2022-2023學(xué)年廣東省廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)得，再利用交集的定義求解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B2．已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“”是“”的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為A?B，利用集合之間的包含關(guān)系，即可求出的取值范圍.【詳解】解：，解得，即，若“”是“”的充分不必要條件，則A?B，且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，所以的取值范圍為，故選：A.3．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)于A，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，可判斷是否符合條件；對(duì)于B，定義域中不含零，可判斷不符合條件；對(duì)于C，根據(jù)其奇偶性可判斷；對(duì)于D，判斷該函數(shù)的奇偶性可知是否滿足條件.【詳解】是奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞增，故在上是增函數(shù)，故A滿足條件；定義域內(nèi)不能取到零，在內(nèi)x=0時(shí)無(wú)意義，故B不滿足條件；對(duì)于滿足 是偶函數(shù)，故C不滿足條件；對(duì)于， ，結(jié)果不是恒等于零，故不是奇函數(shù)，故D不滿足條件,故選：A.4．如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC?直角邊AB?AC，已知以直角邊AC?AB為直徑的半圓的面積之比為，記，則的值為（    ）A．-1 B．-2 C．0 D．1【答案】A【分析】由圓的面積公式及半圓面積比可得，即有，將目標(biāo)式由弦化切求值即可.【詳解】以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積分別為：，，由面積之比為，得：，即，在中，，則，故選：A.5．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得出函數(shù)的單調(diào)性，分析的符號(hào)變化，由可得或，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，則，所以，由可得，由可得或，解不等式，可得或，解得或，故不等式的解集為.故選：D.6．若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由函數(shù)，，的單調(diào)性可知，，，故.故選：D7．函數(shù)的圖象在[0，2]上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（    ）A．[π，2π） B． C． D．【答案】D【分析】首先代入求的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象，列式求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在此區(qū)間恰取得兩個(gè)最大值，則，解得：.故選：D8．對(duì)于，定義運(yùn)算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．(1,2)【答案】A【解析】由題設(shè)寫(xiě)出的解析式，，再結(jié)合函數(shù)圖像可知，再求出的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)知化簡(jiǎn)整理得：，畫(huà)出函數(shù)的圖像，如下圖由，當(dāng)關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，t的取值范圍是，設(shè)，則是的兩個(gè)根，關(guān)于對(duì)稱，故，下面求的范圍：，解得：，，，故所以故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若(x>0，y>0)，則x+y的最小值為4B．扇形的半徑為1，圓心角的弧度數(shù)為，則面積為C．若，則D．定義在R上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，則a<b<c【答案】ABC【分析】對(duì)于A，直接利用基本不等式求解即可；對(duì)于B，直接根據(jù)扇形的面積公式求解；對(duì)于C，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則、換底公式直接求解；對(duì)于D，利用偶函數(shù)，可得，解得，可得，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可比較大小．【詳解】對(duì)于 ：因?yàn)?/span>(x>0，y>0)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則x+y的最小值為4，故正確；對(duì)于，扇形的半徑為1，圓心角的弧度數(shù)為，面積為，．該扇形的面積為，故正確；對(duì)于：，．，，，故正確；對(duì)于：定義在上的函數(shù)為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，，，．．所以函數(shù)在上單增，，又所以；，故錯(cuò)誤.故選：．10．設(shè)、、為實(shí)數(shù)且，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，而、不一定是正數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，所以D正確.故選：CD11．設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心B．若，且，則的最小值為C．將曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，與曲線重合D．將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，與曲線重合【答案】BD【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的圖象為曲線，令，求得，為最小值，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；若，且，則的最小值為，故B正確；將曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，故C錯(cuò)誤；將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，與曲線E重合，故D正確，故選：BD.12．已知函數(shù)和的零點(diǎn)分別是和，則下列結(jié)論正確的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象的對(duì)稱性化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合圖象、零點(diǎn)存在性定理、不等式的性質(zhì)等知識(shí)求得正確答案.【詳解】由得；由得，和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線和直線垂直，也即直線的圖象關(guān)于對(duì)稱.由解得，設(shè).設(shè)直線與的圖象交于點(diǎn)，①，設(shè)直線與的圖象交于點(diǎn)，②，則，A選項(xiàng)正確.，而①-②得，對(duì)于函數(shù)，在上遞增，，所以，所以，B選項(xiàng)正確.對(duì)于函數(shù)，在上遞增，，所以，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，則，所以，對(duì)于和，兩者分別平方得，所以.而，，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題解題的突破口在于數(shù)形結(jié)合的思想方法，首先要注意觀察題目所給已知條件間的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化后畫(huà)出相應(yīng)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析對(duì)稱性、零點(diǎn)等，從而達(dá)到解題的目標(biāo). 三、填空題13．已知 =，則的值是____.【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開(kāi)，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．已知（，為常實(shí)數(shù)），若，則___________.【答案】【分析】由得出，進(jìn)而得出.【詳解】，，∴，∴，∵，∴.故答案為：15．若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是______.【答案】【分析】就的取值分類(lèi)討論后可得a的取值范圍.【詳解】直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，故有兩個(gè)不同的解，故和共有兩個(gè)不同的解，因?yàn)?/span>，故有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.若，則，故無(wú)解，而只有一個(gè)解，故有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，與題設(shè)矛盾，舍；若，因?yàn)?/span>只有一個(gè)解，故需有一解，故，故.故答案為：.16．如下圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為，現(xiàn)給出函數(shù)的四個(gè)性質(zhì)，其中說(shuō)法正確的是__________．①②在上單調(diào)遞增③當(dāng)時(shí)，取得最大值④對(duì)于任意的，都有【答案】②④【分析】先分析出,再根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)依次判斷即可【詳解】由題可知,所在直線為,所在直線為則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；則,①當(dāng)時(shí),,故①錯(cuò)誤；②易知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,且,則在上單調(diào)遞增,故②正確；③因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增,則無(wú)最大值,故③錯(cuò)誤；④由題,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,故④正確；故答案為②④【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,考查二次函數(shù)單調(diào)性與最值問(wèn)題,考查求函數(shù)值,考查運(yùn)算能力 四、解答題17．已知集合，，，全集(1)求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于零，進(jìn)而解一元二次不等式分別求得集合，由并集、補(bǔ)集和交集的定義可得結(jié)果；（2）由可得的范圍，取補(bǔ)集即可得到時(shí)的范圍.【詳解】（1）由得：，即；由得：，即，；，.（2）由題意知：；若，則，時(shí)，的取值范圍為.18．（1）已知，求的值（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)，然后再代值計(jì)算即可.（2）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系，將平方求出的值，從而求出的值，再由誘導(dǎo)公式將所求式子化簡(jiǎn)，即可得出答案.【詳解】(1) 所以（2）由，則，所以由，則 設(shè)，則由，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值，解答本題關(guān)鍵是由同角三角函數(shù)的關(guān)系根據(jù)，先求出，結(jié)合角的范圍求出的值，屬于中檔題.19．比亞迪是我國(guó)乃至全世界新能源電動(dòng)車(chē)的排頭兵，新能源電動(dòng)車(chē)汽車(chē)主要采用電能作為動(dòng)力來(lái)源，目前比較常見(jiàn)的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車(chē)、純電動(dòng)汽車(chē)．有關(guān)部門(mén)在國(guó)道上對(duì)比亞迪某型號(hào)純電動(dòng)汽車(chē)進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速．經(jīng)數(shù)次測(cè)試，得到該純電動(dòng)汽車(chē)每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：01040600142044806720 為了描述該純電動(dòng)汽車(chē)國(guó)道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說(shuō)明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)有一輛同型號(hào)純電動(dòng)汽車(chē)從重慶育才中學(xué)行駛到成都七中，其中，國(guó)道上行駛，高速上行駛．假設(shè)該電動(dòng)汽車(chē)在國(guó)道和高速上均做勻速運(yùn)動(dòng)，國(guó)道上每小時(shí)的耗電量與速度的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達(dá)式；高速路上車(chē)速（單位：）滿足，且每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系滿足）．則當(dāng)國(guó)道和高速上的車(chē)速分別為多少時(shí)，該車(chē)輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？【答案】(1)選①，(2)當(dāng)這輛車(chē)在高速上的行駛速度為，在國(guó)道上的行駛速度為最少，最少為． 【分析】（1）利用表格中數(shù)據(jù)進(jìn)行排除即可得解；（2）在分段函數(shù)中分別利用均值不等式和二次函數(shù)求出最值即可得解.【詳解】（1）解：對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，故不符合題意，對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，又，所以，故不符合題意，故選①，由表中的數(shù)據(jù)可得，，解得∴．（2）解：高速上行駛，所用時(shí)間為，則所耗電量為，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，∴，國(guó)道上行駛，所用時(shí)間為，則所耗電量為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)這輛車(chē)在高速上的行駛速度為，在國(guó)道上的行駛速度為時(shí)，該車(chē)從重慶育才中學(xué)行駛到成都七中的總耗電量最少，最少為．20．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.【分析】（I）將化簡(jiǎn)整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)?/span>，所以.要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號(hào)的正負(fù).21．已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)當(dāng)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用偶數(shù)數(shù)的定義，即可求出實(shí)數(shù)的值，從而得到的解析式；令，得，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）依題意等價(jià)于關(guān)于的方程只有一個(gè)解，令，討論的正根即可．【詳解】（1）解：是偶函數(shù)，，即對(duì)任意恒成立，，．即，因?yàn)楫?dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)根．令，則函數(shù)與直線有交點(diǎn)，，又，，所以的取值范圍是．（2）解：因?yàn)?/span>，又函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，則關(guān)于的方程只有一個(gè)解，所以，令，得，①當(dāng)，即時(shí)，此方程的解為，不滿足題意，②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，又，，所以此方程有一正一負(fù)根，故滿足題意，③當(dāng)，即時(shí)，由方程只有一正根，則需，解得，綜合①②③得，實(shí)數(shù)的取值范圍為：．22．對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則稱為定義域上的“偽奇函數(shù)”．（1）試判斷是否為“偽奇函數(shù)”，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（2）若是定義在區(qū)間上的“偽奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）試討論在上是否為“偽奇函數(shù)”？并說(shuō)明理由．【答案】（1）是“偽奇函數(shù)”，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由“偽奇函數(shù)”的定義判斷即可；（2）由題意可知，，即在有解，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）由題意可知，在上有解，令，則，從而在有解，再分類(lèi)討論即可得出結(jié)果【詳解】（1） ，．是“偽奇函數(shù)”．（2）為“偽奇函數(shù)”，，即，即在有解．，．又在恒成立，．．（3）當(dāng)為定義域上的“偽奇函數(shù)”時(shí)，則在上有解，可化為在上有解，令，則，從而在有解，即可保證為“偽奇函數(shù)”，令，則當(dāng)時(shí)，在有解，即，解得．當(dāng)時(shí)，在有解等價(jià)于解得，綜上，當(dāng)時(shí)，為定義域上的“偽奇函數(shù)”，否則不是． 

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