?2023年陜西省榆林市神木市中考數(shù)學一模試卷
一、選擇題(共8小題，每小題3分，計24分)
1．手機移動支付給生活帶來便捷，若張阿姨微信收入5元表示為+5元，則張阿姨微信出支3元應表示為（　?。?br /> A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元
2．下列圖形中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．2023年3月11日、13日，全國政協(xié)十四屆一次會議、十四屆全國人大一次會議先后閉幕．2023年政府工作報告指出，2023年中國經(jīng)濟預期增長5%左右，新增城鎮(zhèn)就業(yè)目標上調(diào)至12000000人左右，數(shù)據(jù)12000000用科學記數(shù)法表示應為 （　　）
A．12×106 B．1.2×108 C．1.2×107 D．1.2×106
4．如圖，在△ABC中，AB＝BC，將△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，若∠B＝40°，則∠F的度數(shù)是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
5．在平面直角坐標系中，將一次函數(shù)y＝mx﹣1（m是常數(shù)）的圖象向下平移2個單位長度后經(jīng)過點（﹣2，1），則m的值為（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（　?。?br />
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
7．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，且CD⊥AB于點E，若點E為OB的中點，AB＝12，則劣弧的長為 （　?。?br />
A．12π B．4π C．6π D．3π
8．把拋物線y＝x2+bx+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線y＝x2﹣4x+3，則b、c的值分別為 （　?。?br /> A．b＝﹣12，c＝32 B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
二、填空題。（共5小題，每小題3分，計15分）
9．分解因式：x3﹣4x2+4x＝　 　．
10．從七邊形的一個頂點出發(fā)的所有對角線，把這個七邊形分成 　 　個三角形．
11．我國古代數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法，以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14為例加以說明，構(gòu)造如圖1，大正方形的面積是（x+x+5）2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據(jù)此易得x＝2．那么，圖2是方程 　的幾何解法．

12．如圖，點A、B均在反比例函數(shù)，x＞0）的圖象上，連接OA、OB，過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D，已知點D為AC的中點，且△AOD的面積為3，若點B的橫坐標為6，則點B的縱坐標為 ?。?br />
13．如圖，AC為正方形ABCD的對角線，點O為AC的中點，點E為邊AD上一點，連接EO并延長交BC于點F，過點A作AP⊥EF于點P，連接DP，若正方形ABCD的邊長為4，則DP的最小值為 　．（結(jié)果保留根號）

三、解答題。（共13小題，計81分，解答應寫出過程）
14．計算：．
15．解不等式組：．
16．先化簡，再求值：，其中x＝3．
17．如圖，點E為矩形ABCD的邊AD上一點，請用尺規(guī)作圖法在對角線BD上求作一點F，使△DEF∽△BDC．（保留作圖痕跡，不寫作法）

18．如圖，點D、E、F分別為△ABC的邊AC、AB、BC的中點，連接DE、DF、EF、BD，BD與EF相交于點O，求證：OB＝OD．

19．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點均在網(wǎng)格格點上，且點A、B的坐標分別為A（3，1），B（2，﹣1）．
（1）在y軸的左側(cè)以原點O為位似中心作△OAB的位似圖形ΔOA1B1（點A、B的對應點分別為A1B1），使ΔOA1B1與△OAB的相似比為2：1；
（2）在（1）的條件下，分別寫出點A1、B1 的坐標．

20．產(chǎn)權(quán)保護特別是知識產(chǎn)權(quán)保護是塑造良好營商環(huán)境的重要方面，保護知識產(chǎn)權(quán)就是保護創(chuàng)新，10年來，我國知識產(chǎn)權(quán)法律制度不斷完善，保護力度持續(xù)增強．為增進社會公民對知識產(chǎn)權(quán)的了解、增強知識產(chǎn)權(quán)保護意識，校志愿者團隊準備從A，B，C，D四名志愿者中通過抽卡片的方式確定兩名志愿者參加．抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字．
（1）“A志愿者被選中”是 　 　事件；（填“隨機”“不可能”或“必然”）
（2）請你用列表法或畫樹狀圖法求出A，B兩名志愿者被選中的概率．
21．無定河，黃河一級支流，位于中國陜西省北部，是榆林市最大的河流，是榆林人的母親河．某天，優(yōu)優(yōu)同學想測量無定河某段的寬度，如圖所示，河對岸的直線m上有兩棵大樹A、B，優(yōu)優(yōu)同學在河邊與直線m平行的直線n上取相距300m的C、D兩點，用測角儀測得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，AE⊥n于點E，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你計算無定河該段的寬AE．（結(jié)果保留根號）

22．聶震寧委員提出，把孔子誕生日9月28日定為我國的“全國讀書節(jié)”，以此喚醒3000年來國民讀書的熱情，進一步推動中華文化在全球范圍的傳播，某學校為更好地創(chuàng)設(shè)閱讀環(huán)境，營造讀書氛圍，擬購進一批閱讀書籍，經(jīng)了解，從“好學書店”購進某種書籍的本數(shù)x（本）與所需的總價錢y（元）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
（1）從“好學書店”購進該種書籍10本時，所需的總價錢為 　 　元；
（2）當x＞20時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若購買不超過20本時，全部按原價購買，那么購買超過20本時，超過部分是按原價的幾折購買？

23．文化自信是一個民族、一個國家以及一個政黨對自身文化價值的充分肯定和積極踐行，在全球化發(fā)展的背景下，面對紛繁復雜的國際形勢和日益激烈的競爭，若要在激蕩的形勢下始終屹立不倒，就要堅定文化自信，注重對本民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的傳承與弘揚，增強國家軟實力．某校為了增強學生的文化自信，舉辦了“品經(jīng)典風韻?展文化自信”書香文化節(jié)知識競賽，賽后隨機抽取八、九年級各10名參賽同學的競賽成績（單位：分），并對數(shù)據(jù)進行收集、整理和分析如下：
【數(shù)據(jù)收集】
八年級：80，80，80，90，70，70，90，100，100，80
九年級：70，90，90，100，80，70，90，90，80，100
【數(shù)據(jù)整理】

【數(shù)據(jù)分析】
年級
眾數(shù)
中位數(shù)
平均數(shù)
八年級
a
80
84
九年級
90
90
b
根據(jù)上述的收集、整理和分析結(jié)果，解答下列問題：
（1）扇形圖中m＝　 　，表中a＝　 　，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）請計算表中b的值；（需寫出計算過程）
（3）若九年級共有100名同學參加了此次競賽，請你估計九年級參加競賽的同學中，共有多少名同學在此次競賽中拿到了滿分（100分）？
24．如圖，⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC，且AC平分∠DAB，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．
（1）求證：BD∥CP；
（2）若 cosP＝，BD＝24，求BP的長．

25．如圖，拋物線的頂點坐標為P（2，6），且與x軸交于點A、B（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點，點D為該拋物線的對稱軸上的點．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式和點A的坐標；
（2）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點E，使得△ADE是以D為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

26．操作發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，小明將矩形紙片ABCD（AD＞AB）沿CE折疊，使點D落在BC邊上的點處，然后把紙片展開鋪平，則四邊形CDED′的形狀是 　 ?。?br /> 深入探究：
（2）如圖2，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B與坐標原點O重合，頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上．將矩形ABCD沿CE折疊，使點D落在x軸上的點D′處，然后把矩形展開鋪平；再將矩形ABCD沿EF折疊，點B恰好落在CD邊上的點B′處，點A落在點A′處，A′B′交AD于點M，B′F交CE于點N．
①求證：MB'＝ME；
②若點A的坐標為（0，6），B'C＝2DB'，求點N的坐標．



參考答案
一、選擇題。(共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的)
1．手機移動支付給生活帶來便捷，若張阿姨微信收入5元表示為+5元，則張阿姨微信出支3元應表示為（　?。?br /> A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元
【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．
解：若張阿姨微信收入5元表示為+5元，則張阿姨微信出支3元應表示為﹣3元．
故選：A．
【點評】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．
2．下列圖形中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
解：A，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
B選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．2023年3月11日、13日，全國政協(xié)十四屆一次會議、十四屆全國人大一次會議先后閉幕．2023年政府工作報告指出，2023年中國經(jīng)濟預期增長5%左右，新增城鎮(zhèn)就業(yè)目標上調(diào)至12000000人左右，數(shù)據(jù)12000000用科學記數(shù)法表示應為 （　?。?br /> A．12×106 B．1.2×108 C．1.2×107 D．1.2×106
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解：12000000＝1.2×107．
故選：C．
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．如圖，在△ABC中，AB＝BC，將△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，若∠B＝40°，則∠F的度數(shù)是（　?。?br />
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠ACB，再根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解．
解：在△ABC中，AB＝BC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠A＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵將△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，
∴∠F＝∠ACB＝70°．
故選：D．
【點評】此題考查了平移的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．在平面直角坐標系中，將一次函數(shù)y＝mx﹣1（m是常數(shù)）的圖象向下平移2個單位長度后經(jīng)過點（﹣2，1），則m的值為（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的平移，可知平移后的解析式，再將點（﹣2，1）代入平移后的解析式即可求出m的值．
解：根據(jù)一次函數(shù)的平移，
可知平移后的解析式為y＝mx﹣1﹣2，
將點（﹣2，1）代入y＝mx﹣3，
得﹣2m﹣3＝1，
解得m＝﹣2，
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的平移，熟練掌握一次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對各選項逐一判斷即可得．
解：∵四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
當AB＝AD或AC⊥BD時，均可判定四邊形ABCD是菱形；
當AC＝BD時，可判定四邊形ABCD是矩形；
當∠ABD＝∠CBD時，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
故選：C．
【點評】本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定．
7．如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，且CD⊥AB于點E，若點E為OB的中點，AB＝12，則劣弧的長為 （　?。?br />
A．12π B．4π C．6π D．3π
【分析】連接OD，根據(jù)CD⊥AB于，點E為OB的中點，可得OC＝2OE，所以∠C＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠COD＝120°，根據(jù)弧長公式即可求出答案．
解：如圖，連接OD，

∵CD⊥AB于，點E為OB的中點，
∴OC＝2OE，
∴∠C＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠D＝∠C＝30°，
∴∠COD＝120°，
∵AB＝12，
∴OC＝6，
∴劣弧的長為＝4π．
故選：B．
【點評】本題考查了弧長的計算，等腰三角形的性質(zhì)，正確求出∠COD＝120°是解題的關(guān)鍵．
8．把拋物線y＝x2+bx+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線y＝x2﹣4x+3，則b、c的值分別為 （　?。?br /> A．b＝﹣12，c＝32 B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
【分析】將拋物線y＝x2﹣4x+3化成頂點式，再根據(jù)“左加右減，上加下減”，采取逆推的方法可得拋物線y＝x2+bx+c的解析式．
解：將拋物線y＝x2﹣4x+3化成頂點式為y＝（x﹣2）2﹣1，
將拋物線y＝x2﹣4x+3向左平移4個單位，再向上平移3個單位得新拋物線解析式為y＝（x﹣2+4）2﹣1+3，
即y＝x2+4x+6，
即拋物線y＝x2+bx+c的解析式為y＝x2+4x+6，
∴b＝4，c＝6，
故選：D．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)平移的特征，熟練掌握“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．
二、填空題。（共5小題，每小題3分，計15分）
9．分解因式：x3﹣4x2+4x＝　x（x﹣2）2?。?br /> 【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方式進行因式分解即可．
解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2，
故答案為x（x﹣2）2．
【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．
10．從七邊形的一個頂點出發(fā)的所有對角線，把這個七邊形分成 　5　個三角形．
【分析】從n邊形的一個頂點出發(fā)有（n﹣3）條對角線，共分成了（n﹣2）個三角形．
解：當n＝7時，7﹣2＝5．
即可以把這個六邊形分成了5個三角形，
故答案為：5．
【點評】本題考查了多邊形的對角線，正確記憶從n邊形的一個頂點出發(fā)有（n﹣3）條對角線，共分成了（n﹣2）個三角形是解題關(guān)鍵．
11．我國古代數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法，以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14為例加以說明，構(gòu)造如圖1，大正方形的面積是（x+x+5）2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據(jù)此易得x＝2．那么，圖2是方程 　x2+3x﹣10＝0（答案不唯一）　的幾何解法．

【分析】仿照案例，構(gòu)造面積是（x+x+3）2的大正方形，由它的面積為4×10+32，可求出x＝2，此題得解．
解：由圖②知大正方形的面積是（x+x+3）2，它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×10+32，
∴圖2可看出x（x+3）＝10的幾何解法，
故答案為：x2+3x﹣10＝0（答案不唯一）．
【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，通過圖形直觀，得出面積之間的關(guān)系，并用代數(shù)式表示出來是解決問題的關(guān)鍵．
12．如圖，點A、B均在反比例函數(shù)，x＞0）的圖象上，連接OA、OB，過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D，已知點D為AC的中點，且△AOD的面積為3，若點B的橫坐標為6，則點B的縱坐標為 　2?。?br />
【分析】先用三角形的面積關(guān)系求得△AOC的面積，再應用k的幾何意義求得k，最后代入B點坐標便可得解．
解：∵D為AC的中點，△AOD的面積為3，
∴△AOC的面積為6，
∵S△AOC＝，
∴k＝12，
∴雙曲線解析式為：y＝，
把x＝6代入，得y＝＝2，
∴點B的縱坐標為2．
故答案為：2．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，關(guān)鍵是利用△AOD的面積轉(zhuǎn)化為△AOC的面積．
13．如圖，AC為正方形ABCD的對角線，點O為AC的中點，點E為邊AD上一點，連接EO并延長交BC于點F，過點A作AP⊥EF于點P，連接DP，若正方形ABCD的邊長為4，則DP的最小值為 　?。ńY(jié)果保留根號）

【分析】取OA的中點H，連接DH、PH、OD，由題意可知OD⊥AC，OA＝OD，即可求得OA＝OD＝2，得到OH＝，利用勾股定理求得DH＝＝，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出PH＝＝，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到DP≥DH﹣PH＝﹣．
解：取OA的中點H，連接DH、PH、OD，
∵點O為AC的中點，AD＝4，
∴OD⊥AC，OA＝OD，
∴OA＝OD＝2，
∴OH＝，
∴DH＝＝，
∵AP⊥EF，AH＝OH，
∴PH＝＝，
∴DP≥DH﹣PH＝﹣，
∴DP的最小值為﹣，
故答案為：﹣．

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題。（共13小題，計81分，解答應寫出過程）
14．計算：．
【分析】先化簡，然后合并同類二次根式和同類項即可．
解：
＝5+4+4+（﹣2）﹣7
＝4．
【點評】本題考查二次根式的混合運算、負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵，注意完全平方公式的應用．
15．解不等式組：．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
解：由3（x+2）﹣x＞4，得x＞﹣1，
由，得x≤4，
∴原不等式組的解集為﹣1＜x≤4．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
16．先化簡，再求值：，其中x＝3．
【分析】先通分，再做除法，約分化簡，最后代值計算．
解：原式＝[]?
＝?
＝
＝；
當x＝3時，
原式＝
＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是掌握分式相關(guān)計算法則．
17．如圖，點E為矩形ABCD的邊AD上一點，請用尺規(guī)作圖法在對角線BD上求作一點F，使△DEF∽△BDC．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】過E點作BD的垂線，垂足為F點，由于四邊形ABCD為矩形，則AD∥BC，∠C＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDF＝∠DBC，則可判斷Rt△DEF∽Rt△BDC．
解：如圖，作EF⊥BD于點F，
則點F為所求．

【點評】本題考查了作圖﹣相似變換：靈活運用相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．也考查了矩形的性質(zhì)．
18．如圖，點D、E、F分別為△ABC的邊AC、AB、BC的中點，連接DE、DF、EF、BD，BD與EF相交于點O，求證：OB＝OD．

【分析】由三角形中位線定理即可證明DE∥BC，DF∥AB，得到四邊形EBFD是平行四邊形，因此OB＝OD．
【解答】證明：∵點D、E、F分別是AC、AB、BC的中點，
∴DE、DF為△ABC 的中位線，
∴DE∥BC，DF∥AB，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴OB＝OD．
【點評】本題考查三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形中位線定理，證明四邊形EBFD是平行四邊形．
19．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點均在網(wǎng)格格點上，且點A、B的坐標分別為A（3，1），B（2，﹣1）．
（1）在y軸的左側(cè)以原點O為位似中心作△OAB的位似圖形ΔOA1B1（點A、B的對應點分別為A1B1），使ΔOA1B1與△OAB的相似比為2：1；
（2）在（1）的條件下，分別寫出點A1、B1 的坐標．

【分析】（1）延長BO到B1，使B1O＝2BO，延長AO到A1，使A1O＝2AO，連接A1B1，△OA1B1即為所求；
（2）根據(jù)圖形確定出點A1、B1 的坐標即可．
解：（1）畫出△OA1B1，如圖所示：

（2）根據(jù)圖形可得：點A1的坐標為（﹣6，﹣2），點B1的坐標為（﹣4，2）．
【點評】此題考查了作圖﹣位似變換，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
20．產(chǎn)權(quán)保護特別是知識產(chǎn)權(quán)保護是塑造良好營商環(huán)境的重要方面，保護知識產(chǎn)權(quán)就是保護創(chuàng)新，10年來，我國知識產(chǎn)權(quán)法律制度不斷完善，保護力度持續(xù)增強．為增進社會公民對知識產(chǎn)權(quán)的了解、增強知識產(chǎn)權(quán)保護意識，校志愿者團隊準備從A，B，C，D四名志愿者中通過抽卡片的方式確定兩名志愿者參加．抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字．
（1）“A志愿者被選中”是 　隨機　事件；（填“隨機”“不可能”或“必然”）
（2）請你用列表法或畫樹狀圖法求出A，B兩名志愿者被選中的概率．
【分析】（1）由隨機事件的定義即可得出結(jié)論；
（2）列表得出共有12種等可能結(jié)果，其中A，B兩名志愿者被選中的有2種結(jié)果，再由概率公式求解即可．
解：（1）“A志愿者被選中”是隨機事件，故答案為：隨機；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A
\
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
\
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
\
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
\
由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中A，B兩名志愿者被選中的有2種結(jié)果，
∴A，B兩名志愿者被選中的概率為 ．
【點評】此題考查的是用列表法求概率以及隨機事件的概念．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21．無定河，黃河一級支流，位于中國陜西省北部，是榆林市最大的河流，是榆林人的母親河．某天，優(yōu)優(yōu)同學想測量無定河某段的寬度，如圖所示，河對岸的直線m上有兩棵大樹A、B，優(yōu)優(yōu)同學在河邊與直線m平行的直線n上取相距300m的C、D兩點，用測角儀測得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，AE⊥n于點E，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你計算無定河該段的寬AE．（結(jié)果保留根號）

【分析】設(shè)CE＝x米，則DE＝CD+CE＝（300+x）米，由各角之間的關(guān)系，可求出∠ACE＝45°，在Rt△AEC中，可找出AE＝x米，在Rt△ADE中，利用tan∠ADE＝，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后可得出x的值，進而可得出無定河該段的寬AE．
解：設(shè)CE＝x米，則DE＝CD+CE＝（300+x）米．
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝180°﹣15°﹣120°＝45°．
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝，
∴AE＝CE?tan∠ACE＝x?tan45°＝x（米）；
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
∴tan30°＝＝，
∴x＝＝150+150，
經(jīng)檢驗，x＝150+150是所列方程的解，且符合題意，
∴AE＝（150+150）米．
答：無定河該段的寬AE為（150+150）米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用以及解分式方程，在Rt△AEC中，利用正切的定義找出關(guān)于x的分式方程是解題的關(guān)鍵．
22．聶震寧委員提出，把孔子誕生日9月28日定為我國的“全國讀書節(jié)”，以此喚醒3000年來國民讀書的熱情，進一步推動中華文化在全球范圍的傳播，某學校為更好地創(chuàng)設(shè)閱讀環(huán)境，營造讀書氛圍，擬購進一批閱讀書籍，經(jīng)了解，從“好學書店”購進某種書籍的本數(shù)x（本）與所需的總價錢y（元）之間的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
（1）從“好學書店”購進該種書籍10本時，所需的總價錢為 　200　元；
（2）當x＞20時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若購買不超過20本時，全部按原價購買，那么購買超過20本時，超過部分是按原價的幾折購買？

【分析】（1）根據(jù)圖象求出購買不超過20本的單價，再求購買10本的總價即可．
（2）設(shè)當x＞20時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求出即可．
（3）分別求出購買不超過20本的單價，購買超過20本的單價，后者除以前者得到結(jié)果．
解：由圖象可知：購進圖書20本時，所需總價錢為400元，
∴購進圖書不超過20本時，單價為400÷20＝20（元），
∴從“好學書店”購進該種書籍10本時，所需的總價錢為20×10＝200（元），
故答案為：200．
（2）設(shè)當x＞20時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
∵圖象經(jīng)過點（20，400）和點（50，880），
∴，
解得，
∴當x＞20時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝16x+80．
（3）當x≤20時，單價為400÷20＝20（元/本），
當x＞20時，單價為（880﹣400）÷（50﹣20）＝16（元/本），
16÷20＝0.8，
∴購買超過20本時，超過部分是按原價的八折購買．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的實際應用，讀懂題意，結(jié)合函數(shù)圖象，正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
23．文化自信是一個民族、一個國家以及一個政黨對自身文化價值的充分肯定和積極踐行，在全球化發(fā)展的背景下，面對紛繁復雜的國際形勢和日益激烈的競爭，若要在激蕩的形勢下始終屹立不倒，就要堅定文化自信，注重對本民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的傳承與弘揚，增強國家軟實力．某校為了增強學生的文化自信，舉辦了“品經(jīng)典風韻?展文化自信”書香文化節(jié)知識競賽，賽后隨機抽取八、九年級各10名參賽同學的競賽成績（單位：分），并對數(shù)據(jù)進行收集、整理和分析如下：
【數(shù)據(jù)收集】
八年級：80，80，80，90，70，70，90，100，100，80
九年級：70，90，90，100，80，70，90，90，80，100
【數(shù)據(jù)整理】

【數(shù)據(jù)分析】
年級
眾數(shù)
中位數(shù)
平均數(shù)
八年級
a
80
84
九年級
90
90
b
根據(jù)上述的收集、整理和分析結(jié)果，解答下列問題：
（1）扇形圖中m＝　20　，表中a＝　80　，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）請計算表中b的值；（需寫出計算過程）
（3）若九年級共有100名同學參加了此次競賽，請你估計九年級參加競賽的同學中，共有多少名同學在此次競賽中拿到了滿分（100分）？
【分析】（1）用70分的人數(shù)除以樣本容量10可得m的值；根據(jù)中位數(shù)的定義可得a的值；用樣本容量10分別減去其它分數(shù)的人數(shù)可得90分的人數(shù)，進而補全條形統(tǒng)計圖；
（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法解答即可；
（3）用100乘樣本中拿到滿分的學生所占百分比即可．
解：（1）由題意得：m%＝＝20%，故m＝20；
八年級10名參賽同學的競賽成績中80出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)b＝80；
八年級10名參賽同學的競賽成績中90分有：10﹣2﹣4﹣2＝2（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：

故答案為：20，80；
（2）（70+90+90+100+80+70+90+90+80+100）（分），
即表中b的值為86；
（3）100×20%＝20（名），
∴估計九年級參加競賽的同學中，大約共有20名同學在此次競賽中拿到了滿分．
【點評】本題考查用樣本估計總體、中位數(shù)、眾數(shù)，理解各個概念的內(nèi)涵和計算方法是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC，且AC平分∠DAB，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P．
（1）求證：BD∥CP；
（2）若 cosP＝，BD＝24，求BP的長．

【分析】（1）連接OC，如圖，先利用圓周角定理得到＝，再根據(jù)垂徑定理得到OC⊥BD，接著利用切線的性質(zhì)得OC⊥PC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）先利用BD∥PC得到∠ABD＝∠P，所以cos∠ABD＝cosP＝，再根據(jù)圓周角定理得∠ADB＝90°，則利用余弦的定義可求出AB＝30，所以O(shè)B＝OC＝15，接著在Rt△OCP中利用余弦的定義得到cosP＝＝，于是設(shè)PC＝4x，PO＝5x，則OC＝3x＝15，求出x得到OP＝25，然后計算OP﹣OB即可．
【解答】（1）證明：連接OC，如圖，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵CP為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴BD∥CP；
（2）解：∵BD∥PC，
∴∠ABD＝∠P，
∴cos∠ABD＝cosP＝，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，∵cos∠ABD＝＝，
∴AB＝BD＝×24＝30，
∴OB＝OC＝15，
∵OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
在Rt△OCP中，∵cosP＝＝，
∴設(shè)PC＝4x，PO＝5x，
∴OC＝3x，
即3x＝15，
解得x＝5，
∴OP＝5x＝25，
∴BP＝OP﹣OB＝25﹣15＝10．

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形．
25．如圖，拋物線的頂點坐標為P（2，6），且與x軸交于點A、B（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點，點D為該拋物線的對稱軸上的點．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式和點A的坐標；
（2）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點E，使得△ADE是以D為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣2）2+6，將點 C（0，）代入得：4a+6＝，a＝﹣，故y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+x+，令y＝0得A（5，0）；
（2）記拋物線的對稱軸與x軸的交點為F，則F（2，0），分兩種情況：①當點E在x軸上方時，如圖點D、E分別在點D1E1的位置，過點E1作E1N⊥PF于點N，證明△AFD1≌ΔD1NE1（AAS），得D1N＝AF，D1F＝E1N，設(shè)D1（2，m），則E1（m+2，m+3），代入y＝﹣x2+x+可得m的值，從而E1（，）；②當點E在x軸下方時，如圖點D、E分別在點D2E2的位置，過點E2作E2H⊥PF于點H，同理可得E2（，﹣）．
解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣2）2+6，
將點 C（0，）代入得：4a+6＝，
解得a＝﹣，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+x+，
令y＝0得：，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（5，0）；
（2）存在點E，使得△ADE是以D為直角頂點的等腰直角三角形，理由如下：
記拋物線的對稱軸與x軸的交點為F，則F（2，0），
①當點E在x軸上方時，如圖，點D、E分別在點D1E1的位置，過點E1作E1N⊥PF于點N，如圖：

∵∠AD1E1＝90°，
∴∠AD1F+∠E1D1N＝90°，
∵∠E1D1N+∠D1E1N＝90°，
∴∠AD1F＝∠D1E1N，
∵AD1＝D1E1，∠AFD1＝∠D1NE1＝90°，
∴△AFD1≌ΔD1NE1（AAS），
∴D1N＝AF，D1F＝E1N，
∵A（5，0），F(xiàn)（2，0），
∴AF＝D1N＝3，
設(shè)D1（2，m），則E1（m+2，m+3），
將E1（m+2，m+3）代入y＝﹣x2+x+得：，
解得m＝﹣3（舍去）或m＝；
∴E1（，）；
②當點E在x軸下方時，如圖點D、E分別在點D2E2的位置，過點E2作E2H⊥PF于點H，如圖：

∵∠AD2E2＝90°，
∴∠AD2F+∠HD2E2＝90°，
∵∠HD2E2+∠HE2D2＝90°，
∴∠AD2F＝∠HE2D2，
∵AD2＝D2E2，∠AFD2＝∠D2HE2＝90°，
∴△AFD2≌ΔD2HE2（AAS），
∴D2H＝AF，D2F＝E2H，
∵A（5，0），F(xiàn)（2，0），
∴D2H＝AF＝3，
設(shè)D2（2，n），則E2（2﹣n，n﹣3），
把E2（2﹣n，n﹣3）代入y＝﹣x2+x+得：n﹣3＝﹣（2﹣n）2+（2﹣n）+，
解得：n＝3（舍去）或n＝﹣，
∴E2（，﹣）．
綜上所述，E的坐標為（，）或（，﹣）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)及應用，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應用．
26．操作發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，小明將矩形紙片ABCD（AD＞AB）沿CE折疊，使點D落在BC邊上的點處，然后把紙片展開鋪平，則四邊形CDED′的形狀是 　正方形??；
深入探究：
（2）如圖2，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B與坐標原點O重合，頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸上．將矩形ABCD沿CE折疊，使點D落在x軸上的點D′處，然后把矩形展開鋪平；再將矩形ABCD沿EF折疊，點B恰好落在CD邊上的點B′處，點A落在點A′處，A′B′交AD于點M，B′F交CE于點N．
①求證：MB'＝ME；
②若點A的坐標為（0，6），B'C＝2DB'，求點N的坐標．

【分析】（1）首先證明四邊形CDED′是菱形，由∠D＝90°，可得四邊形CDED′是正方形；
（2）①連接B′E，根據(jù)折疊性質(zhì)證明Rt△EB'A'≌Rt△B'ED（HL），可得∠EB′A′＝∠B′ED，進而可以解決問題；
②設(shè)CF＝x，則FB′＝FB＝（8﹣x），根據(jù)勾股定理得42+x2＝（8﹣x）2，求出x＝3，過點N作NH⊥BC于點H，延長HN交AD于點I，延長AD、FB′相交于點G，則∠B'GD＝∠B'FC，所以tan∠B'GD＝tan∠B'FC，列式求出DG＝，然后證明△FCN∽△GEN，對應邊成比例求出NH＝，再利用線段的和差即可求出點N的坐標．
【解答】（1）解：四邊形CDED′是正方形，理由如下：
由折疊可知，ED＝ED′，CD＝CD′，∠DCE＝∠D′CE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴ED＝CD，
∴ED＝ED′＝CD＝CD′，
∴四邊形CDED′是菱形，
∵∠D＝90°，
∴四邊形CDED′是正方形，
故答案為：正方形；
（2）①證明：如圖，連接B′E，

由（1）知四邊形CDED′是正方形，則CD＝DE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，
由折疊知，A'B'＝AB，∠BAE＝∠B'A'E，
∴A'B'＝CD＝DE，∠B'A'E＝∠D＝90°，
又∵EB′＝B′E，
∴Rt△EB'A'≌Rt△B'ED（HL），
∴∠EB′A′＝∠B′ED，
∴MB′＝ME；
②解：由①知Rt△EB'A'≌Rt△B'ED，
∴A′E＝DB′，
由折疊知，A′E＝AE，
∴AE＝DB'
∵點A的坐標為（0，6），B'C＝2DB'，
∴CD＝AB＝6，
∴B′C＝4，B′D＝2，
∴AE＝DB′＝2，DE＝CD＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8．
設(shè)CF＝x，則FB′＝FB＝（8﹣x），
在Rt△FCB′中，根據(jù)勾股定理得BC′2+CF2＝FB′2，
∴42+x2＝（8﹣x）2
解得，x＝3，
∴CF＝3，
過點N作NH⊥BC于點H，延長HN交AD于點I，延長AD、FB′相交于點G，
則∠B'GD＝∠B'FC，
∴tan∠B'GD＝tan∠B'FC，

∴＝，
∴＝，
∴DG＝，
∴EG＝DE+EG＝6+＝，
∵EG∥CF，
∴△FCN∽△GEN，
∴＝，
∴＝，
∴NH＝，
在正方形CDED′中，∠BCH＝45°，
∴CH＝NH＝，
∴BH＝BC﹣CH＝8﹣＝，
∴點N的坐標為（，）．
【點評】本題考查四邊形綜合應用，涉及翻折變換、相似三角形判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．

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