?2022-2023學(xué)年山東省淄博市張店區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）
一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）
1．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．“9的算術(shù)平方根是3”用式子表示為（　?。?br /> A． B． C． D．
3．要使有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≤1 B．x≤1且x≠0 C．x＜1且x≠0 D．x＜1
4．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＝0
5．若a，b，c滿足，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（　?。?br /> A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無實(shí)數(shù)根
6．關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為﹣2和3，則分解因式x2+bx+c等于（　?。?br /> A．（x+2）（x﹣3） B．（x﹣2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）
7．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是（　?。?br /> A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
8．估計(jì)的值應(yīng)在（　?。?br /> A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間
9．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（　?。?br />
A．16 B．6 C．12 D．30
10．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．給出如下四個(gè)結(jié)論：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形OEBF的面積隨EF的長度變化而變化；③△BEF周長的最小值為；④AE2+CF2＝2OB2．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
二、填空題（本題共5小題，請將結(jié)果填在答題紙指定位置）
11．的倒數(shù)是 　 ?。?br /> 12．如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，直線EF分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝3，AF＝5，則線段EF的長為 　 ?。?br />
13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+αβ﹣3α的值為　 ?。?br /> 14．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線分別為，，若l2上一點(diǎn)P到l1的距離為1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 　 ?。?br />
15．兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示．若∠α＝30°，則對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是 　 ?。?br />
三、解答題（本題共8小題，請把解答過程寫在答題紙上）
16．（1）計(jì)算：（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2；
（2）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，請用配方法推導(dǎo)出該方程的求根公式．
17．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．
18．觀察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個(gè)等式：　 ??；
（2）請用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：　 ?。?br /> （3）請證明（2）中的結(jié)論．
19．“通過等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式，例如：解方程，就可以利用該思維方式，設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為：y2﹣y＝0這個(gè)熟悉的關(guān)于y的一元二次方程，解出y，再求x，這種方法又叫“換元法”．小明用這種思維方式和換元法解決下面的問題，求出了方程的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中．
方程
換元法得新方程
?解新方程
檢驗(yàn)
求原方程的解

令，
則2t﹣3＝0


，
所以










20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．
21．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F(xiàn)分別是對角線BD，AC的中點(diǎn)．
（1）請判斷線段EF與AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠ADC＝45°，請判斷EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

22．如圖，請?jiān)谶呴L為1的方格紙中利用格點(diǎn)作圖（不必說明作圖步驟，標(biāo)出你所連接的格點(diǎn)即可）：
（1）如圖1，畫一個(gè)平行四邊形EFGH，使得點(diǎn)A，B，C，D分別在平行四邊形EFGH的四條邊上，且S?EFGH＝2S四邊形ABCD，并直接寫出你畫的平行四邊形EFGH的面積；
（2）如圖2，畫一個(gè)矩形MNPQ，使得點(diǎn)A，B，C，D分別在矩形MNPQ的四條邊上，且S矩形MNPQ＝2S四邊形ABCD，并直接寫出矩形MNPQ的邊長；
（3）如圖3，延長DA至點(diǎn)K，請?jiān)贏K上找一點(diǎn)T使得S△CDT＝S四邊形ABCD．

23．已知，矩形ABCD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在AD上，點(diǎn)F在射線BC上，點(diǎn)H在CD上．

（1）如圖1，當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，且DE⊥GF，求證：BF＝AE+AG；
（2）在（1）的條件下，將GF沿AD向右平移至點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如圖2，連接EF，取EF的中點(diǎn)P，連接PC，試判斷BE與PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，點(diǎn)F在BC上，連接EH，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若AB＝2，BC＝4，，求線段EH的長．



參考答案
一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）
1．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及二次根式的除法法則計(jì)算．
解：A、原式＝3，∴不符合題意；
B、原式＝5，∴不符合題意；
C、原式＝2，∴符合題意；
D、原式＝，∴不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則，二次根式的基本性質(zhì)，雙重的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．
2．“9的算術(shù)平方根是3”用式子表示為（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念寫出式子即可．
解：9的算術(shù)平方根是3用式子表示為＝3．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是算術(shù)平方根的概念，算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，即＝x．
3．要使有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≤1 B．x≤1且x≠0 C．x＜1且x≠0 D．x＜1
【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．
解：要使有意義，
則1﹣x＞0，
解得：x＜1．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式有意義的條件、二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．
4．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜﹣1 D．k＜﹣1或k＝0
【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k?（﹣1）＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．
解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k?（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
5．若a，b，c滿足，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（　?。?br /> A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無實(shí)數(shù)根
【分析】分別把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，則根據(jù)一元二次方程的解的定義可判斷方程的根．
解：當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＝0，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＝0，
所以關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解為1或﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
6．關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為﹣2和3，則分解因式x2+bx+c等于（　?。?br /> A．（x+2）（x﹣3） B．（x﹣2）（x+3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）
【分析】由關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為﹣2和3，可得方程x2+bx+c＝0為：（x+2）（x﹣3）＝0，繼而求得答案．
解：∵關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為﹣2和3，
∴方程x2+bx+c＝0為：（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x2+bx+c＝（x+2）（x﹣3）．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程根的性質(zhì)．此題難度不大，注意根據(jù)題意可得方程x2+bx+c＝0為：（x+2）（x﹣3）＝0是解此題的關(guān)鍵．
7．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是（　?。?br /> A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【分析】利用完全平方公式計(jì)算出x1x2＝2，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出以x1，x2為根的一元二次方程．
解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2為根的一元二次方程為x2﹣3x+2＝0．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．估計(jì)的值應(yīng)在（　?。?br /> A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間
【分析】根據(jù)乘法的分配律以及二次根式的運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算后，再進(jìn)行估算即可．
解：原式＝3×﹣×
＝3﹣
＝3﹣6
3＝，
∵49＜54＜64，
∴7＜＜8，
∴1＜3﹣6＜2．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算以及估算無理數(shù)的大小，掌握二次根式的混合運(yùn)算的方法是正確解答的關(guān)鍵．
9．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（　?。?br />
A．16 B．6 C．12 D．30
【分析】連接AC交BD于O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，證明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，則BD＝6，所以O(shè)B＝OD＝3，接著利用勾股定理計(jì)算出OC，從而得到AC＝2，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算它的面積．
解：連接AC交BD于O，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，
∵E為AD邊的中點(diǎn)，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，OC＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝×2×6＝6．
故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形面積＝ab（a、b是兩條對角線的長度）．
10．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等．給出如下四個(gè)結(jié)論：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形OEBF的面積隨EF的長度變化而變化；③△BEF周長的最小值為；④AE2+CF2＝2OB2．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
【分析】①由四邊形ABCD和A1B1C1O是正方形可知，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可得Rt△OEF為等腰直角三角形；
②由（1）易證得S四邊形OEBF＝S△BOC＝S正方形ABCD，則可得出結(jié)論；
③BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA，而EF的最小值為AC＝OA，故可得結(jié)論③正確；
④由AE＝BF和EF2＝BE2+BF2，即可得結(jié)論．
解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∴∠BOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOF+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，BE＝CF，
∴∠OEF＝45°，EF＝OE；故①正確；
②由①得△BOE≌△COF
∴S四邊形OEBF＝S△BOF+S△BOE＝S△BOF+S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，
故②錯(cuò)誤；
③由①可知BE+BF＝BF+CF＝BC＝OA，EF＝OE，
△BEF周長＝BE+BF+EF＝OA+OE，
∵OA為定值，則OE最小時(shí)△BEF周長的周長最小，
∴當(dāng)OE⊥AB時(shí)OE最小，△BEF周長的周長最小，
此時(shí)OE＝OA，
∴△BEF周長的周長最小值＝OA+OE＝OA+×OA＝（1+）OA．
故③正確，
④∵在△BEF中，EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝AE2+CF2，
又∵2OB2＝AB2＝（AE+CF）2．
∴AE2+CF2≠2OB2，故④錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共5小題，請將結(jié)果填在答題紙指定位置）
11．的倒數(shù)是 　?。?br /> 【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義和分母有理化即可求解．
解：的倒數(shù)是＝＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握倒數(shù)的定義．
12．如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，直線EF分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝3，AF＝5，則線段EF的長為 　?。?br />
【分析】連接AE，EF交AC于點(diǎn)O，根據(jù)折疊可知AE＝CE，EF垂直平分AC，由等邊對等角得∠CAE＝∠ACE，由AD∥BC可得∠FAO＝∠ACE，進(jìn)而得到∠FAO＝∠CAE，以此可通過ASA證明△AOE≌△AOF，得到CE＝AE＝AF＝5，OE＝OF，再根據(jù)勾股定理分別求出AB＝4、AC＝，則OA＝，再利用勾股定理求出OE即可求解．
解：如圖，連接AE，EF交AC于點(diǎn)O，

∵將一個(gè)矩形紙片ABCD沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
∴AE＝CE，EF垂直平分AC，
∴∠CAE＝∠ACE，OA＝OC，∠AOE＝∠AOF＝90°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ACE，
∴∠FAO＝∠CAE，即∠FAO＝∠EAO，
在△AOE和△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF＝5，OE＝OF，
∴CE＝AE＝5，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
在Rt△ABE中，＝＝4，
在Rt△ABC中，＝＝，
∴OA＝＝，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴OE＝OF＝，
∴EF＝OE+OF＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)和三角形全等的判定方法時(shí)解題關(guān)鍵
13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+αβ﹣3α的值為　0?。?br /> 【分析】利用α是方程x2﹣3x﹣4＝0的實(shí)數(shù)根得到α2﹣3α＝4，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到得αβ＝﹣4，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．
解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的實(shí)數(shù)根，
∴α2﹣3α﹣4＝0，
即α2﹣3α＝4，
∵αβ＝﹣4，
∴原式＝4﹣4
＝0．
故答案為0．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線分別為，，若l2上一點(diǎn)P到l1的距離為1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?。?，）或（4，）?。?br />
【分析】這樣的P點(diǎn)一定有兩個(gè)，分別位于兩直線交點(diǎn)的兩側(cè)．先利用幾何關(guān)系求出兩直線交點(diǎn)左邊的P點(diǎn)，再利用幾何關(guān)系求出兩直線交點(diǎn)右邊的P點(diǎn)即可．
解：設(shè)直線l1交y軸于點(diǎn)A，直線l2交y軸于點(diǎn)B，l1、l2交于點(diǎn)C．解方程組，得，故C（3，0）．
對于直線l1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，故A（0，4）；
對于直線l2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，故B（0，﹣1）．
∵AB＝4+1＝5，AC＝＝＝5，
∴△ABC是等腰三角形，且BC＝＝＝．
∵S△ABC＝＝，
∴BN＝OC＝3．
過B作BN⊥AC于N，
∵P到直線l1的距離小于BN，
∴在點(diǎn)B與C之間取一點(diǎn)P，作PM⊥AC于M，則有PM∥BN．
∴，得PC＝．
設(shè)P（xP，yP），則有yP＝xP﹣1和（3﹣xP）2+＝PC2，解得P（2，）或P（4，）．
∵點(diǎn)P在點(diǎn)B與C之間，
∴yp＜0，故P點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為（2，）．
在直線l2上，于BC延長線上取一點(diǎn)P'，過P'作P'M'垂直于直線l1于M'，使得P'M'＝1．
在△PMC和△PM'C中，∠PMC＝∠PM'C＝90°，∠PCM＝∠PCM'（對頂角），PM＝P'M'，
∴△PMC≌△PM'C（AAS），
∴P'C＝PC．
設(shè)P'（xP'，yP'），則有yP'＝xP'﹣1和（xP'﹣3）2+yP'2＝P'C2，解得P'（2，）或P'（4，）．
∵點(diǎn)P'在BC延長線上，
∴yP'＞0，故P'點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為（4，）．
故答案為：（2，）或（4，）．

【點(diǎn)評】本題主要考查了在坐標(biāo)系中兩直線相交問題，綜合性很強(qiáng)，計(jì)算量非常大．
15．兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，如圖所示．若∠α＝30°，則對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是 　6cm?。?br />
【分析】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)PA+PB+PC＝A'C時(shí)最短，連接A'C，利用勾股定理求出A'C的長度，即求得點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值．
解：如圖，作DE⊥BC于E，把△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BP′，
∵∠α＝30°，DE＝3cm，
∴CD＝2DE＝6cm，
同理：BC＝AD＝6cm，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等邊三角形，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根據(jù)兩點(diǎn)間線段距離最短，可知當(dāng)PA+PB+PC＝A'C時(shí)最短，連接A'C，與BD的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，即點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，
∴∠A′BC＝90°，
∴A′C＝＝＝6（cm），
因此點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值是6cm，
故答案為6cm．

【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)知識(shí)、三角形全等、特殊角直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)知識(shí)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共8小題，請把解答過程寫在答題紙上）
16．（1）計(jì)算：（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2；
（2）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，請用配方法推導(dǎo)出該方程的求根公式．
【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
解：（1）（2+）（2﹣）﹣（﹣1）2
＝12﹣6﹣（2﹣2+1）
＝12﹣6﹣2+2﹣1
＝3+2；

（2）ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)，a≠0），
兩邊同除以a得：x2+x+＝0，
移項(xiàng)得：x2+x＝﹣，
配方得：x2+x+（）2＝﹣+（）2，
即（x+）2＝，
∵b2﹣4ac＞0，
∴將上述方程直接開平方得：x+＝±，
則x＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及配方法解一元二次方程，二次根式的運(yùn)算法則及配方法是重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
17．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．
【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用直接開平方法求解即可；
（2）先移項(xiàng)，再將x+2看做整體，利用十字相乘法將左邊因式分解，進(jìn)一步求解即可．
解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，
∴（x﹣3）2＝4，
則x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1；
（2）∵（x+2）2﹣2（x+2）＝3，
∴（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0，
則（x+2﹣3）（x+2﹣1）＝0，即（x﹣1）（x+1）＝0，
∴x﹣1＝0或x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣1．
【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法求解．
18．觀察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個(gè)等式：?。?　；
（2）請用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：?。剑╪+1）??；
（3）請證明（2）中的結(jié)論．
【分析】（1）認(rèn)真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)律并根據(jù)規(guī)律寫出第④個(gè)等式；
（2）根據(jù)規(guī)律寫出含n的式子即可；
（3）結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡求解驗(yàn)證即可．
解：（1）＝5；
（2）＝（n+1）；
（3）
＝
＝
＝
＝（n+1）．
故答案為：（1）＝5；
（2））＝（n+1）．
【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)律并根據(jù)規(guī)律進(jìn)行求解即可．
19．“通過等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式，例如：解方程，就可以利用該思維方式，設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為：y2﹣y＝0這個(gè)熟悉的關(guān)于y的一元二次方程，解出y，再求x，這種方法又叫“換元法”．小明用這種思維方式和換元法解決下面的問題，求出了方程的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個(gè)方程的解，并把你的解答過程填寫在下面的表格中．
方程
換元法得新方程
?解新方程
檢驗(yàn)
求原方程的解

令，
則2t﹣3＝0


，
所以










【分析】對于方程x﹣2+1＝0，設(shè)y＝，原方程轉(zhuǎn)化為y2﹣2y+1＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝1，再解方程＝1得x＝1，然后進(jìn)行檢驗(yàn)得到原方程的解；對于方程x+2+＝0，設(shè)y＝，
則原方程轉(zhuǎn)化為y2+y＝0，解一元二次方程得到y(tǒng)1＝0，y2＝﹣1，再分別解方程＝0和＝﹣1，然后進(jìn)行檢驗(yàn)得到原方程的解．
解：x﹣2+1＝0，
設(shè)y＝，
原方程轉(zhuǎn)化為y2﹣2y+1＝0，
解得y1＝y(tǒng)2＝1，
當(dāng)y＝1時(shí)，＝1，解得x＝1，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x﹣2+1＝0，則x＝1為原方程的解，
所以原方程的解為x＝1；
x+2+＝0，
設(shè)y＝，
原方程轉(zhuǎn)化為y2+y＝0，
解得y1＝0，y2＝﹣1，
當(dāng)y＝0時(shí)，＝0，解得x＝﹣2，
當(dāng)y＝﹣1時(shí)，＝﹣1，方程無解，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x+2+＝0，則x＝﹣2為原方程的解，
所以原方程的解為x＝﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查了解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【分析】（1）利用根的判別式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系和已知可得，求出α，β的值，再根據(jù)αβ＝﹣3m2，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1?（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：由題意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值為±1．
【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F(xiàn)分別是對角線BD，AC的中點(diǎn)．
（1）請判斷線段EF與AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠ADC＝45°，請判斷EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【分析】（1）連接AE，EC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CE＝BD，AE＝BD，從而可得AE＝CE，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，即可解答；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CE＝DE，AE＝DE，從而可得∠ECD＝∠CDE，∠EAD＝∠ADE，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AEC＝2∠ADC＝90°，從而利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得EF＝AC，即可解答．
解：（1）EF⊥AC，
理由：連接AE，EC，

∵∠BCD＝90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴CE＝BD，
∵∠BAD＝90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴AE＝BD，
∴AE＝CE，
∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
∴EF⊥AC；
（2）EF＝AC，
理由：∵∠BCD＝90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴CE＝DE＝BD，
∴∠ECD＝∠CDE，
∵∠BAD＝90°，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE＝BD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∵∠ADC＝45°，
∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC
＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC
＝2∠ADE+2∠CDE
＝2（∠ADE+∠CDE）
＝2∠ADC
＝90°，
∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
∴EF＝AC．
【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，請?jiān)谶呴L為1的方格紙中利用格點(diǎn)作圖（不必說明作圖步驟，標(biāo)出你所連接的格點(diǎn)即可）：
（1）如圖1，畫一個(gè)平行四邊形EFGH，使得點(diǎn)A，B，C，D分別在平行四邊形EFGH的四條邊上，且S?EFGH＝2S四邊形ABCD，并直接寫出你畫的平行四邊形EFGH的面積；
（2）如圖2，畫一個(gè)矩形MNPQ，使得點(diǎn)A，B，C，D分別在矩形MNPQ的四條邊上，且S矩形MNPQ＝2S四邊形ABCD，并直接寫出矩形MNPQ的邊長；
（3）如圖3，延長DA至點(diǎn)K，請?jiān)贏K上找一點(diǎn)T使得S△CDT＝S四邊形ABCD．

【分析】（1）連接AC，分別過點(diǎn)B，D，作BL∥AC，DW∥AC，可得平行四邊形EFGH；
（2）連接BD，作MN∥BD，且四邊形MBDN是矩形，過點(diǎn)C作CJ∥BD，延長MB交CJ于點(diǎn)Q，延長ND交直線CJ于點(diǎn)P，四邊形MNPQ即為所求；
（3）連接AC，過DB作BT∥AC，交DK于點(diǎn)T，點(diǎn)T即為所求．
解：（1）如圖1中，平行四邊形EFGH即為所求；
（2）如圖2中，矩形MNPQ即為所求；
（3）如圖3中，點(diǎn)T即為所求．

【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
23．已知，矩形ABCD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在AD上，點(diǎn)F在射線BC上，點(diǎn)H在CD上．

（1）如圖1，當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，且DE⊥GF，求證：BF＝AE+AG；
（2）在（1）的條件下，將GF沿AD向右平移至點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如圖2，連接EF，取EF的中點(diǎn)P，連接PC，試判斷BE與PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，點(diǎn)F在BC上，連接EH，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若AB＝2，BC＝4，，求線段EH的長．

【分析】（1）過點(diǎn)G作GM⊥BC于M，證△DAE≌△GMF（AAS），得AE＝MF，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EQ∥PC，交BC于點(diǎn)Q，證△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF＝QC，再證△EBQ是等腰直角三角形，得EQ＝BE，即可解決問題；
（3）過點(diǎn)B作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，證四邊形BFGM和四邊形BEHN都是平行四邊形，得BM＝FG＝，BN＝EH，取AD的中點(diǎn)I，取BC的中點(diǎn)J，連接IJ，則AI＝BJ＝2，得四邊形ABJI是正方形，則MI＝AI﹣AM＝1，延長IJ到L，使JL＝AM＝1，IJ交BN于K，連接MK，然后證△BAM≌△BJL（SAS），得∠ABM＝∠JBL，BM＝BL＝，進(jìn)而證△MBK≌△LBK（SAS），得MK＝KL，設(shè)KJ＝x，MK＝KL＝KJ+JL＝x+1，IK＝IJ﹣KJ＝2﹣x，利用勾股定理得MI2+IK2＝MK2，即12+（2﹣x）2＝（x+1）2，解得x＝，則KJ＝，由勾股定理得BK＝，最后由三角形中位線定理的BN＝2BK＝，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：過點(diǎn)G作GM⊥BC于M，如圖1所示：
則∠GMB＝∠GMF＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，AD∥BF，
∴∠DGF＝∠MFG，∠A＝∠GMF，四邊形ABMG是矩形，
∴AG＝BM，MG＝AB＝AD，
∵DE⊥GF，
∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DGF，
∴∠AED＝∠MFG，
又∵∠A＝∠GMF，AD＝MG，
∴△DAE≌△GMF（AAS），
∴AE＝MF，
∴BF＝MF+BM＝AE+AG；
（2）解：BE與PC的數(shù)量關(guān)系為：BE＝PC，理由如下：
過點(diǎn)E作EQ∥PC，交BC于點(diǎn)Q，如圖2所示：
∵P是EF的中點(diǎn)，
∴PC是△EQF的中位線，
∴EQ＝2PC，QC＝CF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
又∵∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝QC，
∵AB＝BC，
∴AB﹣AE＝BC﹣QC，
即BE＝BQ，
∵∠B＝90°，
∴△EBQ是等腰直角三角形，
∴EQ＝BE，
∴2PC＝BE，
∴BE＝PC；
（3）解：過點(diǎn)B作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，如圖3所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形BFGM和四邊形BEHN都是平行四邊形，
∴BM＝FG＝，BN＝EH，
在Rt△BAM中，由勾股定理得：AM＝＝＝1，
取AD的中點(diǎn)I，取BC的中點(diǎn)J，連接IJ，
則AI＝BJ＝2，
∵AB＝2，
∴四邊形ABJI是正方形，
∴MI＝AI﹣AM＝2﹣1＝1，
延長IJ到L，使JL＝AM＝1，IJ交BN于K，連接MK，
∵AB＝BJ＝2，∠A＝∠BJI＝∠BJL＝90°，
∴△BAM≌△BJL（SAS），
∴∠ABM＝∠JBL，BM＝BL＝，
∵∠GOH＝45°，BN∥EH，BM∥GF，
∴∠MBN＝∠MBK＝45°，
∴∠ABM+∠JBK＝45°，
∴∠JBL+∠JBK＝45°，
即∠LBK＝45°，
∴∠MBK＝∠LBK，
又∵BM＝BL，BK＝BK，
∴△MBK≌△LBK（SAS），
∴MK＝KL，
設(shè)KJ＝x，MK＝KL＝KJ+JL＝x+1，IK＝IJ﹣KJ＝2﹣x，
在Rt△KIM中，由勾股定理得：MI2+IK2＝MK2，
即12+（2﹣x）2＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴KJ＝，
在Rt△BJK中，由勾股定理得：BK＝＝＝，
∵∠BJI＝∠C＝90°，
∴KJ∥CN，
∵J是BC的中點(diǎn)，
∴KJ是△BCN的中位線，
∴BN＝2BK＝，
∴EH＝．



【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．

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