝5時(shí)，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
(2)若g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）代入a，b的值，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)得，研究的單調(diào)性得，再將所證變形為由比值代換法令可轉(zhuǎn)化成，研究的單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，，的定義域?yàn)椋?br /> ∴，
令，解得或，令，解得，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由 得： ，
令
∴ 在有兩個(gè)交點(diǎn).

由得： ，由得：
∴ 在上單增，在 上單減，
又∵，，當(dāng) 時(shí)，
由于，是方程的實(shí)根，
∴ ，不妨設(shè)
由，，∴，，
∴，．
要證：，只需證：，即證：，
即證：．
設(shè)，則 ，代入上式得：．
∴只需證：
設(shè)，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，故．
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解法
(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對(duì)結(jié)論 型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．
(2)(比值代換法)通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．
23．（廣西柳州市2023屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域；
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求導(dǎo)，列表根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可解決；
（2），令，則有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，分，兩種情況討論，其中時(shí)，，由于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，得，由，令函數(shù)，求導(dǎo)計(jì)算得即可解決.
【詳解】（1）由可知
令則，






0


減
極小值
增

所以無(wú)最大值，
所以的值域?yàn)?
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，則有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，于是在上單調(diào)遞增.
所以，因此在上沒(méi)有零點(diǎn)
即在上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，令得，在上，在上
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以的最小值為
由于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以
因?yàn)椋?br /> 對(duì)于函數(shù)，，
所以在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減；
在區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增；
所以
所以
所以由零點(diǎn)存在性定理得時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上，可得的取值范圍是.
24．（廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，，請(qǐng)判斷的符號(hào)，并說(shuō)明理由.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，然后分，和三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）由（1）知在上遞增，在上遞減，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而可證得結(jié)論.
【詳解】（1），
令，則或，
若，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)；
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減.
（2）當(dāng)，時(shí)，
由（1）知在上遞增，在上遞減，
所以，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，則，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，第（1）問(wèn)解題的關(guān)鍵是正確分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求得導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)學(xué)分類思想，屬于中檔題.
25．（貴州省貴陽(yáng)市五校2022屆高三年級(jí)聯(lián)合考試（一）數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，．
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由題意可得，從而可求出的值，然后由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值，
（2）由，令，求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值小于等于零即可
【詳解】（1）解：定義域：，
∵，∴，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
，無(wú)極大值．
（2）證明：由（1）知，
令，
則，
，，，
∴，即在上單調(diào)遞減，
，
∴當(dāng)時(shí)，．
26．（貴州省2023屆高三3 3 3高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（文）試題）已經(jīng)函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求當(dāng)時(shí)，a的取值范圍．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)兩種情況討論.
(2)求出，首先證明
只需要求即可.
【詳解】（1）
(1)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增.
(2)時(shí)，
時(shí)，時(shí)
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
綜上：時(shí)在單調(diào)遞增
時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
（2）
，要求，即求
設(shè)，則，當(dāng)，
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以即
設(shè)，，
，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.所以當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，又因?yàn)?br /> 所以，所以.
27．（貴州省貴陽(yáng)市白云區(qū)2023屆高三上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)的極大值為，極小值為
(2)

【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；
（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最大值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
其定義域?yàn)?，?br /> 令，得或，
令，得，
所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以的極大值為，
極小值為.
（2）由題意，得，
因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，
所以，即
在上恒成立，即；
令，，
則，
令，即，得，
令，即，得，
所以是的極大值，也是的最大值 ，
則.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
28．（山西省運(yùn)城市2022屆高三5月考前適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（A卷））已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)值.
【答案】(1)減區(qū)間為和，增區(qū)間為
(2)4

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性的步驟即可求解；
（2）將不等式對(duì)任意恒成立轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.
（1）
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的定義域?yàn)?
所以，
令，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）
由題得對(duì)任意恒成立，
即 ，即可.
設(shè)，，則，
令，則，
所以在上為增函數(shù)，
又，，
所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
即，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，所以，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得極小值，也為最小值，
所以，
，即.
因此實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)值為4.
【點(diǎn)睛】解決此類型題的關(guān)鍵是第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性的步驟即可求解，第二問(wèn)利用分離參數(shù)法將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用兩次求導(dǎo)及函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理得出導(dǎo)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)得出單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最值.
29．（內(nèi)蒙古呼和浩特第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)文科試題）已知是函數(shù)的極值點(diǎn).
(1)求；
(2)證明：有兩個(gè)零點(diǎn)，且其中一個(gè)零點(diǎn)；
(3)證明：的所有零點(diǎn)都大于.
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)極值點(diǎn)的定義可得，求得，檢驗(yàn)即可；
(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的根個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系，作出和函數(shù)圖象，結(jié)合圖形即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).利用零點(diǎn)的存在性定理即可判斷零點(diǎn)的范圍；
(3)根據(jù)零點(diǎn)的定義可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，又，由放縮法可得，結(jié)合圖形即可證明.
【詳解】（1），則，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，
即，解得.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故；
（2）由(1)知，，令，則，
作和函數(shù)圖象，如圖所示，

由圖可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)分布在上，另一個(gè)分布在上，
所以方程有2個(gè)解，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
易知2是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)零點(diǎn)為，
又，，
所以，又函數(shù)在定義域上連續(xù)，
由零點(diǎn)的存在性定理，知；
（3）由(1)知，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，令，則，
設(shè)，則，，
令或，令，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，得
所以，又，
所以當(dāng)時(shí)，
，
作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，

由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的的橫坐標(biāo)都大于，
故函數(shù)的所有零點(diǎn)都大于.
【點(diǎn)睛】與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與x軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過(guò)對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．
30．（廣西梧州市2023屆高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)證明：.
【答案】(1)0
(2)詳見(jiàn)解析

【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最小值；
（2）由（1）可知，令，不等式變形為，不等式右邊裂項(xiàng)為，再用累加求和，即可證明不等式.
【詳解】（1），，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以
（2）由（1）知，
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等成立），
令，則，所以，
而，故，
從而，，…，，
累加可得，命題得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，問(wèn)題的關(guān)鍵是從要證明的式子入手，將(1)的不等式變形為，再利用裂項(xiàng)相消法求和.