2022-2023學(xué)年遼寧省大連市沙河口區(qū)、甘井子區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  若二次根式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  若正方形的面積為，則其邊長(zhǎng)可表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，，，若正方形，的面積分別為，，則正方形的面積是(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  如圖，一木桿在離地面處折斷，木桿頂端落在離木桿底端處，則木桿折斷之前的高度是(    )A.
B.
C.
D. 6.  如圖，、、分別是三邊的中點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 7.  由下列長(zhǎng)度的三條線段組成的三角形不是直角三角形的是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，8.  如圖，在中，，，于，若，則(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長(zhǎng)相等就可以了這其中的數(shù)學(xué)道理是(    )A. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B. 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
C. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D. 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
 10.  如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角．要得到一個(gè)正方形，剪口與折痕所成銳角的大小為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）11.  化簡(jiǎn)的結(jié)果是          ．12.  如圖，矩形的面積為，若，則 ______ ．
 13.  已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的值可以是______ 寫出一個(gè)即可
 14.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)和，則的長(zhǎng)是______ ．
 15.  當(dāng)，，時(shí)，代數(shù)式的值是______ ．16.  我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，成為中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的標(biāo)志之一如圖，若弦圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為和，則中間小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為______ ．
 17.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，如果以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在第三象限，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______ ．
18.  如圖，兩個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形紙條傾斜地重疊著若，則疊合部分四邊形面積的是______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共76.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.  本小題分
計(jì)算：
；
．20.  本小題分
已知，，求下列各式的值：
；
．21.  本小題分
如圖，在?中，對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作于．
求證：四邊形是矩形．
22.  本小題分
如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
23.  本小題分
求證：菱形兩對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)平方的四倍．
若將中命題題設(shè)中的“菱形”改為“平行四邊形”，其它條件不變，可以得到的真命題是：______ 直接寫出結(jié)論
 24.  本小題分
如圖，若，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，可以判斷與的數(shù)量關(guān)系是______ 直接寫出結(jié)論
如圖，若，，且，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以、為鄰邊，為對(duì)角線作平行四邊形，則對(duì)角線的最小值為______ 直接寫出結(jié)論
如圖，若是的一點(diǎn)，以，為邊，在的內(nèi)部作平行四邊形，以，為邊，以為對(duì)角線作平行四邊形，連接，交于點(diǎn)求證：；．

 25.  本小題分
數(shù)學(xué)課上，師生們以“利用正方形和矩形紙片折疊特殊角”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
操作判斷
小明利用正方形紙片進(jìn)行折疊，過(guò)程如下：
步驟：如圖，對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；步驟：連接，可以判定的形狀是：______ 直接寫出結(jié)論
小華利用矩形紙片進(jìn)行折疊，過(guò)程如下：
如圖，先類似小明的步驟，得到折痕后把紙片展平；在上選一點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在折痕上的一點(diǎn)處，連接．
小華得出的結(jié)論是：請(qǐng)你幫助小華說(shuō)明理由．
遷移探究
小明受小華的啟發(fā)，繼續(xù)利用正方形紙片進(jìn)行探究，過(guò)程如下：
如圖，第一步與步驟一樣；然后連接，將沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)的一點(diǎn)處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可以得到： ______ 直接寫出結(jié)論；同時(shí)，若正方形的邊長(zhǎng)是，可以求出的長(zhǎng)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程．
拓展應(yīng)用
如圖，在矩形中，，點(diǎn)為上的一點(diǎn)不與點(diǎn)重合，可以與點(diǎn)重合，將沿著折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為落在矩形的內(nèi)部，連結(jié)，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，可求得的長(zhǎng)為______ 直接寫出結(jié)論


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故選：．
根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．
本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則，
．
故選：．
根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算．
本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的面積公式．
 3.【答案】 【解析】解：．與不能合并，所以選項(xiàng)不符合題意；
B.，所以選項(xiàng)不符合題意；
C.，所以選項(xiàng)符合題意；
D.，所以選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
根據(jù)二次根式的加減乘除法運(yùn)算的計(jì)算法則計(jì)算即可求解．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
 4.【答案】 【解析】解：如圖，

正方形，的面積分別為，，
，，
，
，
正方形的面積，
故選：．
由正方形的面積得，，再由勾股定理得，即可得出結(jié)論．
本題考查了勾股定理以及正方形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：一木桿在離地面處折斷，木桿頂端落在離木桿底端處，
折斷的部分長(zhǎng)為：，
折斷前高度為．
故選：．
由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運(yùn)用勾股定理即可求出斜邊，從而得出木桿折斷之前的高度．
此題考查了勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用能力．
 6.【答案】 【解析】解：在中，，，
．
、、分別是三邊的中點(diǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形，
．
故選：．
先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由、、分別是三邊的中點(diǎn)得出，，從而可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得出結(jié)論．
本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：，
不能組成三角形，
故A符合題意；
B、，，
，
能組成直角三角形，
故B不符合題意；
C、，，
，
能組成直角三角形，
故C不符合題意；
D、，，
，
能組成直角三角形，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：，，
，
又，
，
，
，

，
故選為：．
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而推出三角形為等腰直角三角形，這樣便可以利用勾股定理求出．
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，關(guān)鍵是證明出，再用勾股定理計(jì)算．
 9.【答案】 【解析】解：這其中的數(shù)學(xué)道理是：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
故選：．
根據(jù)平行四邊形的判定定理可得答案．
此題主要考查了平行四邊形的判定方法，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)剪口與折痕所成銳角的大小為，則為就可以得到一個(gè)正方形．
根據(jù)題目中的折疊方法，我們可知剪下的是一個(gè)四邊相等的四邊形，即菱形，
菱形里只要有一個(gè)角是就是正方形．
展開(kāi)四邊形后的角為：，即．
故選：．
根據(jù)翻折變換的性質(zhì)及正方形的判定進(jìn)行分析從而得到最后答案．
本題考查了剪紙問(wèn)題、通過(guò)折疊變換考查正方形的有關(guān)知識(shí)及學(xué)生的邏輯思維能力，解答此類題最好動(dòng)手操作，易得出答案．
 11.【答案】 【解析】解：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．
解答此題，要弄清二次根式的性質(zhì)：的運(yùn)用．
 12.【答案】 【解析】解：矩形的面積為，
，
，
．
故答案為：．
根據(jù)矩形的面積公式，即可得到，然后分母有理化即可．
本題考查了矩形的面積，二次根式的除法，能正確分母有理化是解此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】答案不唯一 【解析】解：，
是正整數(shù)，是整數(shù)，
的值可以是．
故答案為：答案不唯一．
先求出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出答案即可．
本題考查了二次根式有意義的條件，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，，
，，
，
，
即的長(zhǎng)為，
故答案為：．
由題意得，，再由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．
本題考查了勾股定理以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：，，，
，
．
故答案為：．
先計(jì)算的值，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算代數(shù)式的值．
本題考查了解一元二次方程：記住一元二次方程的求根公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．
 16.【答案】 【解析】解：由題意可得，
中間小正方形的邊長(zhǎng)為，
中間小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，
故答案為：．
根據(jù)題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為，然后根據(jù)勾股定理即可得到中間小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)．
本題考查勾股定理的證明，明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：，，
軸，，
以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在第三象限，
，，
軸，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
先由，，證明軸，，再由以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且點(diǎn)在第三象限，證明，軸，則，于是得到問(wèn)題的答案．
此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、平行四邊形的判定等知識(shí)，由，證明軸，是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：，，
四邊形是平行四邊形，
作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，
兩個(gè)矩形的寬都是，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
先證明四邊形是平行四邊形，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，再證明≌，則，由，，得，則，所以，求得，即可求得四邊形面積的是，得到問(wèn)題的答案．
此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：

；


． 【解析】先算乘方，二次根式的除法，再算減法即可求解；
根據(jù)二次根式的乘法，完全平方公式計(jì)算即可求解．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
 20.【答案】解：



；




． 【解析】先把所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可；
先把所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．
本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得，則，由，，得，即可根據(jù)平行四邊形的定義證明四邊形是平行四邊形，而，則四邊形是矩形．
此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定、在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行、矩形的判定等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：連接，如圖所示：
，為直角三角形，
又，，
根據(jù)勾股定理得：，
又，，
，，
，
為直角三角形，，
則． 【解析】連接，在直角三角形中，由及的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再由及的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到三角形為直角三角形，根據(jù)四邊形的面積直角三角形的面積直角三角形的面積，即可求出四邊形的面積．
此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵．
 23.【答案】平行四邊形兩對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)平方的四倍，是假命題 【解析】解：已知：四邊形是菱形，

求證：，
證明：四邊形是菱形，
，，
，，，，
；
平行四邊形兩對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)平方的四倍，是假命題，
故答案為：平行四邊形兩對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)平方的四倍，是假命題．
根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．
此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直解答．
 24.【答案】  【解析】解：，
和為直角三角形，
點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
．
故答案為：．
記與交于點(diǎn)，
四邊形為平行四邊形，
為的中點(diǎn)，，
要使最小，即最小，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，如圖，

，，且，
為等邊三角形，
，，
，，
在中，，
，
，
的最小值為．
故答案為：．
證明：如圖，在上截取點(diǎn)，使，

四邊形為平行四邊形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，即，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
由知，≌，
，
，
，
．
直接利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到結(jié)論．
記與交于點(diǎn)，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分可知為的中點(diǎn)，，由垂線段最短可知時(shí)，取得最小值，易得為等邊三角形，則，，再根據(jù)含度角的直角三角形性質(zhì)即可得到結(jié)果．
在上截取點(diǎn)，使，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，易通過(guò)證明≌，，，根據(jù)等角的余角相等得，于是，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，以此可通過(guò)證明≌，以此即可得到；
由知，≌，得到，由即可證明．
本題主要考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短、含度角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)建合適的全等三角形解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．
 25.【答案】等腰三角形    或 【解析】解：由折疊可知，是的垂直平分線，
，是等腰三角形；
故答案為：等腰三角形．
由折疊可知：，，，
中，，
，
，
，
．

四邊形是正方形，
，，
由折疊可知：，，，，
，
又，
≌，
，，
，
設(shè)，則，，
，
解得：，
即的長(zhǎng)為．
故答案為：；

如圖，若，
由折疊可知：，，
此種情況不存在；

如圖，若，

，
在的垂直平分線上，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則有，
，
，
，
設(shè)的長(zhǎng)為，在中，
，
解得：，
即的長(zhǎng)為；
如圖，若，

由得：
，
解得：，
，
設(shè)的長(zhǎng)為，在中，
，
解得：，
即的長(zhǎng)為：．
故答案為：或．
由折疊可知，是的垂直平分線，可得是等腰三角形；，，由銳角三角函數(shù)可求，即可得證；
先由“”可證≌，可得，進(jìn)而求出；利用勾股定理構(gòu)造方程可求的長(zhǎng)；
由折疊的性質(zhì)和勾股定理可分類進(jìn)行求解．
本題是四邊形綜合題，考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
 

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