2021北京通州初三（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題（本題共8分，每小題3分，共24分）下列各題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意1．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是　　A． B． C． D．2．（3分）如圖，為切線，連接，．若，則的度數(shù)為　　A． B． C． D．3．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，則的面積為　　A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）已知一個(gè)扇形的弧長為，半徑是3，則這個(gè)扇形的面積為　　A． B． C． D．5．（3分）水平放置的圓柱形排水管道截面半徑為．若管道中積水最深處為，則水面寬度為　　A． B． C． D．6．（3分）古希臘人認(rèn)為，最美人體是肚臍至足底的長度之比與人體身高之比是，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”雕像便是如此．若某人身材大致滿足黃金分割比例，且其肚臍至足底的長度為，則此人身高大約為　　A． B． C． D．7．（3分）已知二次函數(shù)的圖象對稱軸為，且圖象經(jīng)過點(diǎn)，．則下列說法中正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則8．（3分）公元3世紀(jì)，劉徽發(fā)現(xiàn)可以用圓內(nèi)接正多邊形的周長近似地表示圓的周長．如圖所示，他首先在圓內(nèi)畫一個(gè)內(nèi)接正六邊形，再不斷地增加正多邊形的邊數(shù)；當(dāng)邊數(shù)越多時(shí)，正多邊形的周長就越接近于圓的周長．劉徽在《九章算術(shù)》中寫道：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”我們稱這種方法為劉徽割圓術(shù)，它開啟了研究圓周率的新紀(jì)元．小牧通過圓內(nèi)接正邊形，使用劉徽割圓術(shù)，得到的近似值為　　A． B． C． D．二、填空題（本題共8分，每小題3分，共24分）9．（3分）　　．10．（3分）請寫出一個(gè)開口向下，且圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式　　．11．（3分）如圖，，，為上的點(diǎn)．若，則　　．12．（3分）如圖，輸電塔高．在遠(yuǎn)離高壓輸電塔的處，小宇用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫?/span>．已知測角儀高，則　　．13．（3分）如圖，在中，，分別，邊上，且，若，則與的面積之比等于　　．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則點(diǎn)坐標(biāo)為　　．15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為雙曲線圖象上一點(diǎn)．將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位后，該點(diǎn)恰好出現(xiàn)在反比例函數(shù)圖象上，則的值為 　　．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的半徑為3，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)．則的最大值為　　．三、解答題（共9小題，17-22題每小題5分，23，24題每小題5分，25題8分，共52分）17．（5分）如圖，與交于點(diǎn)，，，，，求的長．18．（5分）二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表：034030求出二次函數(shù)的表達(dá)式．19．（5分）下面是小付設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，及上一點(diǎn)．求作：過點(diǎn)的的切線．作法：如圖2，①作射線；②以點(diǎn)為圓心，為半徑作，與射線交于另一點(diǎn)；③分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交射線上方于點(diǎn)；④作直線；則直線即為所求．根據(jù)小付設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：，，　　（填推理的依據(jù)）．又是的半徑，是的切線　　（填推理的依據(jù)）．20．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．（1）求出反比例函數(shù)表達(dá)式及的值；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．21．（5分）如圖，在中，．以為直徑作，交于點(diǎn)，連接．作平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，求的長．22．（5分）有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．嘉瑤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是嘉瑤的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）函數(shù)的圖象與軸　　交點(diǎn)；（填寫“有”或“無” （2）下表是與的幾組對應(yīng)值：12則的值為　　；（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，嘉瑤描出各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．請你根據(jù)描出的點(diǎn)，幫助嘉瑤畫出該函數(shù)的大致圖象；（4）請你根據(jù)探究二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合圖象直接寫出方程的根約為　　．（結(jié)果精確到23．（7分）如圖，將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到正方形．連接，分別與、交于點(diǎn)，，連接，．（1）求的值（用表示）；（2）求證：．24．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)圖象的對稱軸；（2）求點(diǎn)縱坐標(biāo)（用含有的代數(shù)式表示）；（3）已知點(diǎn)．將點(diǎn)向下移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)．若二次函數(shù)圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．25．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為圖形上一點(diǎn)．我們將線段長度的最大值與最小值之間的差定義為點(diǎn)視角下圖形的“寬度”．（1）如圖，半徑為2，與軸，分別交于點(diǎn)，．①在點(diǎn)視角下，的“寬度”為　　，線段的“寬度”為　　；②點(diǎn)為軸上一點(diǎn)．若在點(diǎn)視角下，線段的“寬度”為2，求的取值范圍；（2）的圓心在軸上，且半徑為，一次函數(shù)與軸，軸分別交于點(diǎn)，．若線段上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)視角下，的“寬度”可以為2，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．
參考答案一、選擇題（本題共8分，每小題3分，共24分）下列各題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意1．【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：因?yàn)?/span>是拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：．【點(diǎn)評】主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．2．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算則可得到答案．【解答】解：是的切線，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵3．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得出答案．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是得出正確答案的前提．4．【分析】根據(jù)扇形的面積，計(jì)算即可．【解答】解：由題意，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查扇形的面積，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式，屬于中考常考題型．5．【分析】過作于，交于，先由垂徑定理得出，，，，再求出，然后由勾股定理求出，即可得出．【解答】解：過作于，交于，連接，如圖所示：則，，，，，，，即水面寬度為，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．6．【分析】設(shè)此人身高為，由黃金分割的定義得，即可解決問題．【解答】解：設(shè)此人身高為，某人身材大致滿足黃金分割比例，且其肚臍至足底的長度為，，解得：，即此人身高大約為，故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值約為0.618是解題的關(guān)鍵．7．【分析】利用待定系數(shù)法求得的值即可判斷．【解答】解：二次函數(shù)的圖象對稱軸為，，、若，則，二次函數(shù)為，圖象經(jīng)過點(diǎn)，．，解得，故錯(cuò)誤；、若，則，二次函數(shù)為，圖象經(jīng)過點(diǎn)，．，解得，故錯(cuò)誤；、若，則，二次函數(shù)為，圖象經(jīng)過點(diǎn)，．，解得，故錯(cuò)誤；、若，則，二次函數(shù)為，圖象經(jīng)過點(diǎn)，．，解得，故正確；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得的值是解題的關(guān)鍵．8．【分析】設(shè)半徑為的圓內(nèi)接正邊形的周長為，圓的直徑為，則進(jìn)而即可解決問題；【解答】解：如圖，圓的內(nèi)接正多邊形被半徑分成個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點(diǎn)，則，設(shè)半徑為的圓內(nèi)接正邊形的周長為，圓的直徑為，則，在中，，即，，，，又，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共8分，每小題3分，共24分）9．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算．【解答】解：原式．【點(diǎn)評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．【相關(guān)鏈接】特殊角三角函數(shù)值：，，，；，，，；，，，．10．【分析】由開口向下可知二次項(xiàng)系數(shù)小于0，由頂點(diǎn)在原點(diǎn)可設(shè)其為頂點(diǎn)式，可求得答案．【解答】解：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè)拋物線解析式為，圖象開口向下，，可取，拋物線解析式為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在中，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．11．【分析】在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，由此即可解決問題．【解答】解：，，，故答案為：；【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．12．【分析】過作于，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：過作于，則，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)，即可證得，然后根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：，，，，與的面積是：．故答案是：．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：熟練掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．14．【分析】題目中給出了軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，且有以為斜邊的直角三角形，可以考慮作斜邊上的高構(gòu)造相似三角形來解題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，，．，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)評】此題是一道圖形與平面直角坐標(biāo)系的小綜合題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)作輔助線構(gòu)造相似三角形．15．【分析】根據(jù)平移的規(guī)律求得平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征得到，解得的值，即可根據(jù)求得的值．【解答】解：點(diǎn)為雙曲線圖象上一點(diǎn)，，點(diǎn)向左平移3個(gè)單位后得到點(diǎn)，該點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，，，，，，故答案為3．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平移的規(guī)律，根據(jù)是根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到關(guān)于的方程．16．【分析】如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，連接，過作軸于點(diǎn)，此時(shí)取得最大值，利用切線的性質(zhì)得到垂直于，在直角三角形中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，為的值，則可得出答案．【解答】解：如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，此時(shí)取得最大值，為的切線，，，圓半徑．在中，，，，則的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（共9小題，17-22題每小題5分，23，24題每小題5分，25題8分，共52分）17．【分析】由，可得出，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，代入，，即可求出的長．【解答】解：，，，，即，．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．18．【分析】利用表中數(shù)據(jù)可設(shè)交點(diǎn)式，然后把代入求出即可．【解答】解：據(jù)題意，設(shè)，該函數(shù)過點(diǎn)，，二次函數(shù)的表達(dá)式．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．19．【分析】（1）根據(jù)作圖步驟作出圖形即可．（2）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，直線即為所求作． （2）證明：，，（垂直平分線的判定），又是的半徑，是的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線）故答案為：垂直平分線的判定，經(jīng)過半徑的外端并且垂直與這條半徑的直線是圓的切線．【點(diǎn)評】本題考查作圖復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．20．【分析】（1）把點(diǎn)，代入即可求得、的值；（2）由函數(shù)的圖象即可求得．【解答】解：（1）點(diǎn)在函數(shù)上，，反比例函數(shù)表達(dá)式為，又點(diǎn)在函數(shù)上，； （2）由圖象可知，不等式的解集為或．【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．21．【分析】（1）欲證明，只要證明即可．（2）因?yàn)?/span>，只要求出，即可解決問題．【解答】（1）證明：為直徑，，，，為的角平分線，，，，，． （2）解：在中，，，，在中，，，在中，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．22．【分析】（1）函數(shù)的自變量的取值范圍為；（2）把代入求出的值即可；（3）利用列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)的圖象；（4）方程的根，實(shí)際上就是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過圖象直觀得出相應(yīng)的的值．【解答】解：（1）函數(shù)自變量的取值范圍為，函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)；故答案為：無；（2）把代入得，，故答案為：；（3）根據(jù)列表、描點(diǎn)、連線得出函數(shù)的圖象，所畫的圖象如圖所示：（4）通過圖象直觀得出函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．故答案為：或或2.1．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象及其畫法，列表、描點(diǎn)、連線是畫函數(shù)圖象的常用方法．23．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）延長，交于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得，可證，由等腰三角形的判定可得，由相似三角形的性質(zhì)可得，可證，可得結(jié)論【解答】解：（1）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到正方形，，，；（2），，，，，，如圖，延長，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．24．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性求得即可；（2）拋物線的表達(dá)式為：，即可求解；（3）分四種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫圖結(jié)合相關(guān)計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)，，拋物線的對稱軸為直線；（2）拋物線與軸交于，，設(shè)，，；（3）當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，拋物線與線段有一個(gè)交點(diǎn)，即拋物線的頂點(diǎn)，如圖1所示；②當(dāng)時(shí)，拋物線與線段沒有交點(diǎn)，如圖2，；③當(dāng)時(shí)，拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖3，；當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入拋物線得：解得，，①當(dāng)時(shí)，拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖4，②當(dāng)時(shí)，拋物線與線段沒有交點(diǎn)，如圖5，；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．25．【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)視角下圖形的“寬度”，求解即可．②分兩種情形：當(dāng)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，分別求解即可．（2）因?yàn)?/span>的“寬度”為2，所以．分或，兩種情形分別求解即可．【解答】（1）①如圖，作直線交于，．，在點(diǎn)視角下，的“寬度”為4．連接，．，，，線段的“寬度”為2，故答案為：4；2． ②當(dāng)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)線段的“寬度”大于2，不符合題意，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，，．綜上所述，或． （2）的“寬度”為2，．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)出現(xiàn)在內(nèi)部，其軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．又點(diǎn)在線段上．該軌跡圓需要與線段有交點(diǎn)．如圖．當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，與相切時(shí)，，如圖中，當(dāng)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，．綜上所述，時(shí)，滿足條件的為：．當(dāng)時(shí)，在圓外任何一點(diǎn)的視角下，的“寬度”均為2．所以為任意實(shí)數(shù)．【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)視角下圖形的“寬度”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．

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