第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 復(fù)數(shù)z=i(1+i)，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部是( )
A. 1B. ?1C. iD. ?i
2. 已知向量a=(1,2)，b=(λ,3)，若a⊥b，則λ=( )
A. ?6B. ?32C. 32D. 6
3. 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若A=π4,B=π3,a= 2，則b的值為( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4. 已知函數(shù)f(x)= 3sin2x?cs2x，則f(x)的( )
A. 最小正周期為π，最大值為 3?1B. 最小正周期為π，最大值為2
C. 最小正周期為2π，最大值為 3?1D. 最小正周期為2π，最大值為2
5. 向量a=(1,2)，向量b=(?1,0)，則b在a上的投影向量是( )
A. ? 55B. 55C. (?15,?25)D. (15,25)
6. 設(shè)兩個(gè)非零向量e1,e2不共線，且，，，則( )
A. A，C，D三點(diǎn)共線B. A，B，C三點(diǎn)共線
C. B，C，D三點(diǎn)共線D. A，B，D三點(diǎn)共線
7. 在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB=( )
A. 34AB?14ACB. 14AB?34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
8. 如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度是60m，則河流的寬度BC等于( )
A. 240( 3?1)m
B. 180( 2?1)m
C. 160( 2?1)m
D. 120( 3?1)m
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 在下列向量組中，可以作為基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,2)B. e1=(?1,2)，e2=(5,?2)
C. e1=(3,5)，e2=(6,8)D. e1=(2,?3)，e2=(?2,3)
10. 用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是( )
A. 圓錐B. 圓柱C. 棱錐D. 正方體
11. 設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(a+i)(1+2i)，則下列命題正確的是( )
A. 若z為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為2
B. 若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?12,2)
C. 實(shí)數(shù)a=?12是z=z?(z?為z的共軛復(fù)數(shù))的充要條件
D. 若z+|z|=x+5i(x∈R)，則實(shí)數(shù)a的值為2
12. 在△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2+b2=c2+ab,a=8,c=2 13，則( )
A. b=6B. △ABC的面積為4 3或12 3
C. △ABC是銳角三角形D. △ABC的外接圓面積是52π3
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 已知復(fù)數(shù)z=3+4i3，則z的共軛復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限．
14. 水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知A′C′=6，B′C′=4，則邊AB上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
15. 已知tan(A?B)=12，，且A，B∈(0,π)，則tanA= ______ ；2A?B= ______ ．
16. 已知△ABC為銳角三角形，滿足sinBsinC=(sin2B+sin2C?sin2A)tanA，△ABC外接圓的圓心為O，半徑為1，則OA?(AB+AC)的取值范圍是______．
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. (本小題10.0分)
已知復(fù)數(shù)z1=1+3i，z2=2+2i，i為虛數(shù)單位．
(1)求z1?z2及；
(2)若z=z1z2，求z的共軛復(fù)數(shù)．
18. (本小題12.0分)
已知向量a=(3,2)，b=(x,?1)．
(1)若(a+2b)⊥(2a?b)，求實(shí)數(shù)x的值；
(2)若c=(?8,?1)，a/?/(b+c)，求向量a與b的夾角θ．
19. (本小題12.0分)
在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若bcsC=(2a?c)csB
(Ⅰ)求∠B的大小
(Ⅱ)若b= 7、a+c=4，求三角形ABC的面積．
20. (本小題12.0分)
已知函數(shù)．
(1)將函數(shù)f(x)化為Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，φ∈(0,π2)，并求f(x)的值域；
(2)若f(α)=65，α∈(π4,π2)，求sin2α的值．
21. (本小題12.0分)
如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的公路(長(zhǎng)度均超過(guò)2千米)，在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測(cè)得AM=2千米，AN=2千米．
(1)求線段MN的長(zhǎng)度；
(2)若∠MPN=60°，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值．
22. (本小題12.0分)
已知向量a=(cs3x2,sin3x2),b=(csx2,?sinx2)，函數(shù)f(x)=a?b?m|a+b|+1，x∈[?π3,π4],m∈R．
(1)當(dāng)m=0時(shí)，求f(π6)的值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g(x)=f(x)+2449m2,x∈[?π3,π4]，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=i(1+i)=?1+i，
則復(fù)數(shù)z的虛部為1．
故選：A．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及虛部的定義，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】解：∵a⊥b，
∴a?b=λ+6=0，解得λ=?6．
故選：A．
根據(jù)向量垂直的充要條件及向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可求出λ的值．
本題考查了向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于容易題．
3.【答案】C
【解析】解：因?yàn)锳=π4,B=π3,a= 2，
由正弦定理得asinA=bsinB，
即b=asinBsinA= 2× 32 22= 3．
故選：C．
由正弦定理即可求出．
本題考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】B
【解析】
【分析】f(x)=2sin(2x?π6)，可求最小正周期和最大值．
本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期與最大值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．
【解答】解：f(x)= 3sin2x?cs2x=2( 32sin2x?12cs2x)=2sin(2x?π6)，
最小正周期為T=2π2=π，
當(dāng)sin(2x?π6)=1時(shí)，有最大值2．
故選：B．
5.【答案】C
【解析】解：由已知得|b|=1，cs=a?b|a||b|=1×(?1)+2×0 12+22×1=?1 5，
故b在a上的投影向量是|b|cs?a|a|=?1 5?(1,2) 5=(?15,?25)．
故選：C．
根據(jù)投影向量的定義，算出兩向量的夾角，以及a方向上的單位向量，即可求出結(jié)果．
本題考查向量的模長(zhǎng)、夾角的計(jì)算以及投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】D
【解析】解：，，，
，，
∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得AC=λCD成立，故A錯(cuò)誤；
∵AB=e1+2e2，，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得AB=λAC成立，
故B錯(cuò)誤；
，，
∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得BC=λCD成立，故C錯(cuò)誤；
∵AB=e1+2e2，，，故D正確．
故選：D．
根據(jù)平面向量共線定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
運(yùn)用向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算，計(jì)算可得結(jié)果．
【解答】
解：如圖，
在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，
則EB=AB?AE=AB?12AD
=AB?12×12(AB+AC)
=34AB?14AC．
故選：A．

8.【答案】D
【解析】解：由題可得∠ACB=30°，所以sin30°=60AC，則AC=120，
在△ABC中，∠BAC=75°?30°=45°，∠ABC=105°，
sin∠ABC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cs45°+cs60°sin45°= 6+ 24，
由正弦定理可得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，即BC 22=120 6+ 2，
解得BC=120( 3?1)m．
故選：D．
先求得AC=120，在△ABC中利用正弦定理即可求解．
本題考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
9.【答案】BC
【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，e1/?/e2，則e1，e2不能作為基底；
對(duì)于選項(xiàng)B，?1×(?2)?2×5≠0，即e1，e2不共線，即e1，e2能作為基底；
對(duì)于選項(xiàng)C，3×8?5×6≠0，即e1，e2不共線，即e1，e2能作為基底；
對(duì)于選項(xiàng)D，2×3?(?2)×(?3)=0，即e1，e2共線，即e1，e2不能作為基底，
故選：BC．
由共線的坐標(biāo)運(yùn)算逐一判斷即可得解．
本題考查了向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
10.【答案】ACD
【解析】解：用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐時(shí)，軸截面的形狀是一個(gè)等腰三角形，所以A滿足條件；
用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱時(shí)，截面的形狀不可能是一個(gè)三角形，所以B不滿足條件；
用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐時(shí)，截面的形狀是一個(gè)三角形，所以C滿足條件；
用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體時(shí)，截面的形狀可以是一個(gè)三角形，所以D滿足條件．
故選：ACD．
根據(jù)圓錐、圓柱、三棱錐和正方體的結(jié)構(gòu)特征，判斷即可．
本題主要考查了用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體時(shí)所截得的平面是什么形狀的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本題考查復(fù)數(shù)的概念與分類，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及其幾何意義，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，充要條件及其判斷，復(fù)數(shù)的模及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z為a+bi的形式．根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和充要條件的概念可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)復(fù)數(shù)的模及其幾何意義可判斷選項(xiàng)D．
【解答】
解：復(fù)數(shù)z=(a+i)(1+2i)=(a?2)+(2a+1)i．
對(duì)于A：當(dāng)a=2時(shí)，z為純虛數(shù)，故A正確；
對(duì)于B：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，可得a?2

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