?專題11 填空壓軸題
1．（?寧波）如圖，四邊形為矩形，點在第二象限，點關于的對稱點為點，點，都在函數(shù)的圖象上，軸于點．若的延長線交軸于點，當矩形的面積為時，的值為 　　，點的坐標為 　?。?br />
【答案】；，
【詳解】如圖，

方法一：作軸于，連接，設和交于，
設點，，
由對稱性可得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，（舍去），
，
即：，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，，，，
直線的解析式為：，
直線的解析式為：，
當時，，
，
，，
，，
，
，

方法二：如圖，連接，，作軸于，直線交軸于，
由上知：，
，
，
，
設，，則，
，，，
，
，
，
，（舍去），
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：，，．
2．（2021?寧波）如圖，在矩形中，點在邊上，與關于直線對稱，點的對稱點在邊上，為中點，連結分別與，交于，兩點．若，，則的長為 　　，的值為 　　．

【答案】2；
【詳解】，
，
，
，
又，
，
，
為中點，
．
連接，，

由翻折可得，，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形為菱形，
，，
，
平分，
，
，
．
，，，
，
，
設，
則，，
，
，
，
即，
解得（舍或，
，
．
故答案為：2；．
3．（2020?寧波）如圖，經(jīng)過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點（點在第一象限），點，，在反比例函數(shù)的圖象上，軸，軸，五邊形的面積為56，四邊形的面積為32，則的值為　　，的值為　?。?br />
【答案】24；
【詳解】如圖，連接，，，，延長交的延長線于，設交軸于．

由題意，關于原點對稱，
，的縱坐標的絕對值相等，
，
，的縱坐標的絕對值相等，
，在反比例函數(shù)的圖象上，
，關于原點對稱，
，，共線，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，設，則，，，
，
，
，即，
解法二：設，，則，，，，，
由題意，，，
化簡可得，．
故答案為24，．
4．（2019?寧波）如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，點在第一象限．點在軸正半軸上，連接交反比例函數(shù)圖象于點．為的平分線，過點作的垂線，垂足為，連接．若，的面積為8，則的值為　　．

【答案】6
【詳解】連接，，過點作軸，過點作軸，過點作，
過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，
與關于原點對稱，
是的中點，
，
，
，
為的平分線，
，
，
，
，的面積為8，
，
設點，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
故答案為6；
（另解）連接，由題意可知，
，
易知的面積梯形的面積，
設的縱坐標為，則的縱坐標為，
，
解得．

5．（2018?寧波）如圖，在菱形中，，是銳角，于點，是的中點，連接，．若，則的值為　?。?br />
【答案】
【詳解】延長交的延長線于點．

四邊形是菱形，
，，
，
，，
，
，
，
，設，
，
，

，
，
或（舍棄），
，
故答案為．
6．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模）如圖，在中，，點為中點，點在邊上，，將沿折疊至△，若，則　?。?br />
【答案】
【詳解】如圖，延長交的延長線于點，
，點為中點，
，
，
，
，
，
設，則，
由折疊得：，，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
，
故答案為：．

7．（2022?寧波模擬）如圖，在中，，把沿斜邊折疊，得到，過點作于點，交于點，連結．若，則的長為 　　，的值為 　　．

【答案】；
【詳解】設，，
由折疊得：，，，
，
，
，
，即，
，
，
，
設，則，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，
故答案為：；．
8．（2022?北侖區(qū)一模）如圖，在矩形中，，點是的中點，點是對角線上一動點，，連結，作點關于直線的對稱點，直線交于點，當是直角三角形時，的長為 　?。?br />
【答案】1或3或
【詳解】四邊形是矩形，
，
，．
，
點是邊的中點，
，
①如圖2，當時，

點是的中點，
，．
，
由對稱可得，平分，
，
是等腰三角形，
，
，，，
，
，
，
；
②如圖3，

，．
，
由對稱可得，，，平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，．，
，，
；
的長為1或3；
當時，如圖4，

平分，
，
過點作于點，設，則，，
，
，
，
綜上所述，當是直角三角形時，的長為1或3或，
故答案為：1或3或．
9．（2022?寧波模擬）如圖，在矩形中，點在邊上，把沿直線翻折，得到，的延長線交于點．為的中點，連結，若點，，在同一條直線上，，則的長為 　　，的值為 　?。?br />
【答案】；
【詳解】四邊形是矩形，
，，，
，，
由折疊的性質得：，，，
，
，
，
點，，在同一條直線上，
，，
為的中點，
，
設，則，
，
，
，
，
即，
解得：或（舍去），
，
，，
，
，
故答案為：；．
10．（2022?寧波一模）如圖，是半徑為4的的弦，且，將沿著弦折疊，點是折疊后的上一動點，連接并延長交于點，點是的中點，連接，則的最小值為 　　．

【答案】
【詳解】如圖，連接、、、，

過點作于點，則，
在中，，
由折疊的性質得，
，
，
是等腰三角形，
點是的中點，
，
，
點是的中點，
在中，，
，
的最小值為．
故答案為：．
11．（2022?北侖區(qū)二模）如圖，在中，點在反比例函數(shù)上，延長至點，使得，點是直線與軸的交點．過點作交射線于點，連結，則的面積為 　?。?br />
【答案】4.5
【詳解】設，，則，，，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
，
，

，
，
過作于，過作于，則，

，
，
，即，
，
，
，
故答案為：4.5．
12．（2022?鄞州區(qū)模擬）如圖，在等邊中，將繞頂點順時針旋轉，旋轉角為，得到△．設的中點為，的中點為，，連接．
（1）當時，的長度為 　?。?br /> （2）設，在整個旋轉過程中，的取值范圍是 　?。?br />
【答案】；
【詳解】（1）如圖1，當時，與重合，

將繞頂點順時針旋轉，旋轉角為，得到△，
，
四邊形是菱形，
，
的中點為，的中點為，
，
四邊形是平行四邊形，
；
故答案為：；
（2）如圖2，連接，

△是等邊三角形，點是的中點，
，，，
，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，
當點在線段上時，有最大值為，
當點在線段上時，有最小值為，
的取值范圍是，
故答案為．
13．（2022?海曙區(qū)一模）如圖，圓的半徑為4，點是直徑上定點，，過的直線與圓交于，兩點，則面積的最大值為 　??；作弦，于，則的最大值為 　?。?br />
【答案】8；
【詳解】如圖1，

，
當時，面積有最大值，且最大值；
設的邊上的高為，的邊上 的高為，如圖，

，
當面積有最大值時，
．
，
．
的最大值為．
故答案為：8；．
14．（2022?寧波模擬）如圖，在菱形中，，是銳角，點是的中點，點在上，，連結，，．若，則的長為 　　，的值為 　　．

【答案】8；
【詳解】如圖，延長交的延長于，過點作，交的延長線于，

點是的中點，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
故答案為：8；．
15．（2022?海曙區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與比例函數(shù)的圖象交于，兩點，為線段的中點，連接與反比例函數(shù)的圖象交于點．若，，則的值為 　?。?br />
【答案】
【詳解】如圖，分別過點，作軸于點，，

，，
，
，
設，則，，，
，，
令，
，
直線與比例函數(shù)的圖象交于，兩點，
，
．
點是的中點，
，．
，，解得，．
，，
．
．
故答案為：．
16．（2022?鄞州區(qū)校級一模）如圖，在平行四邊形中，點、分別在邊、上，已知，，且，設，，則關于的函數(shù)關系式是 　　．

【答案】
【詳解】延長與的延長線交于點，如下圖，

，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
17．（2022?江北區(qū)一模）如圖，點，，，是菱形的四個頂點，其中點，在反比例函數(shù)的圖象上，點，在反比例函數(shù)的圖象上，且點，關于原點成中心對稱，點，的橫坐標相等，則的值為 　?。贿^點作軸交反比例函數(shù)的圖象于點，連結并延長交軸于點，連結．若，則的值為 　?。?br />
【答案】，9
【詳解】如圖，延長交軸于點，連接，交于點，
四邊形是菱形，
，，
設點，則，
點、的橫坐標相同，且，
點的坐標為，
點、在反比例函數(shù)的圖象上，點，在反比例函數(shù)的圖象上，
，，
，
軸，
點的縱坐標為，
點、在反比例函數(shù)的圖象上，，
點的坐標為，，
，
點的坐標為，
分別過點、作軸的垂線于點、，則，
，
，
，
，
，
，
點的坐標為，
軸，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：，9．

18．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，為的直徑，為上一點，連結，為的切線，過切點作，交直線于點，連結交于點，若，，則　　．

【答案】
【詳解】連接、，延長交于，連接、，過作于，過作于，

為的切線，
，
，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
為的直徑，
，
四邊形是矩形，
，
、分別是、中點，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
19．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，正方形的邊長為4，將邊繞點順時針旋轉，得到線段，連接，過點作交線段的延長線于點，連接，若點為線段中點，則點與點距離的最大值為 　?。?br />
【答案】
【詳解】連接，取中點，中點，中點，連接，取中點，連接，，，，，過作于，如圖：

是的中位線，
，，
是中位線，
，，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，為中點，
，
，
，為中點，
，
，
，
當，，共線時，最大，最大為，
故答案為：．
20．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關于軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“函數(shù)”，其圖象上關于軸對稱的不同兩點叫做一對“點“．若關于的“函數(shù)” ，且，，是常數(shù)）經(jīng)過坐標原點，且與直線，，且，是常數(shù)）交于，，，兩點，當，滿足時，則直線經(jīng)過的定點為 　?。?br /> 【答案】
【詳解】過原點，
，
是“函數(shù)”，
，
，
聯(lián)立直線和拋物線得：
，
即：，
，，
又，
化簡得：，

即，
，
當時，，
直線必過定點．
故答案為：．
21．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，在中，，是的外接圓，在劣弧上存在點滿足，連結交于點，延長交于點，連結交于點，連結，若，半徑為，則　?。?br />
【答案】4
【詳解】設，
，
，
，
，
，
，
，
連接并延長交于，過點作于點，過點作交的延長線于點，

是直徑，
，，
四邊形是的內接四邊形，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，，
平分，，
，
點到、的距離相等，，平分，（三線合一），
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
，
，
設，則，
中，，
由，解得，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案為：4．
22．（2022?寧波模擬）在矩形中，，，點為射線上一個動點，把沿折疊，使點落在點處，若為直角三角形時，的長為　?。?br />
【答案】或8或或
【詳解】四邊形是矩形，
，，
，
當為直角三角形時，有4種情況：
①當點落在矩形內部時，落在上，如圖1所示．
由折疊的性質得：，，
設，則，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得，
；
②當點落在邊上時，如圖2所示．
此時為正方形，
．
③如圖4
當點落在邊上時，易知，設，
在中，，
，
，
④如圖3中，當點在的延長線上時，設，
則，
在中，，
解得；
綜上所述，的長為或8或或；
故答案為：或8或或．

23．（2022?寧波模擬）如圖①，在菱形中，點為的中點，點為上一動點．將四邊形沿著翻折，得到四邊形，與交于點．
（1）如圖②，若點與點重合時，恰有，則的值為 　?。?br /> （2）在（1）的基礎上，如圖①，當平分時，的值為 　?。?br />
【答案】3；
【詳解】（1）如圖②中，

，
，
，，
，
，
，
，
設，則，
，
，，
；
（2）如圖①中，連接，過點作于點，過點作于點．

平分，
，即，
，
，，
，
，
，，
在中，，，，設，
，
，
，
，，
．
24．（2022?鄞州區(qū)一模）如圖，正方形的邊長為4，正方形的邊長為，將正方形繞點旋轉，和相交于點，則的最大值是 　　，連結，當點正好是的內心時，的長是 　?。?br />
【答案】；
【詳解】如圖，

連接，，和，，交于點，，交于點，作于，作于，
四邊形和四邊形是正方形，
，，，，，，
，
，
，
，
，
，
點在以為直徑的圓上運動，
當為圓直徑時，最大，此時點于點重合，
，
當點為的內心時，
，，分別平分，和，
，
，
，，
，
點、、共線，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；．
25．（2022?慈溪市一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在、軸上，點的坐標為，反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象分別與邊、交于點、，連結，將沿翻折得到△，連結，當時，的值為 　?。?br />
【答案】3
【詳解】如圖，作的角平分線交于點，

設，根據(jù)折疊的性質可得，，
，
，
，
，
平分，
，
，在反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象上，，矩形的邊，分別在，軸上，
則，，，
，，
，
，
，
，
設點到的距離為，則，
，
，
，解得（舍去）或，
故答案為：3．
26．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，點、分別落在雙曲線第一和第三象限的兩支上，連結，線段恰好經(jīng)過原點，以為腰作等腰三角形，，點落在第四象限中，且軸．過點作交軸于點，交雙曲線第一象限一支于點，若的面積為，則　?。?br />
【答案】2
【詳解】如圖，過點作于點，連接，
設，則，
，，
，
，
點的坐標為，
設直線的解析式為，
將點代入得，，
，
直線的解析式為，
，
設直線的解析式為，
將點代入得，，
，
直線的解析式為，
由，得或，
點，，
，
，
設與之間的距離為，則，
，
，
故答案為：2．

27．（2022?余姚市一模）如圖，直線交軸于點、交軸于點，點在反比例函數(shù)的圖象上，且，連結交反比例函數(shù)圖象于點，若，則的值為 　?。?br />
【答案】4
【詳解】如圖，過點作軸于點，則
直線交軸于點、交軸于點，
，，
，，
，
設，，則，
，
，
，
，
點、都在反比例函數(shù)的圖象上，
，
解得（舍，
，
，
故答案為：4．

28．（2022?江北區(qū)模擬）如圖，四邊形是平行四邊形，點是邊上一點，射線與對角線相交于點，與延長線相交于點，連結，若，，．則線段的長為 　?。?br />
【答案】
【詳解】四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
如圖，過點作于，過點作于，則，

，，
，
，
，
，
，
設，，則，，
，
，
，即，
，
，
，即，
（負值舍），
．
故答案為：．
29．（2022?寧波模擬）如圖，點在軸的負半軸上，交軸于點和點（點在點的左邊），交軸于點，拋物線經(jīng)過，，三點，的延長線交于點，點是上動點，則的半徑為 　?。坏淖钚≈禐?　?。?br />
【答案】3；
【詳解】如圖1，

連接，，
為的直徑，
，
，
可得：，
，
，
，
當時，，
，
當時，，
，
，
，
，
，
，，
，
的半徑為3，
如圖2，

在的延長線上截取，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
當、、共線時，最小，
，
，
在中，，
，
故答案為：3；．
30．（2022?寧波模擬）如圖，將反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支向左平移4個單位長度后與軸相交于點，點為軸上一點，作點關于點的對稱點，再以線段為斜邊向下作等腰直角，點和點恰好都落在反比例函數(shù)圖象在第三象限的分支上，則　?。?br />
【答案】
【詳解】連接，作軸于，軸于，
點關于點的對稱點，
，
是以線段為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
設，則，的縱坐標為，
將反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支向左平移4個單位長度后與軸相交于點，
平移后的函數(shù)解析式為，
把的坐標代入得，，
把代入得，，
橫坐標為，
，的縱坐標為，
，，
點和點恰好都落在反比例函數(shù)圖象在第三象限的分支上，
，
解得，
，
，
故答案為：．
31．（2022?寧波模擬）如圖，在矩形中，點為的中點，點為邊上的動點，連結，．將沿著翻折，使點的對應點恰好落在線段上，若，，三點共線，則的值為 　??；若，且這樣的點有且只有一個時，則的長為 　　．

【答案】；
【詳解】四邊形為矩形，
，，，，
由翻折可知，，，
，，三點共線，
，
即，
又，
，
．
，
，，
，
則，
點為的中點，
，
，
即，
，
．
則，
在中，，，
，
解得，
，
在中，，
．
故答案為：；．
32．如圖，在矩形中，點在邊上，于點，若，，則的值為 　　．

【答案】
【詳解】四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
設，
，
，
，
（負值舍去），
．
故答案為：．
33．（2022?鄞州區(qū)校級三模）如圖，點，，，是菱形的四個頂點，其中點，在反比例函數(shù)的圖象上，點，在反比例函數(shù)的圖象上，且點，關于原點成中心對稱，點，的橫坐標相等，則的值為 　　；過點作軸交反比例函數(shù)的圖象于點，連結并延長交軸于點，連結．若，則的值為 　?。?br />
【答案】；18
【詳解】如圖，延長交軸于點，連接，交于點，
四邊形是菱形，
，，
設點，則，
點、的橫坐標相同，且，
點的坐標為，
點，在反比例函數(shù)的圖象上，點，在反比例函數(shù)的圖象上，
，，
，
軸，
點的縱坐標為，
點、在反比例函數(shù)的圖象上，，
點的坐標為，，
，
點的坐標為，
分別過點、作軸的垂線于點、，則，
，
，
，
，
，
，
點的坐標為，
軸，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；18．

34．（2022?鄞州區(qū)模擬）如圖，點是反比例函數(shù)上一點，過點作軸、軸的垂線，分別交反比例函數(shù)的圖象于點、，若，，則　　，點的坐標為 　?。?br />
【答案】；，
【詳解】如圖，延長交軸于，延長交軸于點，

設點，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案是：；，．
35．（2022?海曙區(qū)校級三模）如圖，已知為反比例函數(shù)圖象上一點，為軸正半軸上一點，過點作軸交反比例函數(shù)圖象于點，連結，，．當，的面積等于1時，的值為 　?。?br />
【答案】10
【詳解】過點作軸于點，交于點，如圖所示，


，
軸，
，
，
，
，
的面積的面積，
，
，
，
，
，
，，
，
的面積等于1，
的面積為，
，
的面積，
的面積為，
的面積為，
，
的面積為，
的面積為，
，
故答案為：10．
36．（2022?海曙區(qū)校級模擬）如圖，是的弦，，點是優(yōu)弧上的動點，，連接，，是的中線．
（1）若，則　?。?br /> （2）的最大值　?。?br />
【答案】2；
【詳解】如圖1，過點作于點，
，，
，
，
，
是的中線，
，
，
，
在中，，，
，
又，
點和點重合，
．
故答案為：2；
（2）如圖2，
點的運動軌跡是圓，
點的運動軌跡是為直徑的圓，
當經(jīng)過圓心時最大．
，
，
又，
，，
，
，
，
的最大值為．
故答案為：．


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